1995考研數(shù)三真題及解析

1、1995年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.) 設(shè) f(x)二，則 f (x)二.1 +x設(shè) z =xyf C), f (u)可導(dǎo),則 xZx yZy =.x(3)設(shè) f (In x) =1 x ,則 f (x)二.1 0 0、設(shè)A = ：2 2 0 ,A用是A的伴隨矩陣，則(AJ=.設(shè)X1,X3f,X5是來自正態(tài)總體N(f2)的簡單隨機(jī)樣本，其中參數(shù)丿和二2未1 nn知，記XXi Q2八(Xi -X)2,則假設(shè)H。： 0的t檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量n i二yt =.有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)f(1)

2、-f(1-x)=-1，則曲線y = f (x)在點(diǎn)、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只2x(1) 設(shè)f (x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件 四(1,f(1)處的切線斜率為()1(A) 2 (B) -1 (C) (D) -2(2) 下列廣義積分發(fā)散的是()1 1(A)工Jsin x丄2-1 1 dx(B) .j 2dx 寸1 xbe 2-be 1(C) 0 edx(D) .2-dx02 xln x設(shè)矩陣Am n的秩為r(A) =m : n, Em為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()(A) A的任意m個(gè)行向量必線性無關(guān)(B) A的任意一個(gè)m階子式不等于零(C) 若

3、矩陣B滿足BA = 0,則B = 0(D) A通過初等行變換，必可以化為(Em,0)的形式(4)設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，記U =X -Y,V =X，Y,則隨機(jī)變量U與V必(A)不獨(dú)立(B)獨(dú)立(C)相關(guān)系數(shù)不為零(D)相關(guān)系數(shù)為零設(shè)隨即變量X服從正態(tài)分布N(*2),則隨匚的增大，概率Pfx 一1()(A)單調(diào)增大(B)單調(diào)減少(C)保持不變(D)增減不定三、(本題滿分62分)_cosx), xcOx設(shè)f(x)=21,x=0,試討論f (x)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.1 x 2四、(本題滿分6-分Cost dt, x0.x已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件f (x)二:-e2x,求 f (x).

4、、013 丿五、(本題滿分6分)將函數(shù)y =1 n(1 - x -2x2)展成x的幕級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.六、(本題滿分5分): :(x2 ,y2)計(jì)算 minx, ye4)dxdy.七、(本題滿分6分)設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q二Q(p),收益函數(shù)為R二pQ,其中p為產(chǎn)品價(jià)格,Q 為需求量(產(chǎn)品的產(chǎn)量),Q(p)為單調(diào)減函數(shù).如果當(dāng)價(jià)格為p,對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為Q0時(shí)，邊 際收益dRdQ Q=Q0二c ：0 ,需求對(duì)價(jià)格的彈性dR二a 0 ,收益對(duì)價(jià)格的邊際效應(yīng)dRdpE p 二 b 1.求 p。和 Q.八、(本題滿分6分)設(shè)f (x)、g(x)在區(qū)間-a, a (a - 0)上連續(xù),g(x)為偶函數(shù),

5、且f (x)滿足條件 f(x) f (-x)二 A(A 為常數(shù)).aa(1) 證明飛 f (x)g(x)dx 二 A 0 g(x)dx ；利用(1)的結(jié)論計(jì)算定積分J|sinx arctanexdx.2九、（本題滿分9分）已知向量組（I ） ： 1, ： 2 3 ；（兒）宀，2, 3,4 ；（川）1, 2,3,5,如果各向量組的秩分別為 r（I）二 r（ll） =3,r（lll） =4.證明:向量組1, 2, 3, 5 -爲(wèi)的秩為4.十、（本題滿分10分）已知二次型 f （%, x2,x3） =4x； -3xf 4%x2 -4X3 8x2x3.（1）寫出二次型f的矩陣表達(dá)式；（2）用正交變換把

6、二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出相應(yīng)的正交矩陣.十、（本題滿分8分）假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.70可以直接出廠；以概率0.30需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠；以概率0.20定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n（n 一 2）臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立）.求：（1）全部能出廠的概率；其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率1 ;其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率二.十二、（本題滿分8分）已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為X4xy, 0_x_1,0_y_1, f（xy）=i0y其他，y求X和Y聯(lián)合分布函數(shù)F（x,y）.1995年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析、填空題（本題共5

7、小題,每小題3分,滿分15分.）(1) 【答案】DY(1+X)T【解析】由于心)2 _1 =2(1 x)一1,1+x 1 +xf (x)=2 (-1)(1 X)3f (x) =2 (一1)(一2)(1 x),IH, 所以 f(n)(x) =2 (-1)nn!(1 x)。=2(-1)烈.(1 x)n 1【答案】2xyf 丫lx丿【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，=2xyfz yf - xyf 一占=yf y . x 1 x y所以 ssxyf“xyf【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】y = (f(x)的導(dǎo)數(shù)為 y = ： (f(x) f (x).(3) 【答案】x ex C【解析】在f (In x) = 1 x中令I(lǐng)n

