二分法牛頓迭代法普通迭代法資料

1、 計算機與通信工程學院 I 儲 School of Compuier and ComumcaiKXi Engine竊Ing 數(shù)值球根試驗報告 數(shù)值計算方法 專業(yè)班級 姓 名 學號08083117 時間2010年10月24日星期天 實驗目的 熟悉二分法以及牛頓迭代法求方程近似根的數(shù)值方法，掌握各種迭代 方法，自己擴張研究迭代法的效率與收斂性和初始值的關系。 實驗內容 1. 已知f (x) =x3 4x2 一10 = 0在1,2】上有一個實根x* ， f(1) = -5, f(2)= 14，用二分法和牛頓迭代法求該實根，要求精度滿足條 ,. * 1 3 件：x xk*蘭尹燈0 。 2. 條件允許的

2、話，擴展研究各種迭代法的效率，以及迭代的效率和 收斂性與初始值的關系，并通過比較采用兩點加速的方法與普通的方法的 效率體驗加速迭代的優(yōu)點。 總而言之，本實驗中的用到的求根方法有二分法，牛頓迭代法， 1 丄 迭代函數(shù)為(x)二丄(10-x3)2的迭代方法，以及對函數(shù) 2 1 (x!(1x3)2采用兩點加速迭代的方法。 2 三、主函數(shù)流程 程序是按順序運行的，流程圖如下圖所示: 迭代法 分法 結束 等待用戶輸 入求根方式 開始 value=x*x*x+4*x*x-10; return value; /根據(jù)參數(shù)x的值計算函數(shù)f(x)的導數(shù)值 double divFunc(double x) retu

3、rn 3*x*x+8*x; /二分法計算方程f(x)=0在1,2上的跟 / 二份迭代結束條件由參數(shù) precision 精度給出 void biSectionMethod(double precision) int k=0;/ 均分次數(shù) double x1=1.0,x2=2.0;/區(qū)間1.0,2.0 double midx;/ 二分之后的值 printf(nt k 有根區(qū)間k+1f(x(k+1) ); do printf(nt%3d,k); printf(%.3f,%.3f,x1,x2); midx=(x1+x2)/2; printf(%f,midx); printf(%.6f,func(mi

4、dx); if (func(midx)=precision);/ 區(qū)間的長度超過 5e-3 就一直迭代 printf(nt二分法分區(qū)間的次數(shù)：d所求的根是：lf,k-1,x2); / 牛頓迭代法 /根據(jù)初值值xO,在區(qū)間1.0,2.0上迭代求根 /迭代次數(shù)由參數(shù) precision 精度決定 void NewTonMethod(double x0,double precision) int k=0;/ 迭代次數(shù) double x1,x2=x0; printf(nt kx(k)f(x(k)|x(k+1)-x(k)|); do printf(nt%2d,k); printf(%.6f,x2); p

5、rintf(%.6f,func(x2); x1=x2; x2=x2-func(x1)/divFunc(x1); if (x2-x10) printf(%.6f,x2-x1);/輸出兩次迭代的差值 else printf(%.6f,x1-x2); k+; if (k%3=0) / 每次輸出 4 個等用戶審查 getch(); while (x2-x1precision|x1-x2precision); printf(nt牛頓迭代初值：lf次數(shù):d所求的根是：lf,x0,k-1,x2); / 迭代函數(shù) g(x)=(sqrt(10-x*x*x)/2; double funcTwo(double x)

6、 return (sqrt(10-x*x*x)/2; /普通迭代函數(shù) void ordinaMethod(double x0,double precision) int k=0;/ 迭代次數(shù) double x1,x2=x0; printf(nt kx(k)f(x(k)|x(k+1)-x(k)|); do printf(nt%2d,k); printf(%.6f,x2); printf(%.6f,func(x2); x1=x2; x2=funcTwo(x1); if (x2-x10) printf( %.6f,x2-x1); / 輸出兩次迭代的差值 else printf( %.6f,x1-x2

