2018年高考復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)列專題知識(shí)點(diǎn)歸納

1、WORD格式整理版2018高考復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)列專題考點(diǎn)一：求數(shù)列的通項(xiàng)公式1. 由an與S的關(guān)系求通項(xiàng)公式：由Sn與an的遞推關(guān)系求的常用思路有： 利用S S-1= an(n 2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；Si, n = 1,數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an=當(dāng)n= 1時(shí)，a1若適合S S-1,則n = 1Sn Sn- 1 , n 2.的情況可并入n2時(shí)的通項(xiàng)an；當(dāng)n = 1時(shí)，a1若不適合Sn Sn-1,則用分段函數(shù)的形式表示. 轉(zhuǎn)化為S的遞推關(guān)系，先求出 Sn與n的關(guān)系，再求an.2. 由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法：已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的

2、通項(xiàng)公式時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解.(1) 當(dāng)出現(xiàn)an= an-1 + m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an = xan-1 + y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；(2) 當(dāng)出現(xiàn)an= an-1+ f(n)時(shí)，用累加法求解；an(3) 當(dāng)出現(xiàn) =f(n)時(shí)，用累乘法求解.an - 1 數(shù)列函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列因此，在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性.函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用(1) 數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識(shí)，函數(shù)的思想方法來(lái)

3、解決.(2) 數(shù)列的單調(diào)性是高考常考內(nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問(wèn)題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用：作差；作商；結(jié)合函數(shù)圖象等方法.(3) 數(shù)列a n的最大(小)項(xiàng)的求法an-1 W an,an-1an ,可以利用不等式組找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式組找到數(shù)列的最小項(xiàng).an an+ 1 ,anW an + 1 ,考點(diǎn)二：等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義an an-1 =常數(shù)(n 2)an一常數(shù)(n 2)an T通項(xiàng)公式an= ai+ (n 1)dn 1an= aiq(q 工 0)判定方法(1) 定義法(2) 中項(xiàng)公式法：2an+1 = an+an+ 2(n1

4、)?a n為等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法：an = pn + q(p、q為常數(shù))?a n為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：S= Ar2 + Bn(A、B為常數(shù))?a n為等差數(shù)列a n為等比數(shù)列，an0?IOg aan為等差數(shù)列(1) 定義法2(2) 中項(xiàng)公式法：an+1 an a+ 2(n 1)(a nM0)?an為等比數(shù)列通項(xiàng)公式法：an = c q1(c、q均是不為0的常 數(shù)，n N*)?an為等比數(shù)列(4)a n為等差數(shù)列？aan為等比數(shù)列(a0且 aM 1)性質(zhì)*(1) 若 m n、p、q N，且 m+ n = p+ q,貝U am+ an = ap + aq特別：若 m+ n = 2p,貝U

5、 am+ an = 2ap.(2) a n= am+ (n m)d(3) 數(shù)列Sm, Sm Sm, S S2m,也是等差數(shù)列， 即 2(S2m一 S = Sm+(S 3m一 3)*(1) 若 m n、p、q N，且 m+ n= p + q,貝9 am a= ap a特別地，若 m+ n= 2p,貝U am -a= ap.，-xn m(2) a n= amqG3)若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn則S, Sm S,S3m Sam 仍成等比數(shù)列，即(S2m Sm) 2 S(S3m S2m)(m N*,公比 qM 1).前n項(xiàng)和n ai + ann n 1Sn2 nai +2dai 1 qai anq(1)

6、q m 1, s=彳 宀1 q1 q(2) q 1, S= nai1.在等差(比)數(shù)列中，ai, d(q) , n, an, S五個(gè)量中知道其中任意三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)解這類問(wèn)題時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)ai和公差d(公比q)這兩個(gè)基本量的有關(guān)運(yùn)算.2. 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.3. 用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列(1) 對(duì)于等差數(shù)列 an= ai+ (n 1)d = dn+ (a i- d)，當(dāng)d0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(n , an

7、)是位于直線上的若干個(gè)離散的點(diǎn)；當(dāng)d0時(shí)，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，S有最小值；當(dāng)d = 0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列，S=nai；當(dāng)d v0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，Sn有最大值.2若等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和為Sn,貝U S= pn + qn(p , q R).當(dāng)p = 0時(shí)，an為常數(shù)列；當(dāng)p0時(shí)，可 用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問(wèn)題.(2) 對(duì)于等比數(shù)列an= aiqn,可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)理解.當(dāng)ai0, q 1或aiv 0,0 v qv 1時(shí)，等比數(shù)列a n是單調(diào)遞增數(shù)列；當(dāng)ai0,0 v q v 1或aiv 0, q 1時(shí)，等比數(shù)列a n

8、是單調(diào)遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列；當(dāng)qv 0時(shí)，無(wú)法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列.4. 常用結(jié)論(1) 若an , bn均是等差數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，則ma+ kbn, -仍為等差數(shù)列，其中m k為常數(shù).2 1(2) 若an,b n均是等比數(shù)列，則can(c 工 0) , |a n| , an n, manbn(m 為常數(shù)),an, _等也an是等比數(shù)列.(3) 公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2 a1, a3-a2, a4a3,成等比數(shù)列，且公比為a3 a2a2 a1 qa2 a1a2 a1等比數(shù)列(q工1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)

9、列，即Sk, S2k Sk, S3k d,成等比數(shù)列，其公比為kq.學(xué)習(xí)好幫手WORD格式整理版(3) 通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證 an= pn+ q;2 前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證 S= An + Bn.注意：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡(jiǎn)單判斷.7. 等比數(shù)列的判定方法a“+1*an*(1) 定義法：若=q(q為非零常數(shù)，n N )或 =q(q為非零常數(shù)且n2, n N)，則an是等比anan 1數(shù)列.(2) 等比中項(xiàng)公式法：若數(shù)列 an中，anM0且a2+1 = an a+ 2(n N)，則數(shù)列an是等比數(shù)列.(3) 通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)

