線性代數(shù)詳細知識點

1、線性代數(shù)第一章行列式11二階和三階行列式一、二元一次線性方程組與二階行列式結(jié)論：如果ana22-a2a2O9則二元線性方程組anxA +aA2x2 =ba.x. +q“ 兀，=1入1 I厶的解為d血-恥21MSCli aCli |定義：設(shè)an,ai2.a2,a22,記aa22 -a2a2為。稱-為二階行列式有了行列式的符號，二元線性方程組的求解公式可以改寫為au% an 如 ai221 Cl22二.三階行列式與三元一次線性方程組=a 22a33 +aA2a23a3 +l3“2p32 一 13。22“31 一如如如一坷123“32aa2a3定理：如果D = a2a22心3工.則（x；,x；,x；

2、）是下面的三元線性方程組的解鈿山2 33aux+al2x2+ay3x3=ba2x + ci22x2 + “打“ =Xa3x+a32x2+a33x3=b當(dāng)且僅當(dāng)S435 S如bl彳=!D,x2 =2i S a23ID, A；=b.IDb3 。32“33ch X a3331a32 b3你如知其中a2a22。23為系數(shù)行列式?！?1a32“33證明：略。12性質(zhì)仁 行列式行列互換，其值不變。性質(zhì)2:行列式菜兩行或列互換，其值變號。例如推論：行列式有兩行相同，其值為零。性質(zhì)3:行列式某一行的所有數(shù)乘一常數(shù)等于行列式乘該常數(shù)。例如如12肋22%=k如。3】53233推論：行列式某一行或列的公因數(shù)可以提到

3、行列式外面。 推論：行列式有一行全為零，其值為零。性質(zhì)4:行列式有兩行成比例時，其值為零。性質(zhì)5：行列式關(guān)于它的毎一行和每一列都是線性的。例如如124 3如13aa2323 +優(yōu)3=a2如。23+% b21 b2331皎53233Ci31 a32a33性質(zhì)6：將行列式的某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k后加到另一行（列）對應(yīng)位置的元 素上，其值不變。例如55 終 23a22 + kal25 + 肋i：。21。22么2331(t32a3331a32a33性質(zhì)7:行列式按菜一行展開定理的證明:乘第一個方程如州+aX2x2 +。13召=b ,用 1213 乘第一個方程 21X1 + a22X2 + a

4、23X3 = b2 得a32“33133X? + 3同理，有1222an+ (-1)+得利用性質(zhì)7,得521123a22a23E +22Ct2 a3a22a23X2 +a323Ci2a3a22a233 =bb2a2Cl3(t22“235a32 他332a32“333323b3Ct32 3從而5213a2321如 a23西=b2a22a235“323%32偽 3anx +a2x2 +3X3 =0定理：a2x + a22x2 +如心=0有非零解當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式) = 0。a3x + a32x2 + a33x3 = 0證明：必要性：若齊次方程組有非零解，如果QH0,由前面的定理，矛盾。 充分性：若

5、D = 0,注意如岸21他臨】）帶入第2和第3個方程，容易驗證它是方程組的解。因此，如果22不全為零，則定理得證。32axlx. +知旳 +a.x. =0等價于 11 1丄13 3 o而該方程紐一定有非零解（為什么自己討論）。a2X + CI22X2 + a23X3 = 02全排列及其逆序數(shù)定艾：1,2,/的一個排列是指這川個數(shù)紐成的一個有序組。定義（逆序與逆序數(shù)）：設(shè)葩 是的一個排列，如果j ik,則 稱,Q構(gòu)成一個逆序?qū)Γ帕锌?山的所有逆序?qū)Φ膫€數(shù)叫做置換排列的逆序 數(shù)，記為龍伸2打）。（一1）曲）叫做排列“2 中任意取定行，則由這k行元素組成的一切k階子式與它們 的代數(shù)余子式的乘積之和

6、等于）。即D= E 0也，人；兒小7）（-1）泌7處6旳（也，；幾小人） ji-y43.拉普拉斯(Laplace)定理的應(yīng)用例1:例2:計算11 C12定理:ln%h12b訃b2l方22紜%bn化2饑5細00 0 吆 0 0 0 anai2%00 0-10 0%勺2勺 -1 0 h2l 方22 紜 00 一1bnbn2紅這里 = aflbj + ai2b2j + + ainbnj。證明：構(gòu)造12%00 0 。22 如 0 0 0 %00 0-10 0%勺2九 -1 0 b2l 優(yōu) 00-1億2化7克拉默法則線性方程組的有關(guān)槪念定理：克拉默法則推論：齊次線性方程組坷內(nèi)+如E+氣= 勺內(nèi)+如兀2+

