數(shù)學(xué)論文正定矩陣集上的凹性定理

1、正定矩陣集上的凹性定理（孝感學(xué)院 數(shù)學(xué)系021113132，湖北 孝感432100）摘 要：本文將數(shù)學(xué)分析中的凹（凸）函數(shù)概念拓廣到正定矩陣集上，給出了minkovski不等式的一種簡(jiǎn)單證法，進(jìn)而證明了本文的主要結(jié)果：對(duì)任意正定矩陣、及，有.關(guān)鍵詞：正定矩陣；凹性定理；minkovski不等式a concavity theorem of positivedefinite matrix setlu lan-qiu (dept.math.,xiaogan university 021113132,xiaogan 432100,hubei)abstract:in this paper,we gene

2、ralize the concave functions conception of mathematical analysis to the positive definite matrix set,we also give a simple proof of minkovski inequality,and then prove the major conclusion: for any positive definite matrix 、and，we have .key words:positive definite matrix; concavity theorem;minkovski

3、 inequality.0 引言矩陣的行列式是矩陣中的一個(gè)重要概念，它在線(xiàn)性方程組和矩陣的特征值等方面有相當(dāng)重要的地位，人們對(duì)于有關(guān)矩陣的行列式不等式已經(jīng)得到了一些漂亮的結(jié)果，比如minkovski不等式1： （1）本文將給出這個(gè)不等式的一種新證法，適用于更廣泛的一類(lèi)矩陣，還有fanky凹性定： （2）利用不等式的一個(gè)重要性質(zhì)：幾何平均值不小于算術(shù)平均值，由不等式（1），可得，進(jìn)一步化為 （3） 對(duì)（3）兩邊取對(duì)數(shù)，得到 （4）能否將（4）推廣到更一般的結(jié)果，即若、為正定矩陣，對(duì)任意的，是否有 （5）本文將證明這一結(jié)論，同時(shí)將數(shù)學(xué)分析中的凹（凸）函數(shù)概念進(jìn)行推廣，定義正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)

4、，最后考慮了給出正定矩陣集上的凹函數(shù)的一些應(yīng)用本文將建立關(guān)于正定矩陣的幾個(gè)引理，借助這些結(jié)論，用一種較為初等的方法證明正定矩陣的minkovski不等式，最后證明我們的主要結(jié)果，即：定理對(duì)任意正定矩陣、及，有 （6）本文用表示實(shí)數(shù)域，用、分別表示是矩陣的轉(zhuǎn)置和行列式，用表示所有矩陣構(gòu)成的線(xiàn)性空間基本概念定義13設(shè)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，如果對(duì)所有非零的，有則稱(chēng)為正定二次型，而稱(chēng)為正定矩陣.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定矩陣有多種等價(jià)定義形式，幾種常見(jiàn)的等價(jià)命題是3：引理13設(shè)為級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則下列命題等價(jià)：()為正定矩陣；()合同于單位矩陣；()的所有順序主子式全大于零；()的正慣性指數(shù)為；()的的所有特征值全大于零

5、；定義24 設(shè)在上有定義，如果對(duì),及0，成立不等式則稱(chēng)是上的凹函數(shù).如果不等號(hào)反向，則稱(chēng)是上的凸函數(shù).下面，我們把數(shù)學(xué)分析的凹（凸）函數(shù)概念推廣為定義3 設(shè)為在一個(gè)定義在上的實(shí)函數(shù)，如果對(duì)任意的正定矩陣、及任意，都有 （7）稱(chēng)是正定矩陣集上的凹函數(shù). 如果不等號(hào)反向，則稱(chēng)是正定矩陣集上的凸函數(shù).比較根據(jù)定義2與定義3可知，正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)與通常的凹（凸）函數(shù)相比較，它實(shí)際上是一種強(qiáng)凹（凸）函數(shù).當(dāng)是正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)時(shí)，它一定也是(0,)上的凹（凸）函數(shù)，這可以從正定矩陣、都取矩陣，即都取正實(shí)數(shù)看出；反之，對(duì)一般的凹（凸）函數(shù)，它們未必一定是正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù). 對(duì)于

