(完整版)空間向量的夾角、距離計算同步練習題(教師版)

1、空間向量的夾角、距離計算同步練習題、選擇題1. 已知 AA2 , -5,1) , B(2 , -2,4) , C(1 , -4,1)，則直線 AC與 AB的夾角為(C )A.300B.450C.600D.9002. 已知向量a= (0 , 2, 1) , b= ( 1, 1, 2)，貝U a與b的夾角為()A. 0 B . 45 C. 90 D. 180解析：選C.已知a= (0 , 2, 1), b= ( 1, 1， 2)，貝U cos a, b= 0，從而得出a與b的夾角為90 .3. 如果平面外一條直線和它在這個平面上的投影的方向向量分別是a= (0,2,1 ), b=(,:,:),那么

2、這條直線與平面的夾角為(D )A. 90 0B. 600C.450D. 3004. 邊長為a的正六邊形 ABCDE所在平面為 a , PA! a且PA= a,則PC與a所成的角為(A )A. 30 B. 60 C. 45 D.90 5在棱長為a的正方體 ABC ABCD中，M是AA的中點，則點 A到平面 MBD勺距離是()入呂 B.尋C.-?a0尋6643一 1解析： 以D為原點建立空間直角坐標系，正方體棱長為a,則A(a, 0, a) , A(a, 0,0) , Ma, 0,護,B(a, a, 0),D(0,0,0)，設 n= (x,y,z)為平面 BMD勺法向量，貝Un BM= 0,且 n

3、 6lM= 0，而BM=0, a,*a,6m=a, 0,*a.1 1y+ 2z = 0,y = 2z,所以所以令z= 2,則n= ( 1,1,2) , DA= (a, 0, a)，則A到平面1 1x+ 子=0,x = z,BDM勺距離是d= DA n| = -a.答案：A| n|66. 已知向量n= (1,0 , -1 )與平面a垂直，且a經過點A (2,3,1 ),則點P (4,3,2 )到a的距離為(B )A. 1 B.牛 C. 殊 D. 27. 正方體ABCABCD的棱長為1, O是AC的中點，貝U 0到平面 ABGD的距離為(A )A. - B. C.- D.-43238. 若直線l的

4、方向向量與平面a的法向量的夾角等于 120,則直線l與平面a所成的角等于()A. 120B . 60C . 30D . 60 或 30解析：選C.由題意得直線l與平面a的法向量所在直線的夾角為60,二直線l與平面a所成的角為90 60= 30.9 .設ABCD ABEF都是邊長為1的正方形，FA!面ABCD則異面直線 AC與BF所成的角等于()A. 45B. 30C . 90D . 60解析：選D.以B為原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，BE所在直線為z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則A(1,0,0),Q0,1,0),F(1,0,1), AC=( 1,1,0) , BF= (1,0

5、,1). a cos ACE3F= *. /1=120 . AC與 BF所成的角為 60.10.在長方體A. 0 B.ABC ABCD中，AB= 2, BC= 2, DD= 3，則AC與BD所成角的余弦值為(3 70103 . 7070解析:AIBt7選A.建立如圖坐標系，則 BD = ( - 2,- 2,3),D(0,0 ,3),02,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),BD Xc=0. I BDII ACC11.在正方體 ABC ABCD中，E是CC的中點，則直線 BE與平面BBD所成的角的正弦值為 A-邁5解析：選B.AC= ( 2,2,0) . cos BD,AC E3D,

6、AO = 90,其余弦值為0.B.建立如圖空間直角坐標系，設正方體的棱長為 2,0) , BB= (0,0,2), BE= ( 2,0,1).,B(2,2,2),曰0,2,1)設平面BiBD的法向量為n= (x, y,z) .T n丄麗 n丄BB,.-2x 2y = 0, 2z= 0.x = - y,z = 0.令 y= 1，貝U n = ( 1,1,0) . cosn, E =J=I 叫| E5設直線BE與平面BBD所成角為0，貝U sin|cosn, BE | =甲512.在正方體 ABCA1B1CD中，M1代9B.uuurN分別為棱AA和BB的中點，貝U sin CM ,2 5 D. I