7、。2屆=0(1)有非零解當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列州內(nèi)+為2花+。呦=0式為零。證明：必要性。若齊次線性方程組有非零解，由克拉默法則，系數(shù)行列式為零。 充分性。若系數(shù)行列式為零，利用歸納法。當(dāng)ft = 2時，結(jié)論成立。假設(shè)k =0a2+a22x2+- + a2nxn=0 、由 一/ 麗宀十推論：在齊次線性方程組(1)中，若m + ax. = 0j 33 3-4 4 c的系數(shù)行列式為零，證明x?=A-axA + a2x2 + Mx4 = 05內(nèi) + a42x2 + a43x3 + 6/44X4 = 0=A是它的一個解。第二章矩陣1矩陣1. 矩陣的定狡定艾1：數(shù)域K上的m x n矩陣為加行“列的數(shù)表九12氣

8、、幻（122a2n atn am2 atm 7記為人=W或者仏。知叫做矩陣A”的第，行丿列的元。對角元素。當(dāng)m =n ,矩陣A”*”叫做階方陣。實矩陣與復(fù)矩陣。矩陣的相等m xn矩陣A =）與B = ）是相等的，若ay = bif（i = 1,2,，J = l,2,，n ）o零矩陣若知=0 （z = 1,2，屮）,則稱矩陣A =（佝）為零矩陣。負矩陣（一譏初叫做矩陣4 =（勺）的負矩陣記為一A。上三角矩陣形如am%沐0如如。2”和 0 0 %00 0”m ) 000 ,的矩陣叫00做上三角矩陣。對角矩陣n階方矩陣乙=110叫做n階對角矩陣。tut / 1 00 1單位矩陣En = 2矩陣的運算

9、【矩陣的加法】21 . a2lJ +% 勺2方22 勺b2n 二你+久21 +/?21 Cl2 +12山2 + b 仏+bJa2n +b2n amClml )血Ihm2)【矩陣與數(shù)的標(biāo)量乘法】5 k %命題：對數(shù)域K上的任意m x /:矩陣4、B、C以及任意的kJeK 9有1) A + (3 + C) = (A + 3) + C2) A+B = B + A3) A + O = A4) A + (-A) = 05) k(l-A)=伙/)A6) (k+l)A = kA + l-A7) k(A + B) = k A + k B8) A = A.【矩陣的乘法】定義:對數(shù)域K上的任意加x 矩陣A =(6

10、/.), nx r矩陣B =(化)，定戈Ax B = (cQ。其中 Cjj =Aj+ai2b2j +. + ainbnj (i = 1,2,2J = 1,2，)。命題：1)矩陣的乘法滿足結(jié)合律：A(BC) = (AB)C :2) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC3) A(AB) = (AA)B = A(AB)4) AE = EA = A (A 為”階方陣)矩陣的方獺【矩陣的轉(zhuǎn)置】/ Cl a2 am定義：加矩陣 勺2am2叫做m x n矩陣4 =(知)的轉(zhuǎn)置矩陣，記為屮。 4”吆嘰命題：1) (ATY = A2) (A + B)7 = A7 +BZ ；

11、3) (M)r = k - A7:4) (AB)r = BrAr o【方陣的行列式】定狡：行列式叫做幾階方陣q =（）的行列式。記為同。命題：1) |Ar| = |A|2) |/tA| = r|A|：3) AB = AB：4) (AB)T = BTAl o3逆矩陣1. 矩陣的定義定義：數(shù)域K上的m x n矩陣為in行”列的數(shù)麥ana22Ci2nm2ItUi /記為A = aijmxn或者仏知叫做矩陣A”“的第i行j列的元。對角元素。當(dāng)m = n ,矩陣A叫做階方陣。行列式叫做畀階方陣A = ay）的行列式。記為同。矩陣的相等m xn矩陣A =（佝）與B =傀）是相等的，若知=%（i = 12，