8、 x =t,貝U f (t1 et，從而)01(Xu1(4)【答案】一10【解析】由1 0 02 4 一一*2 3AA/E而 A|= 2 2 0 =10 , /廠所以A則 10(5)【答案】x ：n=r)Qttxe dt =t e C= f (x) = x e C .A-j A，有aAS a社0、0 .5【解析】假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)基本問題，它是根據(jù)具體情況和問題的 要求，首先提出原假設(shè)H。,再由樣本提供的信息，通過適當(dāng)?shù)姆椒▉砼袛鄬?duì)總體所 作的假設(shè)H。是否成立.首先分析該題是屬于一個(gè)正態(tài)總體方差未知的關(guān)于期望值 J的假設(shè)檢驗(yàn)問 題.據(jù)此類型應(yīng)該選取t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是X - X一1(Xi

9、-X)2n(n -1) i jt0 -X 經(jīng)過化簡得t= yn(n -1). Q N【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：(1) 確定所要檢驗(yàn)的基本假設(shè)Ho ；(2) 選擇檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，并要求知道其在一定條件下的分布；(3) 對(duì)確定的顯著性水平 二查相應(yīng)的概率分布，得臨界值,從而確定否定域;(4) 由樣本計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，并判斷其是否落入否定域，從而對(duì)假設(shè)H。作出拒絕還是接受的判斷.、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(D)【解析】因flimX0f(1 Lx) - f(1)所以應(yīng)選(D).=2lim_0X 一X lim f (1 X)- f f (1) 時(shí)戎匸xm0xf(1)

10、 f(1x) _ 22x-x(2)【答案】(A)【解析】由計(jì)算知且泊松積分：/dx =1 1I dx = arcs in x 二 J1 _x2：1 門1dx = 2iln2xlnx二T,=兀12 |n2故應(yīng)選(A).注：對(duì)于本題選項(xiàng)(A),由于當(dāng)x =0時(shí)sin x =0,故在積分區(qū)間-1,1中x二0是瑕點(diǎn),dx應(yīng)分解為兩個(gè)反常積分之和：1 1 反常積分-si nx1dx 0r丄J sin xdx收斂的充要條件是兩個(gè)反常積分1=+oO2 01 1 而且LJ sin x1 1x由于廣義積分 0一 dx=ln tan sinxl:丄dx,sin x0 11 1一 dx與0dx都收斂._ sin x

11、0 sin x1 11 1即 dx發(fā)散，故一dx 發(fā)散.10 sinx-1 sinx1 1 1在此不可誤以為 是奇函數(shù)，于是 dx=O,從而得出它是收斂的錯(cuò)誤結(jié)si nx、si nx論.【答案】(C)【解析】r(A)二m表示A中有m個(gè)列向量線性無關(guān)，有m階子式不等于零，并不是任意的，因此(A)、(B)均不正確.經(jīng)初等變換可把A化成標(biāo)準(zhǔn)形，一般應(yīng)當(dāng)既有初等行變換也有初等列變換，只 fO 1 0)用一種不一定能化為標(biāo)準(zhǔn)形例如，只用初等行變換就不能化成(E2,0)(001,的形式，故(D)不正確關(guān)于(C),由BA =0知r(B) r(A)乞m,又r(A)二m,從而r(B)乞0,按定義又有r(B) _

12、 0,于是 r(B) =0,即卩 B =0 .故應(yīng)選(C).【答案】(D)【解析】Cov(U,V)二 Cov(X -Y,X Y).二 Cov(X,X Y) -Cov(Y,X Y)-Cov(X,X) Cov(X,Y) -Cov(Y,X) -Cov(Y,Y)=DX - DY .由于X和Y同分布，因此DX二DY，于是有Cov(U,V) = 0.由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式Cov(X,Y)VDTdY所以U與V的相關(guān)系數(shù)也為零，應(yīng)選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】協(xié)方差的性質(zhì)：Cov(aX,bY)二 abCov(X,Y)；Cov(XX2,Y) =Cov(X1,Y) Cov(X2,Y).N 0,1 ,a(5) 【答案】(C

