數(shù)學(xué)建模試卷及答案20套

1、第 147 頁 共 147 頁試題 1一、 填空題1. nls是（ ）估計。2. 引入虛擬變量時，有5個互斥的屬性變量，應(yīng)設(shè)置（ ）個虛擬變量。3. 杜賓兩步法用于修正（ ）模型（answer in english）。4. 的無偏估計是（ ）。5. 克服自變量與隨機(jī)擾動項(xiàng)相關(guān)影響的一種參數(shù)估計方法是（ ）。二、 判斷題1. 線性規(guī)劃問題的基本解對應(yīng)可行域的頂點(diǎn)。 （ ）2. 若是某線性規(guī)劃問題的可行解，則也必是該問題的可行解。 （ ）3. 數(shù)學(xué)模型為線性規(guī)劃模型。 （ ）4. 數(shù)學(xué)模型為線性規(guī)劃模型。 （ ）5. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）6. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）7. 表達(dá)形式是正確的

2、。 （ ）8. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）9. 在存在異方差情況下，普通最小二乘法（ols）估計量是有偏的和無效的。 （ ）10. 如果存在異方差，通常使用的t檢驗(yàn)和f檢驗(yàn)是無效的。 （ ）三、 問答題1. 簡述古典回歸模型的基本假定。2. 試舉出三個模糊集合的例子。3. 敘述leslie人口模型的特點(diǎn)。并討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律。4. 靜態(tài)貝葉斯博弈中參與人的策略有什么特點(diǎn)？為什么？5. 有了海薩尼轉(zhuǎn)換，不完全信息動態(tài)博弈和完全但不完美信息動態(tài)博弈基本上是相同的，這種論述是否正確？四、 計算題1. 學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。學(xué)生們要

3、組織一個10人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）按比例分配取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。（2）2.1節(jié)中的q值方法。（3）dhondt方法：將a，b，c各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1，2，3，相除，其商數(shù)如下表：12345a235117.578.358.75b333166.511183.25c43221614410886.4將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中a，b，c行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個宿舍分配的席位。你能解釋這種方法的道理嗎。如果委員會從10人增至15人，用以上3種方法再分配名額。將3種方法兩次分配的結(jié)果列

4、表比較。（4）你能提出其他的方法嗎。用你的方法分配上面的名額。2. 本世紀(jì)初，瘟疫還經(jīng)常在世界的某些地方流行。被傳染的人數(shù)與哪些因素有關(guān)？如何預(yù)報傳染病高潮的到來？為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時，被傳染的人數(shù)大致不變？科學(xué)家們建立了數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的蔓延過程，以便對這些問題做出回答。3. 某企業(yè)的三種產(chǎn)品要經(jīng)過三種不同的工序加工。各種產(chǎn)品每一件在各工序所需的加工時間，每天各道工序的加工能力和每一種產(chǎn)品的單位利潤如下表所示：工序 每件加工時間/min 工序加工能力（min/d）產(chǎn)品1 產(chǎn)品2 產(chǎn)品311 2 1 43023 1 2 460 31 4 1 420每件利潤/元3 2 5 試建

5、立使總利潤達(dá)到最大的線性規(guī)劃模型。（不需求解） 4. 給定問題其中為正常數(shù)，證明目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值由給出。5. 求出下列博弈的所有納什均衡 博弈方2左 中 右2，01，14，23，41，22，31，30，23，0上中下 博 弈 方 1 6. 我們給定一個三角形，測得三個內(nèi)角的讀數(shù)為a=80、b=55、c=45。令i表示“近似等腰三角形”，r表示“近似直角三角形”，e表示“近似正三角形”，它們都是u上的fuzzy集，其隸屬函數(shù)規(guī)定如下：問給定的三角形屬于哪一類？7. 判斷下列各圖是不是歐拉圖或半歐拉圖？如果是，請找出其中的歐拉通路或歐拉回路。（a） （b） （c）8. 對于古典線形回歸模型，證明：

6、 （1） （2） （3） 參考答案試題 1一、 填空題1 非線性最小二乘估計2 43 autocorrlation45 工具變量法或tls二、 判斷題1. 錯。2. 錯。3. 錯。4. 對。5. 錯。6. 錯。7. 對。8. 錯。9. 錯。異方差不影響無偏性。10. 對。三、 問答題1.1)解釋變量x為非隨機(jī)變量，即在重復(fù)抽樣過程中，x取值是可控的、固定的。2)零均值假定：e（）=0，即隨機(jī)誤差項(xiàng)的平均值為零。3)同方差假定：d（）=2（常數(shù)），即各隨機(jī)誤差項(xiàng)的離散程度（或波動幅度）是相同的。4)非自相關(guān)假定：cov（，）=0（ij），即隨機(jī)誤差項(xiàng)之間是互不相關(guān)、互不影響的。5)解釋變量與隨機(jī)