12、加J = 1,2,丿）。零矩陣若列=0 （7 = 1,2,mJ = 12則稱矩陣A = （.）為零矩陣。負矩陣（一）“呦叫做矩陣A = （.）的負矩陣記為4。上三角矩陣形如如、am an%0如如“22Ct2nt ain和 0 0 % 00 00 a mm 丿 000 ,的矩陣叫3做上三角矩陣。對角矩陣n階方矩陣畀=叫做川階對角矩陣。mi / 1 00 1單位矩陣En = %5%、轉(zhuǎn)置矩陣n x m矩陣如 如 % an叫做mxn矩陣A =（氣）的轉(zhuǎn)置矩陣，記2. 矩陣的運算矩陣的加法 如 d,2” +% “22 亦b2n 二21 +% an +1252*“ 5+bJ% +b2n amam20腫丿

13、血1bm2bnm ；矩陣與數(shù)的標(biāo)量乘法命題：對數(shù)域K上的任意mx n矩陣4、B、C以及任意hijkJeK 9有5an沐(kaxxkg5、22吆=k 5“22kf Clm % Clmn ) k % k 嘰1) A + (B + C) = (A + B) + C2) A+B = B + A3) A + 0 = A4) A + (-A) = 05) k(hA) =伙/)A6) (k+l)A = k-A + l-A7) k(A + B) = k A + k B8) l-A = Ao矩陣的乘法定義:對數(shù)域K上的任意m x 77矩陣A =(知)，Hxr矩陣B = (bl),定戈AxB = (q)。 其中勺

14、=atJbxj + ai2b2j + + ainbnj (z = 1,2,2 J = 1,2,r )。命題：1)矩陣的乘法滿足結(jié)合律：A(3C) = (A3)C;2) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC3) (A + B)T =Ar + Br4) (kA)1 = k - /I75) (AB)t = BrAr o6) A E = E A = A (A 為”階方陣)3. 矩陣的初等變換：初等行變換，初等列變換初等行變換：1)交換兩行的位置；2) 用一個數(shù)乘以某一行：3) 用一個數(shù)乘以菜一行后加到另一行。4矩陣分塊法1. 矩陣的定狡定艾:數(shù)域K上的m x n矩

15、陣為in行/:列的數(shù)表5 12 m2mn /記為A = aijmxn或者人計你叫做矩陣盅“的第j行丿列的元。對角元素。當(dāng)m =/t矩陣4網(wǎng)叫做打階方陣。行列式叫做料階方陣A = (aij)的行列式。記為同。矩陣的相等m xn矩陣A = (5)與B = (bj)是相等的，若知=%(z = 1,2,= l,2,n )o零矩陣若5=0 (j = 12zj = 12)，則稱矩陣A = (.)為零矩陣。負矩陣(一5)“呦叫做矩陣4 =(勺)的負矩陣，記為一A。bn上三角矩陣形如10勺2沐0如“2”a2n和 0 0 % 00 0 000 ,的矩陣叫做上三角矩陣。對角矩陣單位矩陣n/i /叫做川階對角矩陣。

16、叫做舁階單位矩陣。轉(zhuǎn)置矩陣n x m矩陣22叫做m x n矩陣A = (ai)的轉(zhuǎn)置矩陣，記為屮。2. 矩陣的運算矩陣的加法如n%bg如+%12 + b?21.aln+b2“22b2n二21 +b2l知+碼 % +b2n % amn ) Aa 饑2 ntn / 4 +如 am2 + wr2 矩陣與數(shù)的標(biāo)量乘法11a2以5kan. k、。22吆=k 5k a22kg % 丿 k如kj k )命題：對數(shù)域K上的任意m x /:矩陣A、B、C以及任意的kJeK9有1) A + (B + C) = (A + B) + C2) A+B = B + A3) A + O = A4) 4 + (q)= 05)

17、 k(l-A)=伙/)A6) k+l)A = k-A + l-A7) k(A + B) = k A + k B8) l-A = Ao矩陣的乘法定艾：對數(shù)域K上的任意m x n矩陣A =(佝)，nxr矩陣3 = (bj ,定狡Ax B = (q)。 其中 Cij = aibj + ai2b2j + + ainbnj(=匕 2, 2, j = 1, 2,r )o命題:1)矩陣的乘法滿足結(jié)合律：A(BC) = (AB)C :2) A(B + C) = AB + AC(A + B)C = AC + BC3) (A + B)r = A1 + Br4) (kA)1 = k-A15) (AB)r = BrA

