等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的證明及應(yīng)用

1、一個等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的完善及應(yīng)用黃文憲福建省南安市新營中學(xué)摘要：本文所指等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)是抬幾，S2m-Sni, S3m-S2m間的關(guān)系，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用又常錯的命 題。很多的課外輔導(dǎo)材料中所給的相關(guān)性質(zhì)都是不完善的.應(yīng)用該性質(zhì)解題存在著邏輯上的缺陷，但又不易察覺。木文 對該性質(zhì)進(jìn)行了完善與發(fā)展，使得利用該性質(zhì)解題能完整無誤。關(guān)鍵詞：等比數(shù)列 前項(xiàng)和 性質(zhì) 完善 應(yīng)用在很多的高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)材料中，都有關(guān)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和一個性質(zhì)：在等比數(shù)列%中，若其前n項(xiàng)和為Sn, m6N則S叫Sm-Sg也成等比數(shù)列，公比為q：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和有相類似性質(zhì)的存在，雖然沒有嚴(yán)格的證明，但在慣性思

2、維作 用下，這個性質(zhì)得到廣大師生的認(rèn)同。其實(shí)，這是一個假命題，比如有窮等比數(shù)列1，-1 ,1 ,-1 ,1 ,-1的前兩項(xiàng)和、中兩 項(xiàng)和及后兩項(xiàng)和,組成的數(shù)列為0 ,0 ,0 ,顯然不成等比數(shù)列。這說明，至少在公比 q=-1時，命題是不成立的。那么，該性質(zhì)應(yīng)如何表述才恰當(dāng)呢？1. 1等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及其證明等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)：在等比數(shù)列%中，其前n項(xiàng)和為, mW 1ST,則 （S2m-Sm）2 = Sm-（S3m-S2m）e證明：在等比數(shù)列SJ中，前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)公比為q（q0）,則Sm = al + a2 + - + amS2m Sm = ani+l+am + 2 +，a2m=Cl（

3、幻 + 過 + + 哲S3m_S2m = a2m + l + a2m+2 +，a3m= （幻 + 巧 + + %）當(dāng)時，Sm = ai + a2 + e-e + ain*,，S2m Srn由於FIII=qs - s d3m d2m mcq = q由得b2m -s - ss - s2ni3m2m S = S9 -S m2 m m2 Sin|S2mSnS3inS2m是等比數(shù)列，即有（弱皿一九）=Sm *（昌皿一込皿）。當(dāng)q =-1時若 m 為偶數(shù)，則 Sm = al + a2 + - + aIn = 0,S2m Sm = am+l+am + 2 + 二4“(31 + 巧 + + 心二0S3in S

4、2m = a2in + l + a2m + 2 +，a3m=Cl(J + a2 + + ain)=O2此時，Sm|S2mSnrS3mS2m不成等比數(shù)列，但有S2m Sm)= Sm *(S3m S2m)m 1若 m 為奇數(shù)，則 $m = ai + a2 + + am = arn = ai =ai,S? - S = a 1 + a ? + a? = a? = a - q2n_1 =- a,2m m m + 1 m + 22m Zm 111 qi3m -1S3m S2m = a2m + 1 + a2m + 2 + 也皿=a3m = ar A =ai at 主 0,2 SiS2m 一 Sm $3m -

5、成等比數(shù)列，即有2m 一 $m)= Sm *($3m 一 S2iJ綜上所述，在等比數(shù)列%中，其前n項(xiàng)和為Sn, meN則2軸小0 =Sm-(S3in-S2in)o1. 2等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用錯析有了等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)，可以直接用它來解題了嗎？先看以下一道試題兒個學(xué)生 的不同解法：人教A版教輔優(yōu)化設(shè)計(jì)P42,試題7：等比數(shù)列%的前n項(xiàng)和為Sn,S2 = 3* S6 = 63,則S4=2學(xué)生甲:由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)有:(S4_S2) =S2X (S6-S4)所以(S4-3)=3 x (63-S4)2S4-3S4-180 = 0- s4 = 15 或S4 =-12學(xué)生乙：顯然公比q癥1,曲

6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得2/6=3al-q2)i-qa/1-q6)63i-q十得l+q2 + q=21 解得q2 = 4或=-5 （舍去）q = 2或q =- 2al = 1 t、|q = 2 或a 】=_ 3 q=_2= 1q = 2 時,al-q4)S4=1-q=15a】=_ 3當(dāng)(q=-2ai(i-q4)時3/6綜上所述，S4 = 15學(xué)生丙：由已知S2 = S，S6=63得aa + a2 = 3at + a2 + a3 + a4 + a. + a6 = 63+ q2 + q4 = 21解得q2 = 4或=-5 (舍去)2s4 = a1 + a2 + a3 + a4=(a + a2) +