13、)【解析】由于xL NC點(diǎn)2),將此正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化，故計(jì)算看出概率px 一艸cj的值與er大小無關(guān).所以本題應(yīng)選(C).三、(本題滿分6分)【解析】這是一道討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性的問題一般要用連續(xù)性與可導(dǎo)性的定義并借助函數(shù)在分界點(diǎn)處的左極限與右極限以及左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù).故 f (0 0)=2 1 x22= lim 22 -1,X x X,2 _ X P- xcosx2=lim1,X 1連續(xù)t2dt -1即 f (0) = f _(0) =0lim f (x) =lim 2( cosx)f c6St2dt問3)=網(wǎng) 甌紀(jì)業(yè)f)在XQx-07*2 xfxrx)_f(0)p(1_cos

14、x)1f (0) = limcOsI2dt 年 lim x2一1_=制：H?m嚴(yán)X才1 = lim7 2(1 _cOsx)-x2 72sin x-2?2(，故mg在 xx3。處可導(dǎo)X且r(03X20. pm14X7COSX-1)0. 6xs=3,于是四、(本題滿分6分)【解析】首先，在變上限定積分中引入新變量3x tf dt =3 f(s)ds.030X“代入題設(shè)函數(shù)f(x)所滿足的關(guān)系式，得f(X)=3. f (s)ds e在上式中令X = 0得f (0) =1，將上式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得f (x) =3f (x) 2e2x.由此可見f (X)是一階線性方程f (x) -3f(x) =2e2x滿

15、足初始條件f (0) =1的特解. 用e同乘方程兩端，得f(x)eX =2,積分即得f(x)二Ce3x-2e2x.由f (0) =1可確定常數(shù)C =3,于是,所求的函數(shù)是f (x) = 3e3x-2e2x.五、(本題滿分6分)【解析】由1-x-2x(1-2x)(1 x)知ln(1 一 x - 2x2) = ln(1 一 2x) In(1 x).23n因?yàn)?In(1 x) =x x(_i)n|,23n其收斂區(qū)間為(-1,1)；23n又 In (1_2x)=(2x) 旦M)n1 III,23n其收斂區(qū)間為-1,】I 2 2丿于是有 In(1 _x_2x2) =(1)/二L其收斂區(qū)間為-1,1 .I

16、 2 2丿【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】收斂區(qū)間：若幕級(jí)數(shù)2、n(_“n1 (-2x)nnn 1 n八2xnn丄是開區(qū)間(-R,R);若其收斂半徑是qQanxn的收斂半徑是正數(shù)R,則其收斂區(qū)間n=S:，則收斂區(qū)間是(-，=).六、(本題滿分5分)【解析】方法一：本題中二重積分的積分區(qū)域D是全平面,設(shè)a 0,Da ：(x,y)|-a 乞 x _ a, a _ y _ a：,則當(dāng)a時(shí)，有Da； D .從而I =minx, yex y )dxdy lim i iminx, yex y )dxdy.亠二jDa注意當(dāng) x - y 時(shí),min x, y = x ;當(dāng) x y 時(shí),min x, y二 y .于是! imin

17、 x, ye y)Daa y_x2 +v2)dxdy dy xe y)dxdx ye.a . a. a . a且 ax 22、1dxye4x y)dy = - dx e-a-a2 -a-a1 e ,由于_edx，從而可得a x -(x2 y2)2 21d(x +y ) =; L(e 2a e dx.-aa 21bdx2DO同理可得方法a4x2 -a2)a 2e x dx-aa x衣叫汁0-和鮎t=42xlim 2:2 a_?:-ay丄 x2 4y2 )y Hlim dy xe4)dx亠 2、2 “2 二、2 _ 2 .設(shè)R 0，則圓域Dr.(x, y) | x2 y R2 當(dāng)R :時(shí)也趨于全平

18、面，從aimdxyeedt 二-、二2、2 .HzC( 2 2 )( 2 2 )Iminx,yex y)dxdy limminx, yex y)dxdy.R Dr引入極坐標(biāo)系 x二rcosdy二rsi，貝U-5 一當(dāng) 0與2 二 時(shí),mi n x, y = y = r si nr ;445:：當(dāng)時(shí),min x, y = x = r cost .44于是 iiminx,yex y)dxdyDR/R 2 工2丁R 2 j22 二R 2Rr2e#dr.=osinrd o r e dr 亠 i 4 cosd o r e dr 亠 i5二sin vd o r e dr R 24 -2-r e dr 4s

19、i n4 cosrd【亠 15-s in rd) - -2.2 。0IL04T0由此可得I = -2邁lim _ -=2 lim reR ：七、(本題滿分6分)R 2 r2Rr2drU2 2r e dr = . 2 lim rd (e ):edr 昭【解析】本題的關(guān)鍵在于p和Q之間存在函數(shù)關(guān)系，因此R = pQ既可看作p的函數(shù)也可看作q的函數(shù)，由此分別求出箒及焙并將它們與彈性已卩咄器聯(lián)系起來,進(jìn)而求得問題的解.由Q二Q(p)是單調(diào)減函數(shù)知這表明題設(shè)存在反函數(shù)E p二b 1應(yīng)理解為p = P(Q)且生 1dQdR = pQ = p齊。,從而需求對(duì)價(jià)格的彈性Ep詰齊0,Ep =-Ep=b1.又由Q