6、，由，可知是上的凹函數(shù)，本文的主要結(jié)果說(shuō)明了同時(shí)還是是正定矩陣集上的凹函數(shù).定義45 任意，若存在可逆矩陣，使得、同時(shí)為(主對(duì)角元素為非負(fù)實(shí)數(shù))的上三角矩陣，則稱(chēng)、為可廣義同時(shí)(非負(fù))上三角化，當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)、可同時(shí)(非負(fù))上三角化.根據(jù)文獻(xiàn)5及6中的結(jié)果，有對(duì)，若、滿(mǎn)足下列條件之一，則它們可廣義同時(shí)上三角化：() 或；() 、為正定矩陣；() 的特征根為非負(fù)實(shí)數(shù)；() ,且、的特征根為非負(fù)實(shí)數(shù)引理與定理的證明 為證明主要結(jié)果及討論正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)，下面，我們給出一些引論.引理1設(shè)、是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，是正定陣，則存在實(shí)可逆陣，使為對(duì)角陣.證明由于是正定陣，從而合同于，即存在實(shí)可逆陣，使,而仍為

7、實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，從而存在正交陣，使 （8）其中是的特征值，令，則，于是，有 （9）注:利用本證明方法，可以得出正定矩陣的一個(gè)重要結(jié)果：引理2設(shè)、都是正定矩陣，則存在實(shí)可逆陣，使，這里，.證明仿照引理1的證明，只需注意到為正定矩陣，引理得證.引理37對(duì)任意正定矩陣、，都有.引理45 (赫爾特不等式)設(shè)，則證明當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，當(dāng)或時(shí)等式成立；當(dāng)時(shí)，記，則有所以，即得，令則有引理2成立.結(jié)合引理1、引理2、引理3，我們給出著名的minkovski不等式的一個(gè)簡(jiǎn)單證法，即下面的命題：命題（minkovski不等式）設(shè)、是正定矩陣，則證明由引理2，存在實(shí)可逆陣，使 ， （10）因此，有 （11）這里，.

8、對(duì)（10）、（11）取行列式，得，注意到，則得到，于是再由引理3的結(jié)論：，故有命題得證最后，我們來(lái)證明本文的主要結(jié)果定理的證明要證，即證 (12)由引理1，可逆矩陣，使得，同理，有則 即化簡(jiǎn)為即證由引理4中赫爾特不等式的特例(的情形)：，則有從而，證得.推論1 若、可同時(shí)非負(fù)上三角化，即存在可逆實(shí)矩陣，使得與成立，這里都是非負(fù)實(shí)數(shù)，.則.證明類(lèi)似于定理1的方法可證，這里從略.推論2 對(duì)，若、滿(mǎn)足下列條件之一：() 或；() 、為正定矩陣；() 的特征根為非負(fù)實(shí)數(shù)；() ,且、的特征根為非負(fù)實(shí)數(shù)則.證明根據(jù)文獻(xiàn)5及6中的結(jié)果，當(dāng)、滿(mǎn)足上述條件之一時(shí)，、可同時(shí)非負(fù)上三角化，由推論1即得本推論結(jié)論成

9、立.致謝：感謝數(shù)學(xué)系胡付高副教授的悉心指導(dǎo).參考文獻(xiàn)1 bellman r. inepoductonto matrix analysism.new youk:mcgrawhill,1970.2 beckenbahef.inepualitiesm.springer,19613 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)(第三版)m. 北京: 高等教育出版社，20034 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))（第三版)m. 北京: 高等教育出版社，20015 程學(xué)翰，王明輝.類(lèi)矩陣行列式不等式j(luò).數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2005，25（2）363-3686 胡付高.矩陣的弱相似性及其應(yīng)用j.信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)報(bào)），2003，16（1）：4-67 li guiqing,hu fugao,zheng mingjun. an elementary proof tobasic inequalityj.孝感學(xué)院學(xué)報(bào) ，2004，24（3）：55-578 張慶成，張朝風(fēng).定矩陣的凹性不等式的推廣j.長(zhǎng)春郵電學(xué)院學(xué)報(bào)，1994,12（2）：52-559 謝