7、誤差項(xiàng)不相關(guān)假定，cov（xi，）=0（或e（xi）=0），即解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)互不相關(guān)，彼此獨(dú)立的對y產(chǎn)生影響。6)無多重共線性假定，即解釋變量之間不存在完全的線性關(guān)系。2. 答案略。3. 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同, 以雌性個體數(shù)量為對象(假設(shè)性別比為1:1), 是一種差分方程模型. 4. 答案：靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的一個策略是他們針對自己各種可能的類型如何作相應(yīng)的完整計劃。或者換句話說，靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的策略就是類型空間到行為空間的一個函數(shù)，可以是線性函數(shù)，也可以是非線性函數(shù)，當(dāng)博弈方的類型只有有限幾種時是離散函數(shù)，當(dāng)博弈方的類型空間是連續(xù)區(qū)間或空間時則是連續(xù)函數(shù)。只有一種

8、類型的博弈方的策略仍然是一種行為選擇，但我們同樣可以認(rèn)為是其類型的函數(shù)。靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的策略之所以必須是針對自己所有可能類型的函數(shù)，原因是博弈方相互會認(rèn)為其他博弈方可能屬于每種類型，因此會考慮其他博弈方所有可能類型下的行為選擇，并以此作為自己行為選擇的根據(jù)。因此各個博弈方必須設(shè)定自己在所有各種可能類型下的最優(yōu)行為，而不僅僅只考慮針對真實(shí)類型的行為選擇。5. 答案：正確。事實(shí)上，不完全信息動態(tài)博弈與完全但不完美信息動態(tài)博弈本質(zhì)上常常是相同的，是一種博弈問題的兩種不同理解方法，而把它們聯(lián)系起來的橋梁就是海薩尼轉(zhuǎn)換。 四、 計算題1. 按照題目所給方法（1），（2），（3）的席位分配結(jié)果如下

9、表：宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）a322443b333555c455667總計1010101515152. 這里不是從醫(yī)學(xué)角度探討每一種瘟疫的傳染機(jī)理，而是一般地討論傳染病的蔓延過程。下面分三步討論這個問題。 模型i 假設(shè)病人(帶菌者)通過接觸(空氣、食物、)將病菌傳播給健康者。單位時間內(nèi)一個病人能傳播的人數(shù)是常數(shù)。記時刻的病人數(shù)為，由假設(shè)可知即 (1)設(shè)開始時有個病人,即(2)方程(1)在初始條件(2)下的解為(3)這個結(jié)果表明，病人人數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無限增加，與實(shí)際情況明顯地不相符合。事實(shí)上，一個地區(qū)的總?cè)藬?shù)大致可視為常數(shù)(不考慮瘟疫流行時期出生和遷移的人數(shù)），而在瘟疫流行期間，

10、一個病人單位時間能傳播的人數(shù)則是在改變的。在傳染病流行的初期，較大，隨著病人的增多，健康者的減少，被傳染的機(jī)會也將減少，于是變小。所以應(yīng)該對本模型的假設(shè)進(jìn)行修改。我們進(jìn)一步討論下面的模型。模型ii 記時刻的健康者人數(shù)為，當(dāng)總?cè)藬?shù)不變時，應(yīng)隨著的減少而變小。假設(shè)：i）總?cè)藬?shù)為常數(shù)，且(4)ii) 單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為 ，稱傳染系數(shù)。根據(jù)假設(shè)ii)，方程(1)中的應(yīng)為，即 (5)將以(4)式代入得(6)初始條件仍用(2)式，用分離變量法不難求出方程(6)滿足條件(2)的解為(7)根據(jù)(7)式，單調(diào)增加，并且當(dāng)時，這意味著所有的人最終都要被傳染。事實(shí)上，由

11、于被傳染的病人或者經(jīng)治愈后而免疫，或者死亡，所以病人人數(shù)最終將趨于零。 在模型中也要考慮這個因素。模型ii在傳染病流行的前期還是可以應(yīng)用的，傳染病學(xué)專家用它來預(yù)報傳染病高潮到來的時刻，即病人人數(shù)增加最快的時刻，為此，利用（6）和（7）式求出(8)達(dá)到最大值的時刻即是傳染病高潮時刻。由不難得到(9)式中傳染系數(shù)可由經(jīng)驗(yàn)和統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計。3. 設(shè)分別表示產(chǎn)品1、產(chǎn)品2、產(chǎn)品3的產(chǎn)量，模型為：4. 證明：原問題顯然為凸規(guī)劃問題，故kt點(diǎn)即為極小點(diǎn)。 ，kt條件為：（1） 等價為：，由（2）得 ，故： ，從而因?yàn)?，所以?. 答案：首先，運(yùn)用嚴(yán)格下策反復(fù)消去法的思想，不難發(fā)現(xiàn)在博弈方1的策略中，下是相對

12、于上的嚴(yán)格下策，因此可以把該策略從博弈方1策略空間中消去。把博弈方1的下策略消去后又可以發(fā)現(xiàn)，博弈方2的策略中中是相對于右的嚴(yán)格下策，從而也可以消去。在下面的得益矩陣中相應(yīng)策略和得益處劃水平線和垂直線表示消去了這些策略。兩個博弈方中各消去一個策略后的博弈是兩人博弈，已經(jīng)不存在任何嚴(yán)格下策。再應(yīng)用劃線法或箭頭法，很容易發(fā)現(xiàn)這個博弈中有兩個純策略納什均衡（4，2），（3，4）。6. 答案：計算按最大隸屬原則，這個三角形應(yīng)歸入“近似直角三角形”。7. 答：（a）半歐拉圖；（b）歐拉圖；（c）都不是。8. 證明：（1）（2）（3）試題 2一、 填空題1. 引入虛擬變量時，有5個互斥的屬性變量，應(yīng)設(shè)置（