7、 (a1 + a2)q = 3 + 3x4 = 15所以S4 = 15.觀察對比兒位同學(xué)的解法會發(fā)現(xiàn)，直接利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解題，可能會產(chǎn)生 增根，從而得出錯誤結(jié)果。甲同學(xué)的解答得出的S4=_12對應(yīng)于乙同學(xué)和丙同學(xué)解答時得 到的q-5,等比數(shù)列不存在。所以性質(zhì)“在等比數(shù)列%中，其前n項(xiàng)和為Sn, meN*2則dm SQ =Sm-（S3m-S2m）的題設(shè)是結(jié)論的充分不必要條件，即在等比數(shù)列中，其2前n項(xiàng)和為Sg mN*則dm-SQ = Sm-（S3m-S2m）一定成立，但滿足（S2m Sm）= Sm （S3m S2m）S2m* ni不一定是一等比數(shù)列的前m, 2m, 3m項(xiàng)和。 所以探究

8、等比數(shù)列中前I, 2m, 3m項(xiàng)和的內(nèi)在聯(lián)系成為該性質(zhì)應(yīng)用的必然。1. 3等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)分析完善因?yàn)?Sin = al + a2 +，+ amS2m = ai + a2 + + arn + arn + 1 + am + 2 + a2m =（】+ 9”）SmS3m = a1 + a2 + - + am + am + 1 + am + 2 + -a2m + a2m + 1 + a2m + 2 + -a3mi23=（i + qm + q2m）sm=（qm） + 押，所以m為偶數(shù)時，l+ql,貝Ipm，S2m同號且I Sm I 所以Sm與S3m必同號。因此，等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)表述為：2在等比

9、數(shù)列%中，其前n項(xiàng)和為,=Sm（S3m-S2m （當(dāng)IB為偶數(shù)時，九Sqm同號且I S.n I I S2m I ）。1. 4等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解題應(yīng)用例1、若某等比數(shù)列中前7項(xiàng)和為48,前14項(xiàng)和為60,則前21項(xiàng)和為.2解：m = 7為奇數(shù)，s7 = 48, S14 = 60,由關(guān)系式（S14_S7）=S7-（S21-S14）可得144二4821 一 60）,所以S2i = 63例2、在等比數(shù)列%中，S2 = 7, S6 = 91,求S42 2解：由（“4 12）=$2（6 一 “4）得4 -兀厶-588 = 0解 ffS4 = 28gjS4=-21因?yàn)閙 = 2為偶數(shù)，S?、S4同號且I

10、 S2 1 1 S4 1 ,所以S4 = 28o例3、已知等比數(shù)列%中，前20項(xiàng)和S2O = 30,前30項(xiàng)和S3O = 70,求前10項(xiàng)Sio。2 2解：由20_0)= S1O (S30 - S20)得$10 _ 1OOS0 + 900 = 0解得Sio 0或Sio = 90因?yàn)閙 = 10為偶數(shù)，Si。、同號且I % I I S20 I ?所以sio = 100例4：已知等比數(shù)列%中，mGN“，前2m項(xiàng)和S2m = 30,前3m項(xiàng)和S3O = 70,求前m 項(xiàng)m。解：由dm 一 S.n)= Sb/ CS3m - SqQ得時-W0Sm + 900 =0當(dāng)皿為偶數(shù)時，S、S2m同號且I Sm

11、1 1 S2m 1 , Sm = 90不合題意，舍去，所以當(dāng)m為奇數(shù)時，Sm = 10或Sm = 901. 5反思感悟在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，有很多知識之間聯(lián)系很緊密，知識的生成過程中經(jīng)?？蛇M(jìn)行類 比，這種推理因其“合乎情理”而有利于學(xué)生的接受，促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展。等差數(shù)列 和等比數(shù)列關(guān)系緊密，兩者之間在定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等各方面進(jìn)行類比是教學(xué)過程中 常態(tài)。由“等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為Sn,貝ip叫渤巧“，也成等 差數(shù)列”類比得出“等比數(shù)列%中，其前n項(xiàng)和為Sn,貝ijS叫S2m-Sm, S3in-S2m也成等比數(shù)列”是一個很自然的過程。但合情推理不是邏輯推理，其所得結(jié)論并 不一定為真。類比所得結(jié)果必須進(jìn)行邏輯證明是克服學(xué)生慣性思維引起錯誤的有效方法。在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，有很多的性質(zhì)、定理、推論。這些性質(zhì)、定理、推論中，有一些 的題設(shè)與結(jié)論是不等價的，或者說題設(shè)是結(jié)論的充分不必要條件。除了本文研究的等比數(shù) 列前n項(xiàng)和性質(zhì)外，還有很多，比如： 函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)