18、r o6) A E = E A = A (A為川階方陣)3. 矩陣的初等變換：初等行變換，初等列變換 初等行變換：1）交換兩行的位置；2）用一個數(shù)乘以某一行：3）用一個數(shù)乘以某一行后加到另一行。第一章向量代數(shù)1向量的線性運算一.向量的基本概念1. 向童的槪念、有向線段、向量的表示2. 向量的長度或模.單位向瑩、零向量、負向量 二.向量的運算1. 向量的加法定艾平行四邊形法則.三角形法則 加法的性質(zhì)2. 向量的減法3. 向量的標(biāo)量乘法標(biāo)量乘法的定艾，標(biāo)量乘法的性質(zhì) 2向量的共線與共面1. 共線與共面的含狡2. 共線與共面的判斷和性質(zhì)命題（1）如果存在實數(shù)使得（i=k h ,則盤與b共線：（2）如

19、果與厶共線并且 心0,則存在唯一的實數(shù)使得N = kb 命題 如果存在實數(shù)kjn ,使得di + mb ,則.6、共面。命題 如果、b . X共面，并且與b不共線，則存在唯一的實數(shù)對kjn ,使得 c =ka + m-b。3. 線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān)的定艾命題、的等價描述。問題：若一紐向量線性相關(guān)，再加進一個向量后還是否線性相關(guān)若一組向量線性無關(guān).去掉一個向量后還是否線性無關(guān)4. 自由向量、位置向量、空間點與向量的一一對應(yīng)3.向量的線性關(guān)系與線性方程組命題：取定空間仿射標(biāo)架O;即耳迢1，對任意三個向# a . B、c ,設(shè) a = auex + a2e2 + a3e3, b =

20、al2et + ci22e2 + a32e3, c = a3e + a23e2 + a33e3 則 、b、c 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)anx + a2x2 + al3x3 = 0 a2x + a22xi + ai3x3 = 0山州 +a32x2 +33X3 = 0 有非寥解。對任意三個不共面的向量、b . c 9向董/可被它們線性表示與線性方程組解的關(guān)系O命題 推論 命題 推論第三章線性方程組 1n維向量空間定狡：數(shù)域K中n個數(shù)組成的有序數(shù)組（4，冬稱為數(shù)域K上的一個川維向量。毎 稱為該向量的分量。記衛(wèi)2,心）=乳（00,0）叫做零向量。向量（一即一 2,，一勺） 叫做向量（4衛(wèi)2，綣）=玄的負向量。

21、記為一刁=（-!, 一。2,一）定狡：數(shù)域K中兩個向董=（旳,2,，”）B =（勺4，.，4）叫做相等的，若對所有的 i = y2y.n,都有al = bi 0 這時記a =b定義:對數(shù)域K中的任意兩個向量a =（al,a29.,an） b =（bl9b29.9bn）,定義a+b =(4 +b,a2 +b2,.,an +bn)。a +b叫做刁與方的和。定狡：對數(shù)域K中的任意向董 = (“,勺，,0”)、任意k已K ,定艾k 石=伙a】,畑2,，匕)ok-ci叫做與的標(biāo)量乘法。命題：對數(shù)域K中的任意向b . c ,以及任意的kJeK 9有1) a + (b +c) = (d +b) + c2)

22、a + b =b+d3) a + O = a4) + (-刁)=05) k(l-ci = (kl)a6) (k+l)ci =kci+La7) k(a+b) = k 冠+ k b8) -a=a a定狡：數(shù)域K中的全體n維向量 = (q x2 - x3 = 52xt + 2x3 = 63召=182xl -x2 +3x3 = 12)- 2x2 +5x3 =42xx 一 +4七=-l2xx 一x2 +3x3 = 1X3 = 20 = 02xx 一x2 +3x3 =1Xj = 20 = 12xl -x2 +3x3 = 13) 心2/ . 、線性方程組的矩陣形式21 。22“2口 x2 = 或 Ax =

