必修四平面向量復(fù)習(xí)基本知識點總結(jié)及基礎(chǔ)訓(xùn)練

1、平面向量復(fù)習(xí)基本知識點及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)1、向量有關(guān)概念：(1) 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量與數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就就是有向線段，為什么？(向量可以平移)。uuur例：已知A(1,2),B(4,2),則把向量AB按向量a = ( 1,3)平移后得到的向量就是 。零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0,注意零向量的方向;(3)單位向量:長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量就是:)；相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有;*F(5)平行向量(也叫):方向或的非零向量a、b叫做平行向量，記作:,規(guī)定零向量與任何向

2、量平行 。提醒 :相等向量一定就是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行就是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合：平行向ruuu CULT量無傳遞性！(因為有0 );三點A、B、C共線AB、AC共線;相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量就是。例：命題：(1)若a b ,則；b。兩個向量相等的充要條件就是它們的起點相同，終點相同。若uuu UULTuuu ULLTT T T TAB DC ,則ABCD就是平行四邊形。(4)若ABCD就是平行四邊形，則AB DC。若a b,b c, T TT T T T T T則

3、a c。(6)若a/b,b/c,則a/c。其中正確的就是 ;2、向量的表示方法:(1)幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示 ，如AB ,注意起點在前，終點在后;(2)符號表示法:用一個小寫的英文字母來表示，如a ,b ,c等;(3)坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x-T T T軸、y軸方向相同的兩個單位向量i ,j為基底，則平面內(nèi)的任一向量 a可表示為a xi y j x,y ,稱x, y為向量a的坐標(biāo),a = 標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同。3、平面向量的基本定理：如果e1與e2就是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量 a,有且只有一對實數(shù)1、2 ,使a= 1e1+ 2耳。例;(1)若 a (1,1),

4、b (1,1),c( 1,2),則 c;(2) 下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的就是lTLTLTUT0 (0,0)(2 (1, 2) B、 q ( 1,2),e2(5,7)UL 13叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐，那么對該平面內(nèi)的任一向量iteut(3,5), e2(6,10)e (2, 3),e2(2, 4)(3) 已知AD,Be分別就是ABC的邊BC, AC上的中線T Ta, b表示為;uuiT T uLiu T uuu，且AD a, BE b ,則BC可用向量(4)已知 ABC中，點D在BC邊上，且CD 2DB ,CD t AB sAC ,則t s的值就

5、是 4、實數(shù)與向量的積:實數(shù) 與向量a的積就是一個向量,記作 a ,它的長度與方向規(guī)定如Ttr下：1 a | a , 2當(dāng)0時，a的方向與a的方向,當(dāng)0時，a的方向與a的方向當(dāng) =0時，；0,注意：a工0。5、平面向量的數(shù)量積：UUU T UUU T(1)兩個向量的夾角：對于非零向量 a , b ,作OA a,OB b , AOB 0稱為向量a,b的夾角，當(dāng) =0時，a,b同向，當(dāng) = 時，a,b反向，當(dāng) =一時,a,6垂直。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量 a,b，它們的夾角為，我們把叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積),記作:，即 a ? b =。規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積就是0,注

6、意數(shù)量積就是一個實數(shù)，不再就是一個向量。例：(1) ABC中,| AB|3,|AC|4,|BC|5,則 AB BC ;r1 ri rr r it r r r u(2) 已知 a(1-),b(0,),ca kb,d ab ,c與 d 的夾角為一，則 k等于 ；r 2 r r 2 r r4(3) 已知 a 2, b 5,ag)3,則 a b 等于;(4) 已知a,b就是兩個非零向量，且a b a b,則a與a b的夾角為- 一、r(3)b在a上的投影為|b|cos ，它就是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知|a| 3, | b | 5,且a b 12,則向量a在向量b上的投影為r -(4) a ?

7、b的幾何意義：數(shù)量積a ? b等于a的模|a |與b在a上的投影的積。向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)兩個非零向量a ,b ,其夾角為，則：a丄b則I-FI-r2 r rr2 r當(dāng)a , b同向時,a? b =，特別地,a a?aa,ar 2a ;當(dāng)a與b反向時,a ? b;當(dāng) a ? b 0 時，;當(dāng) a ? b v 0, r r r r非零向量a,b夾角的計算公式:;|a?b| |a|b|。例：(1)已知a ( ,2 ),b (3 ,2),如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍就是 ;t1 : 3(2)已知 OFQ的面積為S,且OF FQ1，若S，則OF , FQ夾角的取值范圍就是2 2rrrr;(3)

8、已 知 a (cosx,sin x), b (cos y,sin y), a 與 b 之 間 有 關(guān) 系 式ka b 屈a kb ,其中k 0,用k表示a b;求a b的最小值，并求此時a與b的夾角 的大小。6、向量的運算：(1)幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行外,向量加法還可利用“三角形法則”rruuuuultuuutabABBCAC;向量的減法：用“三角形法則”U但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之 AB a, BC b，那么向量 AC叫做a與b的與，即uuu :設(shè)ABr uult r r ra, AC b,那么 a buuuABuultACuuuCA，由減向量的

9、終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。UUU uult uuuuuu uult例:(1)化簡: AB BC CD ; AB ADUUU(2)若正方形ABCD的邊長為1, AB a,BCr uult(3)若0就是VABC所在平面內(nèi)一點，且滿足uultuuuDC ;(ABr uult r rb, AC c,則 | auuu uuutOB OCuuuCD)uuu(ACuultBD)b c 1 =uultuuuUUUOB OC 2OA，則VABC的形狀為uur uuu uuu r(4) 若D為 ABC的邊BC的中點，ABC所在平面內(nèi)有一點P ,滿足PA BP CP 0,設(shè)uuu

