指數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)[教學(xué)知識]

1、 指數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)一、知識點1.根式的性質(zhì) （1）當(dāng)n為奇數(shù)時，有 （2）當(dāng)n為偶數(shù)時，有（3）負(fù)數(shù)沒有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.冪的有關(guān)概念(1)正整數(shù)指數(shù)冪：(2)零指數(shù)冪 (3)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 (4)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (5)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (6)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義3.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) (2) (3)4指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。5. 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 0 a 1圖 象性質(zhì)定義域R值域(0 , +)定點過定點（0，1），即x = 0時，y = 1（1）a 1，當(dāng)x 0時，y 1；當(dāng)x 0時，0 y 1。（2）0 a 0時，0 y 1；

2、當(dāng)x 1。單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)對稱性和關(guān)于y軸對稱二、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1） 則：0ba1dc又即：x(0,+)時， （底大冪大） x(,0)時，（2）特殊函數(shù)的圖像：三、指數(shù)式大小比較方法(1)單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)中間量法(3)分類討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：若；當(dāng)兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可四、典型例題 類型一、指數(shù)函數(shù)的概念例1函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值【答案】2【解析】由是指數(shù)函數(shù)，可得解得，所以舉一反三：【變式1】指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？（1）；（2）；（

3、3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）為指數(shù)函數(shù)其中（6）=，符合指數(shù)函數(shù)的定義，而（2）中底數(shù)不是常數(shù)，而4不是變數(shù)；（3）是-1與指數(shù)函數(shù)的乘積；（4）中底數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)類型二、函數(shù)的定義域、值域例2求下列函數(shù)的定義域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù))【答案】（1）R，(0，1)；（2）R )； （3） ；（4）1，a)(a，+)【解析】(1)函數(shù)的定義域為R (對一切xR，3x-1). ，又 3x0， 1+3x1， ， ， ， 值域為(0，1).(2)定義域為R， 2x0， 即 x=-1時，y取最小

4、值，同時y可以取一切大于的實數(shù)， 值域為).(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即，值域是.(4) 定義域為(-，-1)1，+)，又 ， ， 值域為1，a)(a，+).【總結(jié)升華】求值域時有時要用到函數(shù)單調(diào)性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y0的條件，第(4)小題中不能遺漏.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1時，；0a1時，；0a1時，外層函數(shù)y=au在上為增函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)0a1時，外層函數(shù)y=au在上為

5、減函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).例4證明函數(shù)在定義域上為增函數(shù).【思路點撥】利用函數(shù)的單調(diào)性定義去證明?！窘馕觥慷x域為xR，任取x11， x1x2， ， ， f(x1)1且x2-x10， .【總結(jié)升華】指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般性質(zhì)后，所學(xué)的第一個具體函數(shù).因此，在學(xué)習(xí)中，盡量體會從一般到特殊的過程.例5判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系：(1)1.8a與1.8a+1； (2) (3)22.5，(2.5)0， (4)【思路點撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)去比較大小?！敬鸢浮浚?）1.8a1時，當(dāng)0a1，所以函數(shù)y=1.8x為單調(diào)增函數(shù)，又

6、因為aa+1，所以1.8a1時，當(dāng)0a1時，【總結(jié)升華】(1)注意利用單調(diào)性解題的規(guī)范書寫；(2)不是同底的盡量化為同底數(shù)冪進(jìn)行比較(因為同底才能用單調(diào)性)；(3)不能化為同底的，借助一個中間量來比較大小(常用的中間量是“0”和“1”).舉一反三：【變式1】比較大?。?1)22.1與22.3 (2)3.53與3.23 (3)0.9-0.3與1.1-0.1 (4)0.90.3與0.70.4 (5).【解析】(1)22.122.3(2)3.533.23.觀察兩函數(shù)值，底數(shù)不同，而指數(shù)不變不是指數(shù)函數(shù)，而是y=x3，它為增函數(shù).(3)由0.9-0.3，00.91， -0.31， 1.11， -0.1