7、uuuurD1N的值為 (C.D.2, 以D為坐標原點,DA x軸，DC為y軸,DD為z軸建立空間直角坐標系，可知uuur CM=(2 ,-2,1),D1NuuuruuuurcosCM ,D1N答案：B=(2,2解析：設正方體棱長為uuuur二、填空題-1),uuir sin CMuuuur4 5UN=13.已知a,b是直線，a ,卩是平面,a丄a, b丄卩，向量a1在a上，向量 d在b上，a= (1,0,1),3a,則點D到直線PB的距離是_#abi= ( 1,2,1)，則a,卩所成二面角的大小為 90 14.正三角形PAB與正方形ABCD所在平面互相垂直，正方形的邊長為解析：11n2 n設

8、 u = (1,0 ,1) , v= (0 ,1,1)，貝U cos B= |cos u, v| =| = o.。一 或 .寸 2233答案：n 2 n或3315 .平面a的法向量為(1,0 , 1)，平面卩的法向量為(0， 1,1)，則平面a與平面3所成二面角的大小為16已知在棱長為 a的正方體 ABCDA B C D中，E是BC的中點則直線 A C與DE所成角的余弦值為解析:如圖所示建立空間直角坐標系，則A (0,0 , a) , q a, a,0) , D(0 , a, 0),attE a, 2, 0 , A C= (a, a, a) , DEa, a 0 , cos AC,t一以V答案

9、V三、解答題17.正方體 ABC ABCD中，E、F分別是AD、AG的中點.求：異面直線 解：AE與CF所成角的余弦值.7設正方體棱長為 2，分別取DA DC DD所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2),則 Afe= ( 1,0,2), cF= (1, 1,2) , |AE =V5, |SF =6.10，Xe- TF= 1 + 0+4= 3.又Xe-Cf= | AE|CFfcos Afe,TF= .：30cos Afe,Cf, cosAfe,所求角的余弦值為 彳00.a,18已知正方體 ABC ABCD

10、,棱長為a , E、F、G分別是CC、AD、AB的中點，求點 A到平面EFG勺距離.解析：如圖建立空間直角坐標系,a aa aa則 A a, 0,0) , E0, a,空,F 2,0，a , Ga, 2，0 ，- EF= 2，a， 2，EG= a,- J,Ga= 0,-2, 0，設 n= (x, y, z)是平面 EFG的法向量，貝U “ = n EG = 0x 2y+ z= 02x y z= 0 x = y= z,可取 n = (1,1,1), d=aI &A n|2 擊RT = 3=6a即點A到平面EF距離為fa19.正三棱柱 ABC-ABC的所有棱長都為 2, D為CC中點.(1)求證：

11、AB丄平面ABD (2)求二面角 A-A1D-B的余弦值.解析：(1)取BC中點Q BC中點O,以O為原點，Sb OO、OA勺方向分別為x, y, z軸的正方向建立空間直 角坐標系.則巳1,0,0) , D( 1,1,0) , A(0,2 , W), A(0,0，和,B(1,2,0), AB= (1,2，-&) , BD= ( 2,1,0) , BA= ( 1,2，護).AB Bd= 2 + 2+ 0= 0,AB BA1 + 4 3= 0, AB丄SD AB丄 BA. - AB丄平面 ABD 設平面AAD的法向量為n= (x , y , z),AD= ( 1,1 ,.3) , AA= (0,2

12、,0)n丄ADn At= 0 , n AA= 0.x + y 3z= 0 ,2y= 0.y = 0 ,x =3z.令z= 1,得n=(乖,0,1)為平面 AAD的一個法向量由(1)知AB丄平面 ABDAB為平面 ABD的法向量.cosn, ABn ABI n| |AB|2 2 2.面角A-AD-B的余弦值為.620.如圖，P ABCDI正四棱錐， ABC A1B1C D是正方體，其中 AB= 2 , PA= 6.(1)求證：PAL BD; (2)求平面PAD與平面BDDB所成銳二面角的余弦值.解：以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD所在直線為z軸建立空間直角坐標系,則 D(

13、0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0), Q0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),Q0,2,2),uuuruuuirP(1,1,4). (1)證明： AP = ( 1,1,2) , d1 B1 = (2,2,0),uuu uuuur二 AP D1B1 =- 2 + 2+ 0 = 0, PAIBD.uuur 平面BDEBi的法向量為 AC = ( 2,2,0).uuuuuuDA = (2,0,0) , OP = (1,1,2).uuu uuur 設平面PAD的法向量為n= (x, y, z)，則n丄DA , n丄DP .2x = 0,x= 0,x+ y+