23、b4am2 anm 宀丿2. 線性方程組的初等變換線性方程組的初等變換的定狡。命題：線性方程組的初等變換把線性方程組變成和它同解的方程組。3. 階梯形方程組與行階梯矩陣定義（149頁）：注意：對方程組作一個初等變換等價于對它的增廣矩陣作一個同樣的初等行變換。aux+ai2x2+al3x3=banx+al2x2+al3x3=b么2內(nèi) + Cl22X2 + “23兀3 = 2 a2X + U22X2 + 3兀3 = X。3內(nèi) +“3*2 +。33“ =*1(5 + kax j )x + (32 +ka2)x2 +(g 孫 +ka3)x3 =by + 肋a12ai3(1113S 、a21a22 a2

24、3b25。22。23Sl313233J&3l+畑】1。32+細2知+如S + kbJ4 消元法和將矩陣用初等行變換化為行階梯矩陣 命題：任一線性方程組都可以用初等變換化為階梯形方程組。命題（154頁）：任一矩陣都可以用初等行變換化為行階梯矩陣。5. 判斷方程紐解的情況 5召+如兀2+ 40嚴(yán)勺偽d +a”x，+- + a9 x =b=定理（160頁）：線性方程組2二I -經(jīng)初等變換化為階梯形方An西+軸2花+他兒=程紐后，1）若階梯形方程組出現(xiàn)“0 = ”，其中 HO為常數(shù)，則原線性方程組無解；2）若階梯形方程紐不出現(xiàn)“0 =且階梯形方程組中實際方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)n,則原線性方程紐有唯

25、一解；3）若階梯形方程紐不出現(xiàn)“0 = d”，且階梯形方程組中實際方程的個數(shù)小于未知數(shù)的 個數(shù)n.則原線性方程紐有無窮多個解。5內(nèi)+如花+4,兒=ay.x. + + axlt = 0推論（163頁）：齊次線性方程組2 21 122 22,1 經(jīng)初等變換化為階梯形1訃+%2七+ + % =0方程組后，1）若階梯形方程組中實際方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)，則原方程組只有零解；2）若階梯形方程組中實際方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)”，則原方程組有無窮多個解 （有非零解）。 4向量組的線性相關(guān)性教材166頁定義：設(shè)乞、a/n (/1)是數(shù)域K上的向量空間V中的向量組，如果存在 K中不全為寥的數(shù)k、k?、km

26、 ,使得ka + k2a2 + .+ kmam = 0,則稱石、為、 耳”是線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)。定義：設(shè)、ci2 、am (m 1)是數(shù)域K上的向量空間U中的向量組，如果存在 K中不全為零的數(shù)k2 .匕，使得kxaA + k2a2 + .+ kmam = p ,則稱0可被、 為、線性表示(線性表出)，或者0是石、為、乙,線性組合。例仁包含零向量的向量組一定線性相關(guān)。例2:由一個向量組成的向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)該向量是非零向董。例3:若向量組的一個部分紐線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān)；若向量組線性無關(guān)， 則向董組的任一個部分組線性無關(guān)。命題 向量組爲(wèi)、禺、% Un2)線性相關(guān)的充分必要條

27、件是其中至少有一個 向量可以被其余向量線性表示。推論 向量組乞、禺、( fn 2)線性無關(guān)的充分必要條件是其中任何一個向 量都不能被其余向量線性表示。命題如果向量b可以被向量組鬲、ci2 、加線性表示，則表示方式唯一的充分必 要條件是石、a2.、乙，線性無關(guān)。命題如果向量組耳、礙、線性無關(guān)，而i八 心、乙線性相關(guān)，則 向量5可以被向量紐4、冬、包”線性表示。推論如果向量組、冬、耳“線性無關(guān)，并且向量5不能被向量組q、a2 x -乞”線性表示，則5 . (il a2 、刖線性無關(guān)。命題維向量空間Kn中的向量5 =（久$，$）可被加個向量% =（au,a2i,.,altj） Q = 1,2,.,也

28、）線性表示當(dāng)且僅當(dāng)方程alixl+al2x2+- + auxm=ba2xa22x2+- + a2ntxftJ=b24召+如勺+%凡=化有非零解。命題n維向量空間K中加個向量耳=（你，%） （，= 1,2,.腫）線性相關(guān)當(dāng)且 僅當(dāng)方程如州+如可+血皿心=a2ixl+a22x2+- + a2mxm=0心、b,是向量空間V中的兩 個向董組，如果向量組（丨）中的每一個向量擷能筱向量組（II）線性表示，則稱向董組（I） 可以被向量組（II）線性表示；如果向量組（I）和向量組（II）可以互相線性表示，則稱 向量組（I）和（II）線性等價。命題（231頁）：向量紐（I ）冬、孔可以被向量組（II） =&、g