7、001.1-0.11.1-0.1；(4)由指數(shù)函數(shù)圖象相對位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合，0.90.30.70.4.(5)，又函數(shù)為減函數(shù)， ，為增函數(shù)，時，y1，.另解：冪函數(shù)為增函數(shù)，則有，(下略).【高清課堂：指數(shù)函數(shù) 369066 例1】【變式2】利用函數(shù)的性質(zhì)比較，【答案】【解析】= 作出的圖象知 所以【變式3】 比較1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.【答案】【解析】先比較的大小.由于底數(shù)(0，1)， 在R上是減函數(shù)， ， ，再考慮指數(shù)函數(shù)y=1.3x， 由于1.31， 所以y=1.3x在R上為增函數(shù)1.30.71.30=1， .【總結(jié)升華】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函

8、數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個數(shù)(如0，1等)分別與之比較，從而得出結(jié)果.總之比較時要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.例6. (分類討論指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)化簡：【思路點撥】先把被開方數(shù)變形成完全平方式的形式，然后對進(jìn)行分類討論，去掉絕對值。【解析】舉一反三：【變式1】如果（，且），求的取值范圍【答案】當(dāng)時，；當(dāng)時，【解析】（1）當(dāng)時，由于，解得（2）當(dāng)時，由于，解得綜上所述，的取值范圍是：當(dāng)時，；當(dāng)時，類型四、判斷函數(shù)的奇偶性例7判斷下列函數(shù)的奇偶性： (為奇函數(shù))【答案】偶函數(shù)【解析

9、】f(x)定義域關(guān)于原點對稱(定義域關(guān)于原點對稱，且f(x)的定義域是定義域除掉0這個元素)，令，則 g(x)為奇函數(shù)， 又 為奇函數(shù)， f(x)為偶函數(shù).【總結(jié)升華】求的奇偶性，可以先判斷與的奇偶性，然后在根據(jù)奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出的奇偶性舉一反三：【變式1】判斷函數(shù)的奇偶性：.【答案】偶函數(shù)【解析】定義域x|xR且x0，又 ， f(-x)=f(x)，則f(x)偶函數(shù).類型五、指數(shù)函數(shù)的圖象問題例8如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，而，則圖象C1、C2、C3、C4對應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次是_、_、_、_【答案】 【解析】由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可知，C2的

10、底數(shù)C1的底數(shù)C4的底數(shù)C3的底數(shù)【總結(jié)升華】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問題，同時還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡單地記作：在y軸的右邊“底大圖高”，在y軸的左邊“底大圖低”舉一反三：【變式1】 設(shè)，cba且，則下列關(guān)系式中一定成立的是（ ）A B C D 【答案】D【變式2】為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象()A向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度B向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度C向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度D向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度【答案】C

11、【解析】注意先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用圖象的平移規(guī)律進(jìn)行判斷，把函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，故選C【總結(jié)升華】用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等指數(shù)函數(shù)測試題11函數(shù)（ ）A B C D2若指數(shù)函數(shù)在1,1上的最大值與最小值的差是1，則底數(shù)a等于（ ）AB CD 3函數(shù)，滿足的的取值范圍（ ）AB C D 4函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）ABCD5已知，則下列正確的是（ ）A奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B偶函數(shù)，在R上為增函數(shù) C奇函數(shù)，在R上為減函數(shù)

12、D偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)二、填空題6已知函數(shù)f (x)的定義域是（1，2），則函數(shù)的定義域是 .7當(dāng)a0且a1時，函數(shù)f (x)=ax23必過定點 .8已知1a0，則三個數(shù)由小到大的順序是 .三、解答題9（12分）求函數(shù)的定義域.10（12分）已知函數(shù)在區(qū)間1,1上的最大值是14，求a的值.11（12分）（1）已知是奇函數(shù)，求常數(shù)m的值； （2）畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3k無解？有一解？有兩解？指數(shù)函數(shù)測試題1答案一、DCDDD AAD D A 二、11(0,1)； 12(2，2)； 13； 14 ；15 解：要使函數(shù)有意義必須：定義域為：16 解：，其中.當(dāng)r1時，