13、 ）個虛擬變量。2. 杜賓兩步法用于修正（ ）模型（answer in english）。3. 的無偏估計是（ ）。4. 克服自變量與隨機(jī)擾動項(xiàng)相關(guān)影響的一種參數(shù)估計方法是（ ）。5. granger原因最優(yōu)滯后期的選擇基于（ ）準(zhǔn)則。二、 判斷題1. 若是某線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，則也是該問題的最優(yōu)解。 （ ）2. 用單純形法求解標(biāo)準(zhǔn)型的線性規(guī)劃問題，當(dāng)所有檢驗(yàn)數(shù)時，即可判定表中解即為最優(yōu)解。 （ ）3. 數(shù)學(xué)模型為線性規(guī)劃模型。 （ ）4. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）5. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）6. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）7. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）8. 在存在異方差情況下，常用

14、的ols法總是高估了估計量的標(biāo)準(zhǔn)差。 （ ）9. 當(dāng)存在序列相關(guān)時，ols估計量是有偏的并且也是無效的。 （ ）10. 消除序列相關(guān)的一階差分變換假定自相關(guān)系數(shù)必須等于1。 （ ）三、 問答題1. 試述戈德菲爾德匡特（goldfeld-quandt）檢驗(yàn)的原理和目的。2. 模糊性和隨機(jī)性有哪些異同？3. 考慮有三個政黨參加每次的選舉，每次參加投票的選民總?cè)藬?shù)t=40000保持不變。通常情況下，由于社會、經(jīng)濟(jì)、各黨的政治主張等多種因素的影響，原來投某黨票的選民可能改投其它政黨。 隨著選民人數(shù)喜好的變化，判斷選舉的趨勢。4. 判斷下列論述是否正確，并作簡單討論。古玩市場的交易中買賣雙方的后悔都來源

15、于自己對古玩價值判斷的失誤，若預(yù)先對價值的判斷是正確的，那么交易者肯定不會后悔。5. 判斷下列論述是否正確，并作簡單討論。教育程度在勞動力市場招聘員工時受到重視的理由是，經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)證明教育對于提高勞動力素質(zhì)有不可替代的作用。四、 計算題1. 在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象了嗎。比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的3.00元，二者單位重量的價格比是1.2：1。試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個現(xiàn)象。（1）分析商品價格c與商品重量w的關(guān)系。價格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本等決定，這些成本中有的與重量w成正比，有的與表面積成正比，還有與w無關(guān)的因素。（2）給出單位重

16、量價格c與w的關(guān)系，畫出它的簡圖，說明w越大c越小，但是隨著w的增加c減少的程度變小。解釋實(shí)際意義是什么。2. 某生產(chǎn)車間內(nèi)有一臺機(jī)器不斷排出co2，為了清潔車間里的空氣，用一臺鼓風(fēng)機(jī)通入新鮮空氣來降低車間空氣中的co2含量，那么，上述做法的清潔效果如何呢？3. 某工廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺時及a、b兩種原材料的消耗，如下表所示. 設(shè)備 1 2 8臺時原材料a 4 0 16kg原材料b 0 4 12kg該工廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利2元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利3元.問應(yīng)如何安排計劃使該工廠獲利最大？試建立數(shù)學(xué)模型.4. 企業(yè)1的需求函數(shù)為，企業(yè)2的需求函數(shù)為，假

17、設(shè)兩個企業(yè)的生產(chǎn)成本為0，求兩個企業(yè)同時決策的納什均衡？5. 設(shè)求6. 請找出此無向帶權(quán)圖中頂點(diǎn)a到其余各頂點(diǎn)的最短路徑。7. 對于多元線形回歸模型，證明：（1）（2）參考答案試題 2一、 填空題1 42 autocorrlation34 工具變量法或tls5 sc施瓦茲準(zhǔn)則、或者aic赤池信息準(zhǔn)則二、 判斷題1. 對。2. 錯。3. 對。4. 錯。5. 對。6. 錯。7. 對。8. 對。9. 錯。序列相關(guān)不影響無偏性。10. 錯。不是必須等于1。三、 問答題1. 目的：檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷漠惙讲钚?。原理：為了檢驗(yàn)異方差性，將樣本按解釋變量后分成兩部分，再利用樣本1和樣本2分別建立回歸模型，并求出各自的

18、殘差平方和rss1和rss2。如果誤差項(xiàng)的離散程度相同（即為同方差的），則rss1與rss2的值應(yīng)該大致相同；若兩者之間存在顯著差異，則表明存在異方差性。檢驗(yàn)過程中為了“夸大”殘差的差異性，一般先在樣本中部去掉c個數(shù)據(jù)（通常取c=n/4），再利用f統(tǒng)計量判斷差異的顯著性。評價：gq檢驗(yàn)適用于檢驗(yàn)樣本容量較大、異方差性呈遞增或遞減的情況，而且檢驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)剔除個數(shù)c的選取有關(guān)。2. 答案略。3. 長期來看，各黨支持比例趨向穩(wěn)定向量.4. 答案：錯誤。即使自己對古玩價值的判斷是完全正確的，仍然有可能后悔。因?yàn)楣磐娼灰椎膬r格和利益不僅取決于古玩的實(shí)際價值和自己的估價，還取決于對方的估價和愿意接受的成

