(word完整版)專題講座三數(shù)列在高考中的常見題型與求解策略

1、專題講座二數(shù)列在咼考中的常見題型與求解策略考情概述I數(shù)列是歷年高考的熱點(diǎn)，多從等差數(shù)列、等比數(shù)列這兩個(gè)特殊的數(shù)列 入手，考查兩數(shù)列的概念、基本運(yùn)算性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等，常以等差、等比數(shù)列綜 合命題，或與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)交匯命題，綜合考查數(shù)列的通項(xiàng)、求和等問題.專題一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題學(xué)生用書P106(2015高考重慶卷)已知等差數(shù)列an9滿足a3= 2，前3項(xiàng)和S5 = 2.求an的通項(xiàng)公式；設(shè)等比數(shù)列bn滿足bi= ai, b4= ai5，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)an的公差為d，則由已知條件得3 X 29ai + 2d = 2, 3ai+ d

2、=,31化簡(jiǎn)得 ai+ 2d = 2, ai + d= q，解得 ai = 1, d =,n 1故an的通項(xiàng)公式an= 1 +一廠,n +1即 an= -2.15+ 1由(1)得 b1 = 1, b4= a15=2 = 8.b4設(shè)bn的公比為q,貝U q3= b1= 8，從而q = 2,故bn的前n項(xiàng)和b1 (1-qn)1X (1-2n)nTn = 2 1.1-q1 2解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系.如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究； 如 果兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開弄清

3、兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解1.（2016蘭州診斷考試）在等比數(shù)列 an中，已知 ai= 2, a4= 16.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若a3, a5分別為等差數(shù)列bn的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：（1）設(shè)數(shù)列an的公比為q,則 a = q3= 8,a1所以q= 2,所以 an= 2 x 2n1= 2n.設(shè)數(shù)列bn的公差為d，因?yàn)閎3= a3= 23= 8, b5= a5= 25= 32,且bn為等差數(shù)列， 所以 b5-b3 = 24 = 2d,所以d= 12,所以 b1 = b3 2d = 16,n （n1）2所以 Sn= 16n+x 12= 6n 22n.專題二數(shù)列的通項(xiàng)

4、與求和學(xué)生用書P106I )S為數(shù)列an的(2015高考全國卷 前 n 項(xiàng)和已知 an0, a2+ 2an= 4Sn+ 3.求an的通項(xiàng)公式；1設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.anan+1解(1)由 a2+ 2an= 4Sn + 3,可知 a2 +1+ 2an+ 1= 4Sn+1+ 3.一，得 a2+1 a2 + 2(an +1 an)= 4an+1,即 2(an+1 + an) = a+1 an= (an +1 + an)(an+1 an).由 an 0，得 an+1 an = 2.又 a1+ 2a1 = 4a1+ 3，解得 a1 = 1(舍去)或 a1 = 3.所以an是首項(xiàng)為3,公差為2

5、的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an= 2n+ 1(2)由 an= 2n + 1 可知=1=1= 1 L _L“ anan+1(2n+ 1) ( 2n+ 3)2 2n + 1 2n + (2n+ 3) .設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，貝yTn= b1 + b2 + + bn1111 1 -J 一=2 3 5 + 5 7 + + 2n+ 1 2n + 3求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解.(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，本題選用的裂項(xiàng)相消法，常用的還有分組轉(zhuǎn) 化求和，錯(cuò)位相減求和等.2.(2015髙考天津卷)已知數(shù)列an滿 足 an+2= qan(q 為實(shí)數(shù)，且 qz 1), n N*

6、, ai= 1, a2= 2，且 a2 + a3, a3 + a4, a4+ a5成等差 數(shù)列.(1)求q的值和an的通項(xiàng)公式； 設(shè)bn= lOg2a2n, n N*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.a2n-1解：(1)由已知，有(a3+ a4) (a2+ a3)= (a4+ a5) (a3+ a4)，即 a4 a2= a5 a3, 所以 a2(q 1) = a3(q 1).又因?yàn)閝 z 1，所以a3= a2= 2.由 a3= a1 q,得 q= 2.n 1當(dāng) n = 2k 1(k N )時(shí)，an= a2k 1 = 2k 1 = 2 2n當(dāng) n = 2k(k N*)時(shí)，an = a2k= 2k= 22.