20、=Q(p)是單調(diào)減函數(shù)知dQ 由收益R = pQ對(duì)Q求導(dǎo)，有 dp十 p. . . 1 .dQ ，dQ p _p dQPo(1-丄)a ,得 po ab . Q dpbb -1dR從而一dQ由收益R = pQ對(duì)p求導(dǎo)，有dRdQp dQQ p Q(1)dpdpQ dpc = Q0(1 - b) = c,于是 Q0.p *1 一 bp(V),Ep= Q(Ep),dR從而dp八、(本題滿分6分)【解析】(1)由要證的結(jié)論可知，應(yīng)將左端積分化成-0,a 1上的積分，即a0af (x)g(x)dx 二(x)g(x)dx f (x)g(x)dx.再將a f (x)g(x)dx作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為在l.0

21、,a 1上的定積分.、a0a方法一：由于 f (x)g(x)dx = i f(x)g(x)dx 亠 I f (x)g(x)dx, _a. a00在 f (x) g(x)dx 中令 x - -t ,則由 x: -a 0，得 t: a； 0，且 _a00aaf(x)g(x)dx 二 a f(t)g(-t)d(-t)二 0 f (_t)g(t)dt 二 0 f (_x)g(x)dx,aa 廠-a所以.(x)g(x)dx = 0f (x) f (_x) 】g(x)dx 二 A 0 g(x)dx.a方法二：在(x)g(x)dx 中令 x -t,則由 x: -a a，得 t: a a,且a_aaa(x)g

22、(x)dx=-ja f (-t)g(-t)d(-t)=f(-t)g(t)dt 二 0 f(-x)g(x)dx .a1 -所以 f (x)g(x)dx =2 |aaf (x)g(x)dxf(-x)g(x)dx1 aA aa=2(X)f(x)lg(x)dx = 2 g(x)dx=A 0 g(x)dx.令f(x)=arctanex,g(x) = sinx ,可以驗(yàn)證f (x)和g(x)符合(1)中條件，從而可以_a-a用(1)中結(jié)果計(jì)算題目中的定積分.、 rxJ!方法一：取 f (x) =arctane , g(x) = sinx ,a = .2由于 f (x) f(-x)=arctanex arc

23、tane滿足xx“ eearctanex arctane2x2x = 0 ,1+e 1+e故 arctanex arctane = A .JIJI令 x=0,得 2arctan1 = A= A，即 f(x) f(-x).于是有22jiji兀2 sinx ,a = ，于是2x1f (x) f (-x) = arctanearctan 二e 21H(這里利用了對(duì)任何 x 0 ,有arcta nx，arctan )x 小pn|sinx arctanexdx=|sinx dx =方法二：取 f(x) = arctanex,g(x)二JI2 sin xdx =2 0 2以下同方法 九、(本題滿分9分)【

24、解析】因?yàn)閞(I)二r(ll) =3,所以 m3線性無關(guān),而：-121, 2,3,5 -4線性無關(guān),即其秩為4.十、(本題滿分10分)【解析】(1)因?yàn)榍f必)對(duì)應(yīng)的矩陣為0 224-24故f(XX2,X3)的矩陣表示為(2)由A的特征方程-24 , 3J _0f (X1,X2,X3)= xTAx = (X1,X2,X3)2-2-2門X2 .4-22AE A-10 -4_4人-22丸422-4+-4乂 -1)(2 -6)-22=0,-2 -4_44-3上X32-2九0九-1得到A的特征值為1 =1,，2 =6, 3 -6.由(E-A)x=O得基礎(chǔ)解系Xi =(2,0,-1幾即屬于=1的特征向量.由(6E-A)x=0得基礎(chǔ)解系X2=(1,5,2)T,即屬于 =6的特征向量.由(6E -A)x =0得基礎(chǔ)解系X3 =(1,-1,2)丁，即屬于怎-6的特征向量.對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值不同特征向量已正交，故只須單位化,有115 ,X1那么令Q二1/21二肅碑=肅72X31y1經(jīng)正交變換|X2 jX3 J也次型化為標(biāo)準(zhǔn)形書3勺5殛丁 J6 丁 222f“1,X2,X3)=x Ax =y 上y6y6y3.1、(本題滿分8分)【解析】對(duì)于新生產(chǎn)的每臺(tái)