19、交價格，因此僅僅自己作出正確的估價并不等于實(shí)現(xiàn)了最大的潛在利益。5. 答案：錯誤。事實(shí)上經(jīng)濟(jì)學(xué)并沒有證明教育對于提高勞動力素質(zhì)有不可替代的作用。此外，我們之所以認(rèn)為教育對勞動力市場招聘員工有重要參考價值，是因?yàn)榻逃耍ê芸赡埽μ岣邉趧恿λ刭|(zhì)有作用以外，還具有重要的信號機(jī)制的作用。也就是說，即使教育并不能提高勞動力素質(zhì)，往往也可以反映勞動力的素質(zhì)。四、 計算題1. （1）生產(chǎn)成本主要與重量w成正比，包裝成本主要與表面積s成正比，其它成本也包含與w和s成正比的部分，上述三種成本中都含有與w，s均無關(guān)的成分。又因?yàn)樾螤钜欢〞r一般有，故商品的價格可表為（為大于0的常數(shù)）。（2）單位重量價格，其簡圖

20、如下：顯然c是w的減函數(shù)，說明大包裝比小包裝的商品便宜，；曲線是下凸的，說明單價的減少值隨著包裝的變大是逐漸降低的，不要追求太大包裝的商品。2. 問題分析與假設(shè) 清潔空氣的原理是通過鼓風(fēng)機(jī)通入新鮮的空氣，其co2含量盡管也有但較低。新鮮空氣與車間內(nèi)空氣混合后再由鼓風(fēng)機(jī)排出室外，從而降低co2含量。為討論問題方便，假設(shè)通入的新鮮空氣能與原空氣迅速均勻混合，并以相同風(fēng)量排出車間。此問題中的主要變量及參數(shù)設(shè)為：車間體積：v（單位：立方米），時間：t（單位：分鐘），機(jī)器產(chǎn)生co2速度：r（單位：立方米/分鐘），鼓風(fēng)機(jī)風(fēng)量：k（單位：立方米/分鐘）新鮮空氣中co2含量：m%，開始時刻車間空氣中co2含量

21、：x0%，t時刻車間空氣中co2含量：x(t)%.模型建立 考慮時間區(qū)間t，t+t，并利用質(zhì)量守恒定律：t，t+t內(nèi)車間空氣中co2含量的“增加”等于t，時間內(nèi)，通入的新鮮空氣中co2的量加上機(jī)器產(chǎn)生的co2的量減去鼓風(fēng)機(jī)排出的co2的量，即:co2增加量=新鮮空氣中含有co2 量+機(jī)器產(chǎn)生的co2量排出的co2 量數(shù)學(xué)上表示出來就是其中. 于是令，取極限便得 其中. 模型求解與分析 此問題是一階線性非齊次常微分方程的初值問題。 解之得 這就是t時刻車間空氣中含co2的百分比。顯然，, 否則co2含量只能增加。 令, 則有這說明了，車間空氣中co2的含量最多只能降到。由此可見，鼓風(fēng)機(jī)風(fēng)量越大(

22、k越大)，新鮮空氣中co2含量越低(m越小)，凈化效果越好。模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析及改進(jìn)方向：優(yōu)點(diǎn)：模型簡潔，易于分析和理解，并體現(xiàn)了建立微分方程模型的基本思想，而且所得到的結(jié)果與常識基本一致。缺點(diǎn)：建立數(shù)學(xué)模型時所作出的假設(shè)過于簡單。改進(jìn)方向：（1） 考慮新鮮空氣和車間內(nèi)的空氣的混合擴(kuò)散過程重新建模；（2）若要使得車間空氣中的co2含量達(dá)到一定的指標(biāo)，確定最優(yōu)的實(shí)施方案。3. 設(shè)生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品分別為件.使利潤最大就是使最大；受原材料的限制得到如下不等式： 受設(shè)備臺時的限制得不等式： 生產(chǎn)量非負(fù)：于是得到生產(chǎn)方案的數(shù)學(xué)模型：，4. 答案：根據(jù)問題的假設(shè)，兩企業(yè)的利潤函數(shù)分別為：各自對自己的價格求偏導(dǎo)

23、數(shù)，并令其為0得：分別得到兩個企業(yè)的反應(yīng)函數(shù)為：聯(lián)立兩個反應(yīng)函數(shù)可解得該博弈得納什均衡為。5. 答案：6. 答：a到b的最短路為acb，其權(quán)為3；a到c的最短路為ac，其權(quán)為1；a到d的最短路為acd，其權(quán)為3；a到e的最短路為acfe，其權(quán)為8；a到f的最短路為acf，其權(quán)為6；a到g的最短路為acdg，其權(quán)為6；a到h的最短路為acfh，其權(quán)為8；7. 答：回歸模型用最小二乘法得回歸直線q要取得最小值要滿足以下條件得：綜上所述，得：試題 3一、 填空題1. 杜賓兩步法用于修正（ ）模型（answer in english）。2. 的無偏估計是（ ）。3. 克服自變量與隨機(jī)擾動項(xiàng)相關(guān)影響的一