13、所以ar+brcr；當(dāng)r1時，所以ar+brcr.17解： ， 換元為，對稱軸為.當(dāng)，即x=1時取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去)18解： （1）常數(shù)m=1（2）當(dāng)k0時，直線y=k與函數(shù)的圖象無交點,即方程無解;當(dāng)k=0或k1時, 直線y=k與函數(shù)的圖象有唯一的交點，所以方程有一解; 當(dāng)0k1,b0,且ab+a-b=2,則ab-a-b的值等于（ ）（A） （B）2 （C）-2 （D）23函數(shù)f（x）=(a2-1)x在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）（A） （B） （C）a （D）1b,ab下列不等式（1）a2b2,(2)2a2b,(3),(4)ab,(5)()a()b中恒成立的有

14、（ ）（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個7函數(shù)y=是（ ）（A）奇函數(shù) （B）偶函數(shù) （C）既奇又偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)8函數(shù)y=的值域是（ ）（A）（-） （B）（-0）（0，+）（C）（-1，+） （D）（-，-1）（0，+）9下列函數(shù)中，值域為R+的是（ ）（A）y=5 （B）y=()1-x （C）y= （D）y=10.函數(shù)y=的反函數(shù)是（ ）（A）奇函數(shù)且在R+上是減函數(shù) （B）偶函數(shù)且在R+上是減函數(shù)（C）奇函數(shù)且在R+上是增函數(shù) （D）偶函數(shù)且在R+上是增函數(shù)11下列關(guān)系中正確的是（ ）（A）（）（）（） （B）（）（）（）（C）（）（）（） （D）（）（）（）12

15、若函數(shù)y=3+2x-1的反函數(shù)的圖像經(jīng)過P點，則P點坐標(biāo)是（ ）（A）（2，5） （B）（1，3） （C）（5，2） （D）（3，1）13函數(shù)f(x)=3x+5,則f-1(x)的定義域是（ ）（A）（，） （B）（，）（C）（，） （D）（，）14.若方程ax-x-a=0有兩個根，則a的取值范圍是（ ）（A）（1，+） （B）（0，1） （C）（0，+） （D）15已知函數(shù)f(x)=ax+k,它的圖像經(jīng)過點（1，7），又知其反函數(shù)的圖像經(jīng)過點（4，0），則函數(shù)f(x)的表達(dá)式是（ ）(A)f(x)=2x+5 (B)f(x)=5x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+316.已知

16、三個實數(shù)a,b=aa,c=a,其中0.9a1,則這三個數(shù)之間的大小關(guān)系是（ ）（A）acb （B）abc （C）bac （D）cab17已知0a1,b-1,則函數(shù)y=ax+b的圖像必定不經(jīng)過（ ）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限二、填空題1若a0)與函數(shù)y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的圖像依次交于A、B、C、D四點，則這四點從上到下的排列次序是 。6函數(shù)y=3的單調(diào)遞減區(qū)間是 。7若f(52x-1)=x-2,則f(125)= .8已知f(x)=2x,g(x)是一次函數(shù)，記F（x）=fg(x),并且點（2，）既在函數(shù)F（x）的圖像上，又在F-1（x）的圖

17、像上，則F（x）的解析式為 .三、解答題1 設(shè)0aa。2 設(shè)f(x)=2x,g(x)=4x,gg(x)gf(x)fg(x)，求x的取值范圍。3 已知x-3,2，求f(x)=的最小值與最大值。4 設(shè)aR,f(x)= ，試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)。5 已知函數(shù)y=()，求其單調(diào)區(qū)間及值域。6 若函數(shù)y=4x-32x+3的值域為1，7，試確定x的取值范圍。7.已知函數(shù)f(x)=, (1)判斷函數(shù)的奇偶性； (2)求該函數(shù)的值域；(3)證明f(x)是R上的增函數(shù)。 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習(xí)2一、 選擇題 題號12345678910答案ACDDDBCADB題號11121314151617181920答案CDCBADAAAD二、填空題10a1 2. 3.14.(-,0)(0,1) (1,+ ) ,聯(lián)立解得x0,且x1。5（）9，39 令U=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9, -3,又y=()U為減函數(shù)，（）9y39。 6。D、C、B、A。7（0，+）令y=3U,U=2-3x2, y=3U為增函數(shù)，y=3的單調(diào)遞減區(qū)間為0，+）。80 f(125)=f(53)=f(522-1)=2-2=0。9或3。Y=m2x+2mx-1=(mx+1)2-2, 它在區(qū)間-1，1上的最大值是14，（m-1+1）2-2=14或（m+1）2-2=14,解得m=或3