轉動慣量的平行軸定理

1、由上節(jié)的定義可知，剛體的轉動慣量矩（或回轉半徑）與慣性積和連體基及其基點的定義有關。從例5.1-1可以看到。對于同一個基點不同方位的兩個連體基，一般情況下剛體關于兩基的轉動慣量與慣性積各不相同，但它們有一定的關系（詳見6.4節(jié)）。本節(jié)討論當基點改變，連體基的方向不變時剛體的轉動慣量間的關系。在剛體的質心 C上建立另一個與l平行的連體基。質心C相對于0的矢徑為I。質點R相對于點0與C的矢徑分別為與二。由圖5-2可見，這些矢徑有如下關系圖5-2不同基點轉動慣量的關系(5.1-5)由于兩基平行，該矢量式在基l上的坐標表達式為(5.1-5)其中匸；i 為質心C矢徑I在基J上的坐標陣,為Pk的矢徑在基上

2、的坐標陣。將式（5.1-5） 代入（5.1-2C），有Jg =叫也十曲十Sf*=叫瑁*：丹斗+處迄叫W刀叫丿；亠磯刀叫Vkji1Jl(5.1-6)考慮到矢徑二由質心C岀發(fā)，由質心的矢徑與質點矢徑間的關系式（2.3-24），有在連體基！J的坐標式為(5.1-7)因此式(5.1 -6)右邊的后兩項為零。根據定義，該式右邊第一項為剛體相對于Jcz,即人=飩肚十屈Cz軸的轉動慣量(5.1-8)同理可得右邊第二項中的為Oz軸與Cz軸的垂直距離，記為hz。這樣式(5.1-6)變?yōu)?5.1-9)(5.1-10)式(5.1-9)與(5.1-10)描述的是剛體轉動慣量的平行軸定理：剛體對任意軸的轉動慣量等于它對

3、 過質心的平行軸轉動慣量加上剛體的質量與兩軸垂直距離平方的乘積。利用同樣的方法可得到剛體關于O慣性積與關于C慣性積間的關系式心-十幗匚耳(5.1-11a)(5.1-11b) (5.1-11C)例 5.1-2計算該擺對圖示一擺由長為I均質桿與一半徑為 r的均質圓球剛連而成。質量分別為 m與m 過O且垂直桿的z軸的轉動慣量。例5.1-2圖由附錄A令過點0桿繞z軸的轉動慣量為 ；，球對過質心 C2的平行z軸的Z2轉動慣量為知,(1)Amdt令球對過點 0繞z軸的轉動慣量為:L，由式（5.1-9），考慮到式（1），有+ 叫(j 4-r)1令整個擺對過點0繞z軸的轉動慣量為，由定義式（5.1-2C），考

4、慮到式（1）與2丿廣厶盧幾飛叫苛用F+叫Q + F）質點系轉動慣量與慣量積的定義一質點慣性的度量為該質點的質量。考慮有n個質點構成的質點系。令質點系內任意一質點的質量為m。對于該質點系，度量其慣性的物理量之一為質點系的總質量，即(5.1-1)j-i質量在國際單位制中單位為千克（kg）。對于剛體，如果將上式的求和號對剛體的所有質點進行，得到剛體的質量。它是剛體平移運動慣性的度量。現考察質量相同的兩個圓環(huán)，用同樣的力偶繞圓環(huán)的軸線驅動它們，發(fā)現直徑大的圓環(huán)啟動比較困難，表現岀較大的慣性。說明剛體在作轉動時，系統的慣性將與質點系的質量的分布有關。為此需引入描述質點系慣量的另一個物理量：轉動慣量。在剛

5、體上過點 0建立一連體基l （見圖5-1），質點Pk相對于0的矢徑為，其在該基上的坐標陣(5.1-2a)(5.1-2b)(5.1-2c)(5.1-3)圖5-1轉動慣量與回轉半徑心：S叫悄吃）=叫此tAtki.t其中匚、與也分別為質點 Pk到OX、Oy與0Z軸的距離。稱 Jox、Joy與Joz分別為剛體關于 OX、Oy與Oz軸的轉動慣量。轉動慣量在國際單位制中單位為千克平方米（-7）。轉動慣量的另一種表達方法為其中，m為剛體的質量， 、:；與&分別稱為剛體對 Ox Oy與Oz軸的回轉半徑。一些常見的規(guī) 則外形均質剛體轉動慣量與回轉半徑見附錄A。描述剛體轉動慣量的另一個量為剛體的慣性積。對于過剛體

6、上點 0的連體基，定義如下與轉動慣量有相同量綱的量：(5.1-4a)ft(5.1-4b)(5.1-4c)稱J6y與Jw為剛體關于Oxy平面的慣性積；稱 Joyz與Jozy為剛體關于Oyz平面的慣性積；Jozx與 Joxz為剛體關于Oxz平面的慣性積。例 5.1-1考慮一均質圓盤的轉子，質心為G轉子的轉軸 Cz與圓盤中心軸一1有如圖所示一小偏角 二。試計算慣性積Jczx例5.1-1圖如圖所示過c建立兩個連體基l與r?；鵯相對于基l，的方向余弦陣為對于圓盤上的任意點R在兩個基上的坐標陣間的關系為:令亠與th. ，展開上式有rt = X； cos-z； sinr 人= r； sin + r* cost?將式 與 代入定義式（5.1-4C），考慮到式（5.1-2C） 與（5.1-2a），有三另叫(ij1 -z；1) sm cos(9+叫 劭(cos1 fl-si