24、種參數(shù)估計方法是（ ）。4. granger原因最優(yōu)滯后期的選擇基于（ ）準(zhǔn)則。5. 已知f0.01（4，35）=36.8，則r2=_。二、 判斷題1. 線性規(guī)劃問題的基本解對應(yīng)可行域的頂點(diǎn)。 （ ）2. 若是某線性規(guī)劃問題的可行解，則也必是該問題的可行解。 （ ）3. 數(shù)學(xué)模型為線性規(guī)劃模型。 （ ）4. 數(shù)學(xué)模型為線性規(guī)劃模型。 （ ）5. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）6. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）7. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）8. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）9. 在存在異方差情況下，普通最小二乘法（ols）估計量是有偏的和無效的。 （ ）10. 如果存在異方差，通常使用的t檢驗(yàn)和f檢驗(yàn)

25、是無效的。 （ ）三、 問答題1. 簡述虛擬變量的作用和設(shè)置原則。2. 養(yǎng)老保險一般對起保年齡不作太多限制，投保到達(dá)退休年齡截止。因此起保年齡越大，每月投保金額越多。通常保險公司會提供多種方式的養(yǎng)老金計劃讓投保人選擇,在計劃中詳細(xì)列出保險費(fèi)和養(yǎng)老金的數(shù)額?？蛻魬?yīng)當(dāng)如何選擇最適合自己的養(yǎng)老金計劃？3. 金融機(jī)構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付,設(shè)立一筆總額t=5400萬的基金,分開放置在位于a城和b城的兩家公司,基金在平時可以使用,但每周末結(jié)算時必須確?？傤~仍然為5400萬。經(jīng)過相當(dāng)長的一段時期的現(xiàn)金流動,發(fā)現(xiàn)每過一周,各公司的支付基金在流通過程中多數(shù)還留在自己的公司內(nèi),而a城公司有10%支付基金流動到b城公

26、司,b城公司則有12%支付基金流動到a城公司。其初a城公司基金額為2600萬,b城公司基金為2800萬。1）按此規(guī)律,兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢如何?2）如果金融專家認(rèn)為每個公司的支付基金不能少于s=2200萬，那么是否需要在必要時調(diào)動基金?4. 靜態(tài)貝葉斯博弈中參與人的策略有什么特點(diǎn)？為什么？5. 有了海薩尼轉(zhuǎn)換，不完全信息動態(tài)博弈和完全但不完美信息動態(tài)博弈基本上是相同的，這種論述是否正確？四、 計算題1. 一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將調(diào)上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給予獎勵，俱樂部只準(zhǔn)備了一把軟尺用于測量，請你設(shè)計按照測量的長度估計魚的重量的方法。假定魚池中只有一種鱸魚，并且得到8條魚的如

27、下數(shù)據(jù)（胸圍指魚身的最大周長）：身長（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）76548211627374821389652454胸圍（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6先用機(jī)理分析建立模型，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)2. 從事豬的商業(yè)性飼養(yǎng)和銷售自然是希望獲得盡可能大的利潤，因此，養(yǎng)豬是否獲利，怎樣獲得最大利潤，是飼養(yǎng)者必須首先考慮的問題。如果把飼養(yǎng)技術(shù)水平，豬的類型等因素忽略不計，并且不考慮市場需求的變化，那么影響獲利大小的一個主要因素就是如何選擇豬的售出時機(jī)，即何時賣出獲利才最大?？赡軙腥苏J(rèn)為，豬養(yǎng)得越大，售出后獲利越大

28、。其實(shí)不然，精明的飼養(yǎng)者都知道，隨著豬的生長，單位時間消耗的飼料費(fèi)用也會越來越多，但同時其體重的增加速度卻不斷下降，而銷售價格不會隨體重的增加而增加，所以飼養(yǎng)時間過長是不合算的。試做出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，建立豬的最佳銷售時機(jī)的數(shù)學(xué)模型。3. 將線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式4. 企業(yè)甲和乙都是彩電制造商，他們可以選擇生產(chǎn)低檔商品或高檔商品，得益矩陣如下，（1）該博弈有沒有上策均衡？求兩個企業(yè)同時決策的納什均衡。若企業(yè)甲先于企業(yè)乙進(jìn)行產(chǎn)品選擇并投入生產(chǎn)，（2）用擴(kuò)展型表示這一博弈，并求出子博弈的完美納什均衡。乙高檔 低檔500，5001000，700700，1000600，600 甲 高檔低檔5. 影響教師教

