求導(dǎo)法則(一)

1、 3.2 求導(dǎo)法則（一） 教學(xué)內(nèi)容 1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則; 2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則； 3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)基本公式. 簡要復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容 1. 導(dǎo)數(shù)的定義； 2. 導(dǎo)數(shù)的定義的幾種形式； 3. 可導(dǎo)的充要條件； 4. 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系； 5. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義. 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 設(shè)u =u（x）, V =v（x）都在x處可導(dǎo)，則有 （u 二 V）= u 二 V ； (uv) = uv u v ； (cu) = cu ; （u） = vu ；uv . vv 我們現(xiàn)在只證明. u(x h)v(x h) _ u(x)v(x

2、) 證 設(shè) f (x) =u(x)v(x)則 f (x h) - f (x) f (x)二 lim=lim 1 hh u(x +h)v(x +h) u(x + h)v(x) + u(x +h)v(x) u(x)v(x) = lim = lim u(x h)v(x h)v(x)+lim v(x) 0h0 h )0h u(x h) - u(x) =uvu v h 例 1 f (x) = x3 4cosx -sin ，求 f (x)， 解 f (x) =3x2 -4sinx, f ()= 2 2 1 例2求y二x logax 3tan x 的導(dǎo)數(shù). sin x 2 x c 2 一 cosx 解 y

3、=2xlogax3sec x 2 x In asin x = 2xloga x x + In a 3sec2 x -escx cot x . 、反函數(shù)求導(dǎo)法 法則：若X二(y)單調(diào)、連續(xù)，在 y處可導(dǎo).且(y) = o.則它的反函數(shù) y = f (x)在對應(yīng)點(diǎn)x處可導(dǎo)，單調(diào).且f (x)=- 證由單調(diào)性當(dāng)厶X = 0時(shí)，十0從而衛(wèi)二 Z 1 ，又因?yàn)閥= f(x)連續(xù), y 當(dāng) Ax 0， y 0，從而 f (x)二 d(y) 利用以上定理可以證明: (arcsin x) (arccos x) = - 1； (arctan x) 1 1 x2， (arc cot x)12 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

4、 法則：設(shè)y = f (：(x)是由y = f (u),u h護(hù)(x)復(fù)合而成.若u hF:(x)在x處 可導(dǎo)， 而y = f(u)在U處可導(dǎo).則y = f( (x)在x處可導(dǎo)且 3二史蟲 dx du dx y二f (u)在u處可導(dǎo)，則有 lm -y 二 f (u)， :u (u) *，其中 :0.可以推得 = f (u)u 用2除以式有+ f(u)* dy dx 這個(gè)法則相當(dāng)重要，稱為復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t. 所以 dy du du dx 復(fù)合過程可推廣到多個(gè)情形 例3求(e3x) 解 y =e3x為 y =eu,u =3x復(fù)合而成，所以 dy = dy du =eu 3 =3e3x. dx d

5、u dx 例 4 求 y = (In tan x) 解 y=lntanx由y =lnu, u=tanx復(fù)合而成，所以 dy dx dy du du dx sec2 x = 2 csc2x 注：在熟練掌握的基礎(chǔ)上，可不必寫出復(fù)合過程，可直接寫出結(jié)果 例 5 y =1 n(x1 x2) (1 x 一1一X2 )= 1 廠X2 例 6 f (x) = x2 - a2 a -a arccos x f (X)二一22 x - a a (f)=j22 例 7 y = (f (ax b) 解 y = n(f(ax b) f (ax b) a. 例 8 y = arctg (ln( ax b) 1 1 2a

6、. 1 ln (ax b) ax b 例 9 已知 f (x) =x(x 1)(x2) (x TOO)，求 f (0) 1： f(0) = limf=lim x(x 1)(x 2) rx 10嘰100 - xjx_0T f (x) =(x 1)(x2) (x 100) x(x 1)(x2) (x 100) .=100 ！ 例10 設(shè) f (x) = 1 g (x) sin 心 0J 且 g(0) =g (0)=0,證明：f (0)=0 f(0) = l,m f(xf(0) g(x)si n- = limx， x - 0 xx 又因 g(0)=lxm0Hlxm0=0,且 .1 sin x 故易知

7、f (0)=0. 例 11 設(shè) f (x)在T,1上有界，g(x) = f (x)sinx2，求 g (0) 2 解 g（O）=iimg（x）g（）=lim f（x）sinx =limf（x）x = O. T x 07 x7 小結(jié) 1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則； 2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則； 3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 作業(yè) 作業(yè)：p103 8 奇數(shù)題，15奇數(shù)題; 預(yù)習(xí)： 3.2 P80- 86 3.2求導(dǎo)法則(二) 教學(xué)內(nèi)容 1. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 2. 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 教學(xué)目的 1. 熟練掌握隱函數(shù)與參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法； 2. 掌握抽象形式的函數(shù)的

8、一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法； 3. 熟練掌握對數(shù)求導(dǎo)法； 4. 理解和會(huì)求相關(guān)變化率. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 掌握隱函數(shù)與參數(shù)式所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，相關(guān)變化率的計(jì)算. 復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容 1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則； 2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則； 3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1. 隱函數(shù)的定義： 形如y二f (x)的函數(shù)為顯函數(shù).而由方程F(x,y) = 0或f (x, y)二g(x,y) 所確定的函數(shù)為隱函數(shù) 2. 隱函數(shù)求導(dǎo)法：將方程兩端對x求導(dǎo)(y看成x的函數(shù))，然后解出y 例1已知ey xy _ e = 0，求魚. dx 解：eyy xy y 二0 從而目二. x +

