高等數(shù)學(同濟大學版)-課程講解-1.2數(shù)列的極限

1、課時授課計劃課次序號： 02 一、課題：1.2 數(shù)列的極限二、課型：新授課三、目的要求：1.理解數(shù)列極限的概念；2.了解收斂數(shù)列的性質(zhì).四、教學重點：數(shù)列極限的定義.教學難點：數(shù)列極限精確定義的理解與運用.五、教學方法及手段：啟發(fā)式教學，傳統(tǒng)教學與多媒體教學相結(jié)合六、參考資料：1.高等數(shù)學釋疑解難，工科數(shù)學課程教學指導委員會編，高等教育出版社；2.高等數(shù)學教與學參考，張宏志主編，西北工業(yè)大學出版社七、作業(yè)：習題12 3（2）（4），5八、授課記錄：授課日期班次九、授課效果分析：第二節(jié) 數(shù)列的極限復習1. 函數(shù)的概念與特性，復合函數(shù)與反函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)與初等函數(shù)； 2. 數(shù)列的有關(guān)知識.

2、極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的例如，我國古代數(shù)學家劉徽（公元3世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學上的應用設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般地把內(nèi)接正邊形的面積記為這樣，就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：它們構(gòu)成一列有次序的數(shù)當越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓面積的近似值也越精確但是無論取得如何大，只要取定了，終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積因此，設(shè)想n無限增大（記為，讀作趨于無窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，在這

3、個過程中，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時也無限接近于某一確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積這個確定的數(shù)值在數(shù)學上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列）當時的極限在圓面積問題中我們看到，正是這個數(shù)列的極限才精確地表達了圓的面積在解決實際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數(shù)學中的一種基本方法，因此有必要作進一步的闡明一、 數(shù)列極限的定義 1. 數(shù)列的概念定義1 如果函數(shù)f的定義域=N=1，2，3，則函數(shù)f的值域f（N）=f（n）nN 中的元素按自變量增大的次序依次排列出來，就稱之為一個無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，即f（1），f（2），f（n），通常數(shù)列也寫成x1，x2，xn，并簡記為xn ，其中

4、數(shù)列中的每個數(shù)稱為一項，而xn=f（n）稱為一般項或通項對于一個數(shù)列，我們感興趣的是當n無限增大時，xn的變化趨勢以下幾個均為數(shù)列：1， （1）2，4，6，2n， （2）1，0，1， （3）1， （4）2，2，2，2， （5）2. 數(shù)列的極限當n無限增大時，若數(shù)列的項xn能與某個常數(shù)a無限地接近，則稱此數(shù)列收斂，常數(shù)a稱為當n無限增大時該數(shù)列的極限，如數(shù)列（1），（4），（5）均為收斂數(shù)列，它們的極限分別為1，0，2但是，以上這種關(guān)于收斂的敘述是不嚴格的，我們必須對“n無限增大”與“xn無限地接近a ”進行定量的描述，讓我們來研究數(shù)列（4）取0的鄰域U (0, )1. 當=2時，數(shù)列（4）的所

5、有項均屬于U (0,2)，即n1時，xn U (0,2)2. 當時，數(shù)列（4）中除開始的10項外，從第11項起的一切項x11，x12，xn，均屬于，即n10時，3. 當時，數(shù)列（4）中除開始的3333項外，從第3334項起的一切項x3334，x3335，xn，均屬于，即n3333時，如此推下去，無論是多么小的正數(shù)，總存在N（N為大于的正整數(shù)），使得nN時，xn-0=，即 U (0, )一般地，對數(shù)列極限有以下定義定義2 若對任何0，總存在正整數(shù)N，當nN時，|xn-a| ，即，則稱數(shù)列xn收斂，a稱為數(shù)列xn當n時的極限，記為=a 或 xna （n）若數(shù)列xn不收斂，則稱該數(shù)列發(fā)散注 定義中的