10、|UAp|，則 的值為；|PD|uur uuu uuu r(5) 若點O就是 ABC的外心 且OA OB CO 0，則 ABC的內(nèi)角C為;坐標(biāo)運算：設(shè)a (Xi,yj,b 化必)，則：向量的加減法運算 ：a + b =a b =uuirAC( R)，則當(dāng).時，點P在第一、三象1 uuu 限的角平分線上；(2)已知A(2,3)，B(1,4)，且一 AB2 uuuu已知作用在點 A(1,1)的三個力F1(3,4)，F(xiàn)2(2,(si nx，cosy)，x，y ( -，)，則 x y ;(3)uru2 u! uu uu5)，F(xiàn)a (3,1)，則合力FF1 F2F3的終點坐標(biāo)就uu uuu- 例:(1)

11、已知點 A(2,3), B(5,4) ,C(7,10)，若 AP AB 實數(shù)與向量的積：入a =。uuu 若A(x-|，y1)，B(x2, y2)，則AB =，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。uuir 1 uuu uuiruuu例：設(shè)A(2,3)，B( 1,5)，且AC丄AB，AD 3AB，則C、D的坐標(biāo)分別就是；3平面向量數(shù)量積：a ? b =，。例:已知向量 a = (sinx，cosx)， b = (sinx，sinx)， c = ( 1,0)。b的最大值為丄,求的值-3(1)若X=,求向量a、c的夾角;(2)若x ,，函數(shù)f(X)3 8 4 向量的模：

12、I a I =r ruu r例：已知a, b均為單位向量，它們的夾角為60,那么| a 3b | = 兩點間的距離：若A x!，y1 ,B x2,y2 ,則I AB I =的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程。；rrr r7、向量的運算律：(1)交換律：abb ar r r rrr r rrrrr律：a b c abc, a bcabc ,rrrr rrr rr r律：aaa,a bab, ab ?cIX u uuye2，其中e1,e2分別為與(2, 2),求 P 到 Ouuu ur系的斜坐標(biāo)就是這樣定義的：若OP xe1 點斜坐標(biāo)為(x, y)。(1)若點P的斜坐標(biāo)為rrr r r raa ,a?b

13、 b?a ；(2)結(jié)合r rr rrra ?ba?ba? b ;(3)分配r r r ra?c b?c。的距離I例：如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，xOy 60,平面上任一點P關(guān)于斜坐標(biāo) x軸、y軸同方向的單位向量，則P PO I ;(2)求以O(shè)為圓心,1為半徑例:下列命題中:a (bc) abac;a (b c) (a b) c ;r r r r(ab)2|a|22|a| |r rb|r|b|2 ;若a b 0 ,貝 U a0或b0 ;若 a b c b,則rrr 2 r 21 1 a b1 br r 2r2 r：2r r 2 r2r rr2ac ;|a a;TVr:(a b)a b;(a b

14、) a2a bb。其中正確的就是aa提醒：(1) 向量運算與實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的乘法”不滿足結(jié)合律,即a(b?c) (a?b)c,為什么? r rrrr r 28、向量平行(共線):a/bab(a b)rr例:(1)若向量a(x,1),b(4, x),當(dāng) xrrr rrr ra(1,1)b(4, x),u a2b,v 2auuiuuiuuuPA(k,12),PB (4,5),PC(10,k),則k=_rr

15、r raba b 0uuuruur )。AC(|a|b|)2X2u/v共線且方向相同；(2)已；(3)9、uuu(ab(-uuuAB向量垂直 ：uuuruuur )ACuuu(uuuABulu已知OA例:(1)作等腰直角三角形ULLTHIU(1,2),OB (3, m),若 OAOAB, B 90 ,則點 Bn m,則m的坐標(biāo)就是10、線段分點求法：_時,A,B,C共線;r r r r|a b| |a b|XX2y20uuuOB，則 m的坐標(biāo)就是；(2)以原點O與A(4,2)為兩個頂點-；(3)已知n(a,b),向量n m ,且1例:1)若 M(-3,-2),N(6,-1),且 MP MN,則

16、點 P 的坐標(biāo)為；31UUUU(2)已知 A(a,0), B(3,2 a)，直線 y -ax與線段 AB交于 M ,且 AMluur2MB，則a等于11、向量中一些常用的結(jié)論(1) 一個封閉圖形首尾連接而成的向量與為零向量，要注意運用；詁| |b| |； b| |；| |b|,r rrrr rr rr rr特別地，當(dāng) a、b同向或有 0|ab| |a|b|a|b | |ab|；rr 一rrr rrrr rr當(dāng) a、b反向或有 0|ab| |a|b|a|b| |ab|；當(dāng)a、b不共線|；| |b|； b| |；| |b|(這些與實數(shù)比較類似)、在 ABC中，若A x1,y1 ,B x2, y2 ,C x3,y3,則其重心的坐標(biāo)為xi x X3 yi y2 y3G廣33例：若A ABC的三邊的中點分別為(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),umr uuu uuu uuurPG 3(PA PB PC)G為ABC的重心，特別地3則A ABC的重心的坐標(biāo)為ImPABgpPCABC的重心;umPAuuuPA P為 ABC的垂心;uuuPCuuu uuu PB PB uuu(uuu