29、學(xué)質(zhì)量的因素可以取為四個：=清楚易懂，=教材熟練，=生動有趣，=板書清楚。這樣便做出因素集。四種因素的權(quán)數(shù)分配為（0.5，0.2，0.2，0.1）。評價取集為=（很好，較好，一般，不好）。對于某個教師，請若干人（教師，學(xué)生等等），單就來說，若有40%的人說好，50%的人說較好，10%的人說一般，沒有人說不好，則得關(guān)于的單因素決策向量：（0.4，0.5，0.1，0）類似地有（0.6，0.3，0.1，0）（0.1，0.2，0.6，0.1）（0.1，0.2，0.5，0.2）問該教師的教學(xué)質(zhì)量如何評價？6. 請找出此有向帶權(quán)圖中頂點(diǎn)a到其余各頂點(diǎn)的最短路徑。7. 證明：；其中，是一元線形回歸模型的判定

30、系數(shù)，是y與x的相關(guān)系數(shù)。參考答案試題 3一、 填空題1 autocorrlation23 工具變量法或tls4 sc施瓦茲準(zhǔn)則、或者aic赤池信息準(zhǔn)則5 0.8079或者0.81、0.8二、 判斷題1. 錯。2. 錯。3. 錯。4. 對。5. 錯。6. 錯。7. 對。8. 錯。9. 錯。異方差不影響無偏性。10. 對。三、 問答題1.作用：反應(yīng)無法度量的定性因素對經(jīng)濟(jì)變量的影響，使模型更加準(zhǔn)確地反應(yīng)實(shí)際。設(shè)置原則：對于一個因素多個類型的虛擬變量：對于有m個不同屬性類型的定性因素，應(yīng)該設(shè)置m-1個虛擬變量來反映該因素的影響。對于多個因素各兩種類型的虛擬變量：如果有m個定性因素，且每個因素各有兩

31、個不同的屬性類型，則引入m個虛擬變量。2. 選擇所交保險費(fèi)獲利對應(yīng)利率最大的養(yǎng)老金計劃！3. 只要基金總額不少于4840.484萬元，無論初始如何分配，最終兩家公司都安全！4. 答案：靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的一個策略是他們針對自己各種可能的類型如何作相應(yīng)的完整計劃?；蛘邠Q句話說，靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的策略就是類型空間到行為空間的一個函數(shù)，可以是線性函數(shù)，也可以是非線性函數(shù)，當(dāng)博弈方的類型只有有限幾種時是離散函數(shù)，當(dāng)博弈方的類型空間是連續(xù)區(qū)間或空間時則是連續(xù)函數(shù)。只有一種類型的博弈方的策略仍然是一種行為選擇，但我們同樣可以認(rèn)為是其類型的函數(shù)。靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的策略之所以必須是針對自己所有

32、可能類型的函數(shù)，原因是博弈方相互會認(rèn)為其他博弈方可能屬于每種類型，因此會考慮其他博弈方所有可能類型下的行為選擇，并以此作為自己行為選擇的根據(jù)。因此各個博弈方必須設(shè)定自己在所有各種可能類型下的最優(yōu)行為，而不僅僅只考慮針對真實(shí)類型的行為選擇。5. 答案：正確。事實(shí)上，不完全信息動態(tài)博弈與完全但不完美信息動態(tài)博弈本質(zhì)上常常是相同的，是一種博弈問題的兩種不同理解方法，而把它們聯(lián)系起來的橋梁就是海薩尼轉(zhuǎn)換。 四、 計算題1. 對于同一種魚不妨認(rèn)為其整體形狀是相似的，密度也大體上相同，所以重量w與身長的立方成正比，即，為比例系數(shù)。常釣得較肥的魚的垂釣者不一定認(rèn)可上述模型，因?yàn)樗鼘Ψ属~和瘦魚同等看待。如果只

33、假定魚的橫截面積是相似的，則橫截面積與魚身最大周長的平方成正比，于是，為比例系數(shù)。利用數(shù)據(jù)估計模型中的系數(shù)可得=0.014，=0.0322，將實(shí)際數(shù)據(jù)與模型結(jié)果比較如下表：實(shí)際重量（g）76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483基本上滿意。2. 問題分析 設(shè)豬開始進(jìn)行飼養(yǎng)的時刻為，且此時豬的體重為，若為一頭豬在t時刻的重量，則有。又設(shè)為該品種豬的最大體重，那么由前面分析知其生長速度到達(dá)一定程度就會減慢下來，到達(dá)最大體重時，生長速度就成為零。依此分析，我們發(fā)現(xiàn)豬的體重增長的過

34、程與人口增長過程很類似，通過類比方法可設(shè)體重函數(shù)滿足 其中k是反映豬的生長速度快慢的常數(shù)。易見，隨著體重的增長，生長速度不斷減慢直至為0.又設(shè)表示一頭豬從開始飼養(yǎng)到t時刻共消耗的飼養(yǎng)費(fèi)用(包括飼養(yǎng)人員工薪等)，為豬可上市銷售的最小體重，為豬從體重增長至所需的飼養(yǎng)時間， 為時刻體重為的豬的單位售價。由于我們的建模目的是尋求使得純利潤盡可能大的豬的售出時刻，因此若t 時刻將豬售出，則銷售總收入為 ，而總支出為，于是純利潤為問題就成為求的最大值，即 即問題的主模型。剩下的問題是如何求出 及，其中已由前面方程式確定。分模型假設(shè) （1）本模型只對某一品種的豬進(jìn)行討論，涉及豬的性質(zhì)的其他有關(guān)參數(shù)均視為常數(shù)