7、); k+; if (k%3=0) / 每次輸出 4 個等用戶審查 getch(); while (x2-x1precision|x1-x2precision); printf(nt普通迭代初值：lf次數(shù):d所求的根是：lf,x0,k-1,x2); / 使用兩個跌代值的組合加速跌代 / 對迭代函數(shù) f(x)=(sqrt(10-x*x*x)/2 的加速 void twoValue(double x0,double precision) int k=0;/ 迭代次數(shù) double x1,x2=x0; printf(nt kx(k)f(x(k)|x(k+1)-x(k)|); do printf(nt

8、%2d,k); printf(%.6f,x2); printf(%.6f,func(x2); x1=x2; x2=(funcTwo(x1)+x1)/2; if (x2-x10) printf(%.6f,x2-x1);/輸出兩次迭代的差值 else printf(%.6f,x1-x2); k+; if (k%3=0)/ 每次輸出 4個等用戶審查 getch(); while (x2-x1precision|x1-x2precision); printf(nt 兩點加速迭代初值:%lf,次數(shù):4根:lf,x0,k,x2); void main() double orgin=1.5;/ 初始值 do

9、uble precision=5e-6; / 精度 char sel=0;/ 操作符 while(1) printf(nt 選擇:);printf(nt1. 二分法 nt2. 迭代法 nt); sel=getch(); printf(nnt 注：程序停止處按任意鍵繼續(xù) ); if (sel=1) printf(nnt * biSectionMethod(precision); else 分法求解過程 * / 測試函數(shù) ); printf(nt 輸入迭代的初值 :); scanf(%lf, /if (orgin2.0|orgin1.367 9 3631.3651 10 1-364,1.3651

10、11 1.365,1.3651 12 1.365,1.365 13 1-365,1-3651 14 1.365,1.3653 15 1.365,1.3651 16 1-3：(xH1(1x3)，結果如下: 2 *普通迭 ftsr = s qrt /2 * k 耳g f ：x-x: 0 11陌0000 -3.829000 0.372158 1 1-472158 1.859535 0.167411 2 1-304748 -0.969377 0.099781 3 1.394529 0.490796 0044710 4 1-349819 -0.2525&9 0.023190 5 1-373009 0.1

11、28947 0.011790 e 丄361219 -0.0&6108 0.006057 ? 1.367276 0.033820 0.003095 8 1.3641S1 -0.017321 0.001586 9 1365767 0.008866 0B00812 10 1.364955 -0.004539 0.000416 11 1-365371 0.U02324 0.00U213 12 丄365158 -8.001190 0.00H109 13 1.365267 0.000609 0 000056 14 1.365211 -0.000312 0.00U029 15 1.365240 0.0001

12、60 0.003015 16 1.365225 一00000S2 000000? 17 1-365233 0.000042 0.000004 瞽裁磨ZE次數(shù)所求的根是：55229 接著可以看到的是用兩點加速法對函數(shù) ；:(x) -(lO-x3)。的加速: 2 wrtti.卜.f古上*Hin片古；出_ .=、藍站址童”址董宜三資童 *則 1 1M 爼 口X 2 +x ?Z. * k x f x lx-xl 0 11耐0000 -382?000 0.186079 1 1-286079 -1.25682? 0.058424 2 1.3445B3 -0-33S797 0.015569 3 136007

13、2 -0.084955 0.003893 4 1363965 -0.020873 0.000956 & 1-364921 -0.005102 臥000234 6 1.365155 -0001246 0.00005? 7 1365212 -0 000304 0000014 8 1-365226 -0.000074 0.000033 臨針值次如根1329 1亠 下面采用不同的初值查看普通迭代函數(shù)的收斂性與效率: 各個結果如下： 背通迭代初值:亠2豳0靦”次數(shù)= 17,所求的根是:丄-3陌2加 上圖對應的是收斂性：收斂的 上圖收斂的，且速度比上面的要快。 背通迭代初值:-2.500000.次數(shù):1,所求的根是：-l.#IND00 上圖對應的是收斂性：發(fā)散的 六、結論與分析 從以上的程序可以看出一下幾點結論 1、二分法和迭代法均能解出方程的根。 2、一般地看來，牛頓迭代法的效率較普通迭代法的要高，兩點加速迭 代法能加速一般迭代法。 3、迭代法對初值是敏感的，若初值選擇的不合適可能導致迭代的效率 1 3 2 很低，甚至是發(fā)散的。例如，對于函數(shù)(x)(10 - x3)2形成的迭