29、、bt線性表示的充分必要條件是L（ara2,.,as）c厶仮,氐屯）。向量組（I ）和向量組（II） 線性等價的充分必要條件是L（al,a2,.,as）=厶（百,幾,E）。推論：如果向量組（I）可以被向量組（II）線性表示；向量組（II）可以被向童組（III） 線性表示，則向量組（I）可以被向量組（III）線性表示。定爻（232頁）：向量空間V中非零向量組的一個部分組稱為極大線性無關(guān)組，如果這 個部分組本身是線性無關(guān)的，但是從這個向量紐的其余向量（如果還有的話）中任取一個添 進去，得到的新的部分組是線性相關(guān)的。命題：向量空間V中非零向董組的極大線性無關(guān)組一定存在。證明：推論：向量空間V中非零向

30、量組的極大線性無關(guān)組一定和這個向量組本身等價。引理（181頁）：在向量空間V中，若（11）=仏、久、5可以被向量紐（I ）二阿、 “2、線性表示，如果st,則、瓦、 線性相關(guān)。證明：設(shè)b. =ylj +aj2a2 +. + ajfdt （ J = l,2,s則 x”i +x2b2 + . + xxbx = E xJ（ajia+aj2（i2+. + ajtat）y-i=（X &你網(wǎng)+（工作皿+Xja,%17-11再內(nèi)+內(nèi)+5兀=o考慮方程組+ a22x2 + + ax2xx = 0atxx + a2tx2 + + astxx = 0因為st,所以它有非零解。即有不全為零的數(shù)心心兀使得召習(xí)+吃必+

31、 + x,E =0。所以石、b2.、矗線性相關(guān)。推論：在向量空間V中，若（II）二豪必、和可以被向量組（I）二阿ci2.、% 線性表示，如果沐 6、瓦線性無關(guān)，則S.久的秩記為rank%、礙、耳。推論：兩個等價的向量組有相同的秩。命題（233頁）：向量組勺、方2、久線性無關(guān)的充分必要條件是rankly.冬、a5=s c6矩陣的秩定艾：矩陣的行秩和列秩。引理：設(shè)鬲、石、孔是向量空間K中的向量組,dj =（au,a2i,.,ani） （i = l,2,。 每個都添上f個分量（所添分董的位置對于乞、a2.、弘都一樣），便得到K中的 向量組，稱為原向董組的延伸組。若石、ci2.兀線性無關(guān)，則它的延伸組

32、也線性無關(guān)。11x,+al2x2+- + olnxn=0axx + a”也 + + ax = 0引理：如果齊次線性方程組1 一” 的系數(shù)矩陣的行秩r,”必+耳”2花+ 4”“兀=那么它有非零解。證明：不妨設(shè)系數(shù)矩陣的前，行線性無關(guān)。則原方程經(jīng)過初等變換可以化為&曲+坷2七+- + 4屆=峽+如E+%=0”內(nèi)+勺2花+ + “ =0 該方程有非零解。所以原方程有非零解。定理：任意矩陣的行秩和列秩相等。z、512 an證明：設(shè)矩陣A= I 勺2Cl2n的行秩和列秩分別為；和廠。不妨設(shè)矩陣的前 am Ctm2 Clnm /廠行線性無關(guān)，記 =（“”說，匕），xa +x2a2 +.+xrar = 0只有零解。即q 內(nèi) + a2lx2 + + arlxr = 0al2xl + a22x2 + + arlxr = 0內(nèi)+知心+務(wù)兀=011 Cl2 ar只有零解。所以2C，rl的行秩等于7。不妨前廣行線性無關(guān)，由引理，矩陣A a2n ant 7的前尸列線性無關(guān)。所以r r 因此r = r定艾：矩陣的行秩叫做矩陣的秩。推論：rankA!) = rank(A)。定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。定理：設(shè)矩陣A經(jīng)過初等行變換化為行階梯矩陣7則A的秩等于丁的非零行