9、ey 例 2 已知 y5 +2y _x _3x? =0，求空| x_o dx1 - 解: 5y4y 2y 121x6 21x6 1 2 5y4 將x = 0代入原方程里得 所以dy 7 3. 對數(shù)求導(dǎo)法(多用于求幕指函數(shù)f(x)g(x)與多因式函數(shù)求導(dǎo)問題，兩邊 取對數(shù)，變顯函數(shù)為隱函數(shù)，再使用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)) 例 3 y =(tanx)sinx，求 y 解: In y 二 sin x In tanx , 1 . 1 2 y = cosx In tan x sinxsec x . ytan x 所以 y =(tan x)sinxcosxln tan x sin x1sec2 x tan x

10、sinxlntanxsin ln tanx12 法 2： y = e，所以 y = e cos xln tanx sin x sec x. tan x 例4廠H2) (x_3)(x_4) 解：In y 二ln(x _ 1) ln(x _ 2) _ ln(x _ 3) _ ln(x _ 4), 2 11 1 1 1 1 n y y2x-1 x-2 x-3 x-4 所以 y丄1(X 1)(X-2). 2x-1 x-2 x-3 x-4 (x-3)(x-4) 二、參數(shù)方程求導(dǎo)法 設(shè)參數(shù)方程為(t),，顯然若x=(t)存在反函數(shù) Kt). t=(x)則yj：，(x)為x的復(fù)合函數(shù)，若X八(t)，y= (

11、t)可導(dǎo)，且 dy F=。，則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有：dx哼存參喘 dt y = bsint. 例6已知橢圓參數(shù)方程為xNCOst,，求橢圓在t 處的切線方程 解：先求處所對應(yīng)的橢圓上的點(diǎn) Mo的坐標(biāo)為（a,b），在點(diǎn) 2 2 Mo處切線的斜率k二 dy dx bcost 遲-asint t 4 -b ,所以所求的切線方程為 a y = bsi nt.4 y 2 例7求三葉玫瑰線r二asinS在二 3處的切線方程 x a sin 30 cos日兀 解：先將其化為參數(shù)方程asw：在3處對應(yīng)點(diǎn)為（0,0）， dy dx _3acos3rs吠 asin 3 cos 十3 3acos3rcos)- as

12、inBsin 3 所以所求的切線方程為y =、3x. 小結(jié) 1. 隱函數(shù)的求導(dǎo)法； 2. 對數(shù)求導(dǎo)法； 3. 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法 作業(yè) 作業(yè)：p104 24，25，26； 3.2 求導(dǎo)法則（三） 高階導(dǎo)數(shù) 教學(xué)內(nèi)容 函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)； 教學(xué)目的 1. 會(huì)求函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)和簡單函數(shù)的 n階導(dǎo)數(shù); 2. 掌握抽象函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)的求法 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 抽象函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)的求法 復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容 1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則； 2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則； 3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念 我們知道y = f (x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)仍為x的函數(shù)，當(dāng)然可以繼續(xù)求

13、導(dǎo)數(shù).稱 y二f (x)的導(dǎo)數(shù)(y ) =(f (x) 為y = f (x)的二階導(dǎo)函數(shù)，記為y，或f (x) dy dx2 類似的我們可以三階、四階n階導(dǎo)數(shù)，記為=(y ) , y=(y(2丫, 由此可見高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法為反復(fù)求導(dǎo)法 例 1 y = ax b，求 y . 解 y 丄 a , y =0. 例2證明y =2x-x2，滿足關(guān)系y3y_ T = 0. 2-2x =1-x 22x - x22x - x2 -：2x -x2 (1 x) 2 -2x 2 2 x2 c2 2x x _2x + x2 _1 +2x_x2 3 (2x-x2)? y 則 y3y1 = 0. 二、n階求導(dǎo)公式 例3求

14、y二ex的各階導(dǎo)數(shù) 解：宀ex. 例 4 已知 y =sin x ,求 y(n)(x). 解：y 二 cosx 二 sin(x ) 2 ji y = -sin x 二 sin(x 2) y(n)二sin(x n ；) 同理可以推得(cosx)=cos(x n，2) 例 5 y 二 ln(1 x)，求 y(x). 解: y =1=(1 x)，y =(-1)(1 x)-, y =(一2)(一1)(1 x)- 1 +x y(n)=(_1)2(n_1)!(1x) 在求n階導(dǎo)數(shù)的過程中.關(guān)鍵是找規(guī)律，最后歸納到一般. 例6求y = xu的n階導(dǎo)數(shù) 解: y =uxuJ1, y =u(u_1)xu，, y

15、 Ju(u _ 1)(u _ 2)xu y(n) =u(u -1)(u -2) (u - n 1)xu. 特別地，當(dāng) u 二 n 時(shí)，(xn)(n) = n!. 下面我們來導(dǎo)出和、差、積的n階導(dǎo)數(shù)公式. 1. (u_v)(n) =(u)(n) _(v)(n). 2. (uv)(n)=u(n)v nu(v乜 幾2八 uv(n). 2! 其中，(uv)(n)有點(diǎn)特別.事實(shí)上， (uv)二 u v uv (uv)二 u v 2u v uv (uv) = u v 3u v 3u v uv (uv)(n) =u(n)v n u(nJ)vBuy，-uv(n) 2! 此公式稱為萊布尼茨公式. 例7使用萊布尼茨公式計(jì)算y二x2e2x的20階導(dǎo)數(shù) 解：令 v =x2,u = e2x，且 u(k) =2ke2x，所以 20 2 2x (20)k (20 4)(k)0(20)(0)1(19)2(18) (x e )C20u v=C20uv +C20u v +C20u v k =0 20 2 x 219 2 x20 1 918 2x20 2 x 2 =2 e x +2 2 e 2x+2 e 2 = 2