10、公式可寫(xiě)成an= cq(c , q均是不為0的常數(shù)，n N)，則an是等比數(shù)列. 前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= k ( k(k為常數(shù)且0, qz0,1),則an是等比數(shù)列.注意：前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定求解等比數(shù)列的基本量常用的思想方法(1) 方程的思想：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式中聯(lián)系著五個(gè)量：a1, q, n, an, S,已知其中三個(gè)量，可以通過(guò)解方程 (組)求出另外兩個(gè)量；其中基本量是a1與q,在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1與q的方程或者方程組，是解題的關(guān)鍵.n亠a1 1 q a1na1na1(2) 整體思想：當(dāng)公比ql時(shí)

11、，1 = 匚q (1 q),令百 =t，則t(1 q).把百 與qn當(dāng)成一個(gè)整體求解，也可簡(jiǎn)化運(yùn)算. 分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須分類求和，當(dāng)q= 1時(shí)，S = na1；當(dāng)ql時(shí)，Sn=a；在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時(shí)，也必須對(duì)a1與q分類討論.a 1 na 1 x 函數(shù)思想：在等比數(shù)列an中，an= - q,它的各項(xiàng)是函數(shù) y = q圖象上的一群孤立的點(diǎn)，可以q q根據(jù)指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)研究等比數(shù)列問(wèn)題(如單調(diào)性)，注意函數(shù)思想在等比數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用.數(shù)列求和的常用方法1. 數(shù)列求通項(xiàng)的方法：(1) 一般地，數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，就先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為

12、與特殊數(shù)列有關(guān)或具備適用某種特殊方法的形式，從而選擇合適的方法求和得解.數(shù)列綜合問(wèn)題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做好該類題的關(guān)鍵.若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解:學(xué)習(xí)好幫手Sin= 1(1)a n =S1 S1-1n 2(2) 遞推關(guān)系形如an+1 an= f(n)，常用累加法求通項(xiàng)；(3) 遞推關(guān)系形如 竺=f(n)，常用累乘法求通項(xiàng)；an 遞推關(guān)系形如a n+1= pan+ q(p、q是常數(shù)，且pM 1, qM0) ”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類通項(xiàng)問(wèn)題，常用 待定系數(shù)法可設(shè) an+計(jì)入=p(a卄入)，經(jīng)過(guò)比較，求得 入，則數(shù)列a卄入是一個(gè)等比數(shù)列;(5)遞推關(guān)系形

13、如a n+1= pan+ qn(q , p為常數(shù)，且pM 1, qM0) ”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類型可以將關(guān)系 式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)化為類型(4)，或同除以pn+1轉(zhuǎn)為用迭加法求解.2. 數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型：1. 公式法一一直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:nSn=-a1 + an2n=n a1 + -n 12學(xué)習(xí)好幫手na1, q= 1, 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn= a1 anq a 1 qn1 q =1 q ，qM 1.2. 倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)

14、和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的.3. 錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列a n b的前n項(xiàng)和，其中an, bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求a1b+ a2b2 + + anbn的和就適用此法.做法是先將和的形式寫(xiě)出，再給式子兩邊同乘或同除以公比q，然后將兩式相減，相減后以“qn ”為同類項(xiàng)進(jìn)行合并得到一個(gè)可求和的數(shù)列(注意合并后有兩項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列中的項(xiàng)，不要遺漏掉).4. 裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或 n項(xiàng)的差，通過(guò)相加過(guò)程中的相互抵消， 最后只剩下有限項(xiàng)的和. 這種方法，適用于求通項(xiàng)為1anan+ 1的數(shù)列

15、的前n項(xiàng)和，其中an若為等差數(shù)列，則1anan+11 1 1 d an3n +1利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題？(1) 在把通項(xiàng)裂開(kāi)后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差；(2) 在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng).常見(jiàn)的 拆項(xiàng)公式/八1111 n (n + k)= k n_；1 1 1(3)=一 一n (n + 1)n - - n + 11 111(2n 1)( 2n+ 1) = 2 2n 1 二2n+ 1 ；1 1 1 小+ n + 1 =卄1円n+.n + k和(門(mén)+ k5. 分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組

16、成，則求和時(shí)可用分組求和 法，分別求和后再相加減.6. 并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an = ( 1) nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.2 2 2 2 2 2例如，S= 100 99 + 98 97 + 2 1 = (100 + 99) + (98 + 97) + (2 + 1) = 5 050.,放縮法的注意冋題以及解題策略7. 放縮法是證明數(shù)列型不等式的壓軸題的最重要的方法(1)明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結(jié)論，是小于某項(xiàng)，則放大，是大于某個(gè)項(xiàng)，則縮小。放縮的項(xiàng)數(shù)：有時(shí)從第一項(xiàng)開(kāi)始，有時(shí)從第三項(xiàng)，有時(shí)第三項(xiàng)， 等等，即不一定是對(duì)全部項(xiàng)進(jìn)行放縮。放縮法的常見(jiàn)技巧及常見(jiàn)的放縮式:(1)根式的放縮：11Vk k 1 72k(2)在分式中放大或縮小分子或分母:1 ；k 11k(k1)1 1 ,k2k(k 1)(k 2)真分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變大;1;假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變小，如2n 1 2n .；2n 2n 1(3)應(yīng)用基本不等式放縮:2. n n 2 2 ；n 2 n2等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即S,