2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案（天津）

1、2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（天津賽區(qū)）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿(mǎn)分35分）（1）設(shè)，則代數(shù)式的值為( ).（a）0（b）1（c）1（d）2【答】c解：由已知得 于是 （2）已知為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的最小值為( ).（a）（b）0（c）5（d）【答】d解：由 可得 于是 因此，當(dāng)時(shí)，的最小值為（3）若，且滿(mǎn)足，則的值為( ).（a）1（b）2（c）（d）【答】c解：由題設(shè)可知，于是 ，所以故，從而于是（4）設(shè)，則的整數(shù)部分等于( ).（a）4（b）5（c）6（d）7【答】a解：當(dāng)，因?yàn)?，所?于是有，故的整數(shù)部分等于

2、4 第（5）題（5）點(diǎn)分別在的邊上，相交于點(diǎn)，設(shè)，則與的大小關(guān)系為( ).（a） （b） （c） （d）不能確定【答】c解：如圖，連接，設(shè)，則，從而有因?yàn)?，所以二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）（6）兩條直角邊長(zhǎng)分別是整數(shù)（其中），斜邊長(zhǎng)是的直角三角形的個(gè)數(shù)為 . 【答】31解：由勾股定理,得 因?yàn)閎是整數(shù)，所以是1到4023之間的奇數(shù)，而且是完全平方數(shù)，這樣的數(shù)共有31個(gè)，即因此a一定是3，5，63，故滿(mǎn)足條件的直角三角形的個(gè)數(shù)為31（7）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8.

3、同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)之和為7的概率是 .【答】解： 在36對(duì)可能出現(xiàn)的結(jié)果中，有6對(duì)：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和為7，所以朝上的面兩數(shù)字之和為7的概率是.（8）若的最大值為a，最小值為b，則的值為 .【答】解：由0，且0，得由于，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值1，故當(dāng)或1時(shí)，取到最小值，故所以，（9）如圖，雙曲線（x0）與矩形oabc的邊cb， ba分別交于點(diǎn)e，f，且af=bf，連接ef，則oef的面積為 .【答】解：如圖，設(shè)點(diǎn)b的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以 又點(diǎn)在雙曲線上，且縱坐標(biāo)第（9）題為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.于是

4、第（10）題（10）如圖，在rtabc中，斜邊ab的長(zhǎng)為35，正方形cdef內(nèi)接于abc，且其邊長(zhǎng)為12，則abc的周長(zhǎng)為 .【答】84解：如圖，設(shè)bca，acb，則1225 又rtafertacb，所以，即， 故 由得 ，解得ab49（另一個(gè)解25舍去），所以 三、解答題（共4題，每題20分，共80分）（11）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程的兩個(gè)根都大1，求的值. 解：設(shè)方程的兩個(gè)根為，其中為整數(shù)，且，則方程的兩根為，由題意得， 5分兩式相加，得，即 ， 所以， 或 10分 解得 或又因?yàn)?所以；或者，故，或29. 20分（12）如圖，點(diǎn)為的垂心，以為直徑的和的外接圓相交于點(diǎn)，

5、延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn).證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈闹睆?，所?分故為的直徑.于是. 10分 又因?yàn)辄c(diǎn)為的垂心，所以 所以，四邊形為平行四邊形. 15分 所以點(diǎn)為的中點(diǎn). 20分（13） 如圖，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)任作直線交拋物線于，兩點(diǎn).（）求證：=；（）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），且=60，試求所有滿(mǎn)足條件的直線的函數(shù)解析式. 解：（）如圖，分別過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-）.設(shè)直線的函數(shù)解析式為,并設(shè)的坐標(biāo)分別為 ,.由 得，于是 ，即 .于是， 5分又因?yàn)?，所? 因?yàn)?，所? 故=. 10分（）解法一 設(shè)，不妨設(shè)0，由（）可知=，=，=， 所以 =，=.因?yàn)?，所?于是，即所以由（）中，即，所以于是，可求得 . 將代入，得到點(diǎn)的坐標(biāo)（，）. 15分再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得 .所以直線的函數(shù)解析式為.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，所求直線的函數(shù)解析式為，或. 20分解法二 設(shè)直線的函數(shù)解析式為,其中.由（）可知，=，所以.故 .將代入上式，平方并整理得，即.所以 或.又由（），得，.若代入上式得 從而 .同理，若 可得 從而 .所以，直線的函數(shù)解析式為