14、 2z= 0,- y= 2z,取 *(，刊，設所求銳二面角為0 ，貝U cos 0 =|0 4+ 0|1025 521.如圖，四邊形(I )證明：平面1 ABCD正方形，PDL平面 ABCD PD/ QA QA=AB=PD2PQ丄平面DCQ (II )求二面角 Q BP-C的余弦值.解析：如圖，以D為坐標原點，線段 DA的長為單位長，射線 DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D xyz.(I )依題意有Q (1,1, 0),uuiruiuruuurC (0, 0, 1), P (0, 2, 0).則 DQ (1,1,0),DC(0,0,1), PQ (1, 1,0).所以uuur uuur u

15、urPQ DQ 0,PQuuurDC0.即 PQL DQPQL DC故 PC丄平面 DCC又(II )依題意有B (1,uuu0 , 1) , CBuuu(1,0,0), BP(1,2,1).設n (x, y,z)是平面PBC的法向量,uuuCBuuuBP，即0,0,x 2y zPQ0.DCQ(1,1,1)所以 cos m,n因此可取n (0,1, 2).設m是平面PBQ的法向量，貝U mmuuu BP uuurPQ 0.0,可取.155故二面角 Q- BP- C的余弦值為5 .22.如圖，四棱錐 P-ABCD ,底面 ABCD矩形，PA!底面ABCD PA= AB= ：6 , E是棱PB的中

16、點.(1)求直線AD與平面PBC的距離;(2)若AD= ：3 ,求二面角 A-EGD的平面角的余弦值.解析：設 D(0 , a,0)，則 B( ：6 0,0) , C .6, a,0) , P(0,0 ,E#, 0,所以 XE= -2, 0, , BC (0 , a,0),Pc ( ,：6, 0,- ，則XE-歸 0 , XE- PG 0.所以 AE丄平面 PBC又由 AE丄 AD, 故直線AD與平面PBC的距離為|XE = ；3 因為 | AD = .3 ,則Q0,3 , 0) ,C(.6 ,3 ,0) 設平面 AEC的法向量 ni = (xi ,yi ,zi),，6xi + 3yi = 0

17、 ,則 n1-AC= 0 ,n1 -AE=0.又AC=( ；6 ,3,0) ,AE=-2,0 ,-6,故 (：62 Xl+ 2 Zl = 0，所以 y1 = -.-2x1 , Z1=- X1.可取 Z1=-：2 ,則 n= ( :2, 2 ,: 2).n2 - DC= 0 , n2 - DE= 0.設平面DEC的法向量n2 = (X2 , y2 , Z2),則又DC= ( ：6 , 0,0) , 3e=嚴,-.3 ,今X2= 0 ,承-冋2+曇=0.所以= 0，Z2= %可取 y2= 1,貝U n2= (0,1 , ；2).故 cos m , n2I匚節(jié)盤歸所以二面角AEGD的平面角的余弦值為

18、嶋23.女口圖，在四面體 ABO（中 , OCLOA OCLOB/ AO= 120 且 OA= OB= OC= 1.（1）設P為AC的中點,Q在AB上 ,且AB= 3AQO-AGB的平面角的余弦值.解析：（1）取O為坐標原點，以OA OC所在的直線為x軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系O xyz.1則 A(1,0,0) , C(0,0,1), B - ,/ AB= -3中，0 -:AQ= tAB=AC= Oaf Ac= 2, ，0， AC= Sq 尿 0 , -t3 ,2 6 6PQ- 6a= 0 ,今,-1(1,0,0) = 0.二PC丄 OA 設平面ABC的法向量n= (ni,壓，氐)，則由n丄CA n丄AB且CA= (1,0 , 1)，得ni0,取ni= 1,則n= (1，3,1).又 平面OAC勺法向量為e= (0,1,0),如 ne1，-0,1, 0辰1155.故二面角O- AC B的平面角的余弦值為.15524.在三棱錐 S- ABC中, ABC是邊長為4的正三角形，平面 SA(丄平面 ABC