35、。（2）由于開始飼養(yǎng)時豬已有一定體重 ，故假定豬隨著體重的增長，生長速度不斷減慢。（3）豬的體重越大，單位時間消耗的飼養(yǎng)費(fèi)用就越多，達(dá)到最大體重后，單位時間消耗的飼養(yǎng)費(fèi)為一常數(shù) 。（4）通過市場調(diào)查知與體重的變化關(guān)系很微小，且不考慮市場需求，即可視為常數(shù)p。分模型建立 依假設(shè)（3），單位時間消耗的飼養(yǎng)費(fèi)用可具體分解為兩部分：一部分與體重有關(guān)（如飼料的費(fèi)用）記為，另一部分為固定費(fèi)用（如飼養(yǎng)員薪金），自然為。 由平衡原理，單位時間間隔內(nèi)飼養(yǎng)費(fèi)用的增加量為其中右端第一項(xiàng)為固定費(fèi)總值，第二項(xiàng)為與體重有關(guān)的費(fèi)用。利用積分中值定理可得這一部分結(jié)果為 于是 兩邊遍除，并令得 顯然有，于是得分模型為 及 分模

36、型求解 可解得易見，k越大，越小，即增長速度越大，飼養(yǎng)費(fèi)用越小，是符合實(shí)際的。主模型求解 可得到所謂最佳售出時間應(yīng)為其中的一些常數(shù)可由如下渠道獲得： 可從有關(guān)該品種豬的資料中得到；可通過簡單的統(tǒng)計工作得到；可從市場上得知。要獲得最大利潤，價格越高越好，故適當(dāng)掌握市場信息是必要的；還可看出，豬的最大體重越大，生長速度越快，就越容易獲得最大利潤。因此養(yǎng)豬應(yīng)選擇最大體重大又生長速度快的品種。3. 令可得到如下的標(biāo)準(zhǔn)形式： 4. 答案：（1） 沒有上策均衡，同時決策的納什均衡為（低檔，高檔），（高檔，低檔），或（700，1000），（1000，700）。（2） 本博弈的擴(kuò)展形如下：用逆推歸納法。如果第

37、一階段甲選高檔，則到了第二階段，乙會選擇低檔，因?yàn)榇藭r得益700500,結(jié)果為（1000，700）；而如果第一階段甲選低檔，到了第二階段，乙會選高檔，因?yàn)榇藭r得益1000600,結(jié)果為（700，1000）。甲知道乙的選擇方法，所以逆推回第一階段，甲會選擇生產(chǎn)高檔彩電，因?yàn)?000700,所以本博弈的子博弈完美納什均衡為：甲的策略：選擇生產(chǎn)高檔產(chǎn)品；乙的策略：若甲選擇了生產(chǎn)高檔，則選擇低檔；若甲選擇了生產(chǎn)低檔，則選擇高檔。 本博弈的子博弈完美納什均衡路徑為：甲選擇生產(chǎn)高檔彩電，然后乙選擇生產(chǎn)低檔彩電。本博弈的雙方得益為（1000，700）。5. 答案：作出單因素評判矩陣權(quán)數(shù)分配為 a=（0.5，

38、0.2，0.2，0.1）容易算出綜合評判向量其中其他也是類似算出的，最大值為0.5，故該教師的講課質(zhì)量定為較好了。6. 答: a到b的最短路為ab，其權(quán)為1；a到c不可達(dá)，無最短路；a到d的最短路為ad，其權(quán)為3；a到e的最短路為ade，其權(quán)為7；a到f的最短路為abf，其權(quán)為7；a到g的最短路為abfg，其權(quán)為14。7. 證明：試題 4一、 填空題1. 的無偏估計是（ ）。2. 克服自變量與隨機(jī)擾動項(xiàng)相關(guān)影響的一種參數(shù)估計方法是（ ）。3. granger原因最優(yōu)滯后期的選擇基于（ ）準(zhǔn)則。4. 已知f0.01（4，35）=36.8，則r2=_。5. 前定變量包括（ ）變量和（ ）變量。二、

39、 判斷題1. 若是某線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，則也是該問題的最優(yōu)解。 （ ）2. 用單純形法求解標(biāo)準(zhǔn)型的線性規(guī)劃問題，當(dāng)所有檢驗(yàn)數(shù)時，即可判定表中解即為最優(yōu)解。 （ ）3. 數(shù)學(xué)模型為線性規(guī)劃模型。 （ ）4. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）5. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）6. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）7. 表達(dá)形式是正確的。 （ ）8. 在存在異方差情況下，常用的ols法總是高估了估計量的標(biāo)準(zhǔn)差。 （ ）9. 當(dāng)存在序列相關(guān)時，ols估計量是有偏的并且也是無效的。 （ ）10. 消除序列相關(guān)的一階差分變換假定自相關(guān)系數(shù)必須等于1。 （ ）三、 問答題1. 簡述多重共線性產(chǎn)生的原因和影響。2. 簡述