6、正整數(shù)N與有關(guān)，一般說來，N將隨減小而增大，這樣的N也不是惟一的顯然，如果已經(jīng)證明了符合要求的N存在，則比這個N大的任何正整數(shù)均符合要求，在以后有關(guān)數(shù)列極限的敘述中，如無特殊聲明，N均表示正整數(shù)此外，由鄰域的定義可知，等價于xn-a“數(shù)列xn的極限a ”的幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列x1,x2,x3,xn,在數(shù)軸上用它們的對應點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的鄰域，即開區(qū)間(a-, a+)，如圖1-33所示圖1-33因不等式 |xn-a| 與不等式 a-xnN時，所有的點xn都落在開區(qū)間(a-, a+)內(nèi)，而只有有限個點（至多只有N個點）在這區(qū)間以外為了以后敘述的方便，這里介紹幾個符號，符號“”表示“

7、任取”、“對于所有的”或“對于每一個”；符號“”表示“存在”；符號“maxX ”表示數(shù)集X中的最大數(shù)；符號“minX ”表示數(shù)集X中的最小數(shù)例1 證明 =0證0(不妨設(shè)1)，要使=，只要2n，即n（ln）/ln2因此，0，取N =（ln）/ln2，則當nN時，有由極限定義可知=0例2 證明 =0證 由于=，故0，要使，只要，即n因此，0，取N=，則當nN時，有由極限定義可知=0用極限的定義來求極限是不太方便的，在以后的學習中，我們將逐步介紹其他求極限的方法二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1. 唯一性 定理1 若數(shù)列收斂，則其極限唯一證 假設(shè)數(shù)列xn收斂，但極限不唯一：=a，=b，且ab，不妨設(shè)ab，由極限定

8、義，取=，則N10，當nN1時，xn-a，即xn, （6）N20，當nN2時，xn-b,即xn, (7)取N=maxN1,N2,則當nN時,(6)、(7)兩式應同時成立，顯然矛盾該矛盾證明了收斂數(shù)列xn的極限必唯一2. 有界性定義3 設(shè)有數(shù)列xn，若MR，M0，使對一切n =1，2，有xnM，則稱數(shù)列xn是有界的，否則稱它是無界的對于數(shù)列xn,若MR，使對n=1，2，有xn M，則稱數(shù)列xn有上界；若MR，使對n=1，2，有xn M，則稱數(shù)列xn有下界顯然，數(shù)列xn有界的充要條件是xn既有上界又有下界例3 數(shù)列有界；數(shù)列n2有下界而無上界；數(shù)列-n2有上界而無下界；數(shù)列既無上界又無下界定理2

9、若數(shù)列 xn 收斂，則數(shù)列xn有界證 設(shè)=a，由極限定義，0，且1，N0，當nN時，xn-a1，從而xn1+a取M=max1+a,x1,x2,xN，則有xnM對一切n=1，2，3，成立，即 xn 有界定理2 的逆命題不成立，例如數(shù)列有界，但它不收斂3. 保號性定理3 若=a，a0（或a0），則N0，當nN時，xn0（或xn0）證 設(shè)a0，由極限定義 ，對=0，N0，當nN時，xn-a，即xn，故當nN時，xn 0類似可證a0的情形推論 設(shè)有數(shù)列xn，N0，當nN時，(或)，若=a，則必有a 0( 或a0 )推論中，若xn0(或xn0)，我們只能推出a0(或a0),而不能推出a0（或a0）例如0

10、,但=04. 收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系定義4 在數(shù)列xn中保持原有的次序自左向右任意選取無窮多個項構(gòu)成一個新的數(shù)列，稱它為xn的一個子列在選出的子列中，記第一項為，第二項為，第k項為，則數(shù)列xn的子列可記為k表示在子列中是第k項，nk表示在原數(shù)列xn中是第nk項顯然，對每一個k，有nkk；對任意正整數(shù)h，k，如果hk，則nhnk；若nhnk，則hk由于在子列中的下標是k而不是nk，因此收斂于a的定義是：0，K0，當kK時，有-a這時，記為=a 定理4 若=a，則 xn 的任何子列都收斂，且都以a為極限證 由=a，0，N0，當nN時，有xn-a今取K=N，則當kK時，有nknK=nN N，于是-a故有 =a定理4用來判別數(shù)列xn發(fā)散有時