7、所以，an的通項(xiàng)公式為n 1產(chǎn),n為奇數(shù),an =n22, n為偶數(shù).(2)由(1)得,lOg2a2nbn =a2n 1n2“-1設(shè)bn的前- 1n項(xiàng)和為Sn,貝yc1111Sn= 1 x 20+ 2X 2?+ 3x 22+ + (n 1)x 2*一2 + nx n1,1 111 1 12Sn= 1 x 21 + 2 x 22+ 3x 23 + + (n 1)xn+ n x 戶，上述兩式相減，得11 n,1111 n 2n n 2 n2Sn= 1 + 2+ 22+ + njn=1刁=2戶一2 1 -2n + 2整理，得Sn= 4亍,n N*.2 n一 In + 2*所以，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為4

8、孑丁 , n N .專題三 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題學(xué)生用書P107-(2014高考四川卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)(an, bn)在函數(shù)f(x)= 2x的圖象上(n N*).(1)證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；1若a1= 1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2 ，求數(shù)列anb2 的前n項(xiàng)和Sn.解(1)證明：由已知，bn= 2an0.bn+1d當(dāng) n1 時(shí)，=2an +1 an= 2 ,，bn，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為2a1，公比為2d的等比數(shù)列.函數(shù)f(x)= 2x在(a2, b2)處的切線方程為y 2a2= (2a2ln 2)(x a2),1它在x軸上的截距為a2一

9、1 1 一由題意知，a2= 2 ，解得a2= 2.In 2 ln 2所以 d= a2 a1 = 1, an = n, bn = 2n, anbn = n 4n.疋，曰Sn= 1 X 4+ 2X 42+ 3 X 43+ (n 1) 4n 1+ n 4n.4Sn= 1 X 42 + 2 X 43 + + (n 1) + n 4n + 1.4n+ 1 4(1 3n) 4n + 1 4因此，Sn 4Si = 4+ 42+ 4n n 4n+ 1= 3 n 4n+1=.所以 Si3n 1) 4n + 1 + 49(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題.此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題已知數(shù)列條件，解

10、決函數(shù)問題.解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.另外，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解. :1舉蹤訓(xùn)練3.(2016南昌調(diào)研測(cè)試卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 3,已知函數(shù)f(x)=2x 1口歹匚7，且 f(a2 2)=2 015 n sin3, f(a2 016 2)= cos 2 67n，求 S2 017.36解:2x 12x 1 1 2x因?yàn)閒(x)=喬，f( - x)=片=喬，所以f(x) + f( x) = 0,即卩 f( x) = f(x).2x 1 2 而 f(x)=不=1-x ，所以f(x)是R上的增函數(shù).2x+ 1又

11、f(a2 2)= sin32 017n , f(a2 016 2)= cos62 015 n2 n2 n3 = sin 671 n+ 孑=sin 3ncos 336 n+6 = cos 6所以 f(a2 2) = f(a2 016 2) = f(2 a2 016),所以 a2 2 = 2 a2 016,所以 a2 + a2 016 = 4.2 017 (a1+ a2 017)2 017 (a2 + a2 016)2 017 X 4所以 S2 017=2= 4 034.專題四數(shù)列與不等式的綜合問題學(xué)生用書P107.1 - 4(2015咼考四川卷)設(shè)數(shù)列 an( n= 1 , 2 , 3,)的前n

12、項(xiàng)和Sn滿足Sn= 2an ai,且ai, a2+ 1, a3成等差數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1i記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求使得|Tn 1| 2).從而 a2= 2a1, a3= 2a2= 4a1.又因?yàn)閍1, a2+ 1, a3成等差數(shù)列，即 a1 + a3= 2(a2 +1),所以 a1 + 4a1 = 2(2a1+ 1)，解得 a1= 2.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故 an= 2n.1 11 1111 -(1)n . 1+ 2*= 1 = 1 2*.(2)由得a；= 2,1 1 所以Tn = +尹+1 1 1由 |Tn 1| 而，得 |1 歹一 1| 1 000.因?yàn)?/p>

13、 29= 512 1 000 1 024= 210，所以 n10.1于是使|Tn 1|000成立的n的最小值為10.朮解第略數(shù)列與不等式的綜合問題的解題策略(1)數(shù)列與不等式的恒成立問題.此類問題常構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決問題.與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題.解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法，如比 較法、綜合法、分析法、放縮法等I f ”. ”理彳跟蹤訓(xùn)練4.(2016商洛模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+ y) = f(x) f(y)且f(1)=當(dāng)n N*時(shí)，求f(n)的表達(dá)式；(2)設(shè) an= n f(n), n N*，求證：ai + a2 + a3+ an2.解：(1)令

14、 x= n, y= 1,1得 f(n+ 1)= f(n) f(1)=尹),1所以f(n)是首項(xiàng)為,1公比為2的等比數(shù)列,所以 f(n) = 1 .證明：設(shè)Tn為 an的前n項(xiàng)和,因?yàn)? nan= n f(n)= n 2 ,所以Tn = 2+ 2 x J + 3X1 3 12 +nx 2nn+ 11 12 + nx ,n+ 11兩式相減得2幾=1 31 42 + 3x2+ +(n 1)x.2“n.11112+2+2nx21 n 1所以 Tn = 2 2 n x 2 2.知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)11. (2016 寧省五校聯(lián)考)拋物線/= 2y在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)(ai, 2a2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫

15、坐標(biāo)記為 ai+i,其中i N*，若a2= 32,則a2+ a4+ a6等于()A. 64B. 42C. 32D. 21解析：選B.令y= f(x)= 2x2，則切線斜率k= f(ai) = 4ai，切線方程為y 2a2= 4ai(x ai),1令 y= 0 得 x= ai +1 =尹匚 由 a2= 32 得：a4= 8, a6 = 2，所以 a2 + a4 + a6= 42.2. (2014高考遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.若數(shù)列2 a1 an為遞減數(shù)列，則()A . d0C. a1d0解析：選C.設(shè)bn= 2a1an，貝V bn+1= 2a1an+1,由于2 a1an是遞減數(shù)列，則 b

16、nbn+1,即2a1an2a1an+1.因?yàn)?y= 2a1an +1,所以 a1an a1 (an+ d)0,所以 a1(anan d)0，即卩 a* d)0，所以 a1 d0,且a1 -a2a7 -a8= 16,則a4 + a5的最小值為 .解析：由等比數(shù)列性質(zhì)得，a2a7a8= (a4a5)4= 16,又an0，所以a4a5= 2.再由基本不 等式，得 a4+ a52 , a4a5= 2 2. 所以a4 + a5的最小值為2(2.答案：2 24. (2016南昌調(diào)研測(cè)試卷)一牧羊人趕著一群羊通過 6個(gè)關(guān)口，每過1個(gè)關(guān)口，守關(guān)人 將拿走當(dāng)時(shí)羊的一半，然后退還 1只給牧羊人，過完這些關(guān)口后，

17、牧羊人只剩下2只羊，則 牧羊人在過第1個(gè)關(guān)口前有 只羊.解析：記此牧羊人通過第1個(gè)關(guān)口前、通過第 2個(gè)關(guān)口前、通過第6個(gè)關(guān)口前，剩1 1下的羊的只數(shù)組成數(shù)列an(n= 1, 2, 3, 4, 5, 6)，則由題意得a2 =衛(wèi)1+ 1, a3=豕2+ 1,1 1a6 = 2玄5+ 1，而+ 1 = 2，解得 a6= 2,因此代入得 a5= 2, a4= 2,，a1 = 2.答案：25. (2016南昌調(diào)研測(cè)試卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, 4Sn= a+ 2an 3,且a1, a2, a3, a4, a5成等比數(shù)列，當(dāng) n 5時(shí)，an0.(1) 求證：當(dāng)n5時(shí)，an成等差數(shù)列；(2) 求an的

18、前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明： 由 4Sn= a2 + 2an 3, 4Sn+1 = a2+ 1+ 2an + 1 3,得 4an+1 = a+1 a2+ 2an+1 2an,即(an+ 1+ an)(an + 1 an 2) = 0.因?yàn)楫?dāng) n5 時(shí)，an0,所以 an+1 an= 2,所以當(dāng)n 5時(shí)， an成等差數(shù)列.由 4ai = a1+ 2ai 3,得 ai = 3 或 ai= 1,又 ai, a2, a3, a4, a5成等比數(shù)列，所以 an+1+ an= 0(n0，所以a10,從而a1 = 3,3 ( 1) n 1, 1 w nW4, 所以an =2n 7, n5,2【1 ( 1)

19、 n, 1 w n w 4, 所以Sn =n2 6n+ 8, n 5.16. (2015高考山東卷)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列an .叭1的前n項(xiàng) 和為2n + 1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn= (an+ 1) 2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解: (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,令n = 1,得1a1a213所以a1a2= 3.人小112令 n = 2,得 += ._, a1a2a2a35所以a2a3= 15.由解得a1 = 1, d = 2,所以 an= 2n 1.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.由(1)知 bn= 2n 22n 1= n 4n,所以 Tn= 1 41 + 2 42+

20、n 4n,所以 4Tn= 1 42 + 2 43 + n 4n+1,兩式相減，得一 3Tn= 41 + 42+ + 4n n 4n +14 (1 4n1 44n+ 11 3n34x 4n+1-4，3n 1所以 Tn= X 4n+ 14 4 +( 3n 1) 4n +1 + 9=能力提升1. (2016云南省第一次統(tǒng)一檢測(cè) =728.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 求證：S2+ 1 SnSn+ 2= 4X 3n.)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a1 + a2+ a3= 26, S6解:(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由 728工 2 X 26,得 S6工2S，所以1.a1(1 q3)S3 =-=26，1 qa1= 2,解得a1(1 q6)q