40、動態(tài)模型和微分方程建模。3. 按照你的觀點(diǎn)應(yīng)從那幾個方面來建立傳染病模型。4. 試建立個人住房抵押貸款模型。貸款期限半年一年三年五年五年以上利率6.126.396.667.207.56表1 中國人民銀行貸款利率表貸款期限半年一年三年五年五年以上利率6.126.2556.3906.5256.660表2上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款利率表 貸款期限半年一年三年五年五年以上月還款（元） 到期一次還清444.36 305.99237.26196.41本息總和（元） 10612.0010664.5411015.6311388.7111784.71表3上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款分期付款表 表2和表3是如何依據(jù)

41、中央人民銀行公布的存、貸款利率水平制定的？5. 判斷下列論述是否正確，并作簡單討論。古玩市場的交易中買賣雙方的后悔都來源于自己對古玩價值判斷的失誤，若預(yù)先對價值的判斷是正確的，那么交易者肯定不會后悔。四、 計算題1. 用寬w的布條纏繞直徑d的圓形管道，要求布條不重疊，問布條與管道軸線的夾角應(yīng)多大（如圖）。若知道管道長度，需用多長布條（可考慮兩端的影響）。如果管道是其他形狀呢。2. 意大利生物學(xué)家dancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.顯然

42、戰(zhàn)爭使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？ 他無法解釋這個現(xiàn)象，于是求助于其岳父，著名的意大利數(shù)學(xué)家v.volterra，希望建立一個食餌捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定性或定量地回答這個問題.3. 將線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式4. 一個歹徒劫持了小孩，威脅家長如果不付贖金就殺害人質(zhì)。請按要求寫出三種情況下相應(yīng)的得益矩陣，分析歹徒的心態(tài)，求出納什均衡。家長的策略：付贖金和不付贖金；歹徒的策略：殺死或釋放人質(zhì)。家長的得益：不付贖金，歹徒放人，4分；付贖金，歹徒放人，3分；不付贖金，歹徒撕票，2分；付贖金，歹徒撕票，1分。a歹徒的得益：得到贖金，放人，4分；得到贖金，照樣撕票

43、，3分；沒得到贖金，放人，2分；沒得到贖金，殺人，1分。b歹徒的得益：得到贖金，放人，3分；得到贖金，照樣撕票，4分；沒得到贖金，放人，1分；沒得到贖金，殺人，2分。c歹徒的得益：得到贖金，放人，4分；得到贖金，照樣撕票，3分；沒得到贖金，放人，1分；沒得到贖金，殺人，2分。5. 設(shè)，對有：試求。6. 求下列圖中的最優(yōu)投遞路線。 （a） （b）7. 如何解釋“可以按一定的置信度保證，ols估計量與回歸系數(shù)b之間的絕對誤差不會大于”這一結(jié)論。參考答案試題 4一、 填空題12 工具變量法或tls3 sc施瓦茲準(zhǔn)則、或者aic赤池信息準(zhǔn)則4 0.8079或者0.81、0.85 外生、滯后內(nèi)生二、 判

44、斷題1. 對。2. 錯。3. 對。4. 錯。5. 對。6. 錯。7. 對。8. 對。9. 錯。序列相關(guān)不影響無偏性。10. 錯。不是必須等于1。三、 問答題1.產(chǎn)生原因：（1）經(jīng)濟(jì)變量的內(nèi)在聯(lián)系是產(chǎn)生多重共線性的根本原因。（2）經(jīng)濟(jì)變量變化趨勢的“共向性”。（3）解釋變量中含有滯后變量。影響：（1）增大ols估計的方差。（2）難以區(qū)分每個解釋變量的單獨(dú)影響。（3）t檢驗(yàn)的可靠性降低。（4）回歸模型缺乏穩(wěn)定性。2. 動態(tài)模型: 描述對象特征隨時間(空間)的演變過程, 分析對象特征的變化規(guī)律, 預(yù)報對象特征的未來性態(tài), 研究控制對象特征的手段.微分方程建模: 模根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)

45、, 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè), 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.3. 描述傳染病的傳播過程, 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律, 預(yù)報傳染病高潮到來的時刻, 預(yù)防傳染病蔓延的手段, 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型.4. 表2的制定: (i) 確定本銀行貸款期限等級，不必與央行完全一致。(ii) 根據(jù)本銀行利率低于（至少不高于）央行利率的原則，確定本銀行貸款期限最低與最高等級的利率。(iii) 依據(jù)某種原則（如隨時間成等差數(shù)列），確定本銀行其它貸款期限的利率。表3的制定: (i) 以商業(yè)貸款10000元為例,貸款采取逐月歸還方式償還。(ii) 不得提前或延期還貸，即在貸款期限最后一個月還清。(iii) 月利率采用將對應(yīng)年利率平均方式計算。5. 答案：錯誤。即使自己對古玩價值的判斷是完全正確的，仍然有可能后悔。因?yàn)楣磐娼灰椎膬r格和利益不僅取決于古玩的實(shí)際價值和自己的估價，還取決于對方的估價和愿意接受的成交價格，因此僅僅自己作出正確的估價并不等于實(shí)現(xiàn)了最大的潛在利益。四、 計算題1. 將管道展開如圖：可得，若d一定，w趨于0，趨于/2；w趨于d，趨于0。若管道長度為，不考慮兩端的影響時布條長度顯然為d