微分方程復習13470

1、第四章微分方程4.1方程分類與解法4.1.1 一階，可分離變量方程一階變量分離方程加f(如八眾畑心二和弋齊次方程3 = f (丫)dx x3=u X巴dxdxdu 沖、 u x f (u)dxy 令 u , y = xu ,x4.1.2 階線性非齊次方程齊次方程也-p(x)y =0通解dx-P(x)dxy 二 ce(c 二-eci)標準形p(x)y=q(x)通解dx-|P(x)dx+p(x)dx伯努利方程吒P(x)廠53 P(x)y 二 Q(x)yn(n = 0,1)= dx令 z 二 y1得(1 -n)P(x)z =(1 - n)Q(x)dx4.1.3特殊二階方程降階法微分方程y(n) =

2、f (x)接連積分n次，便得到微分方程 y(n) = f (x)的含有n個任意常數(shù)的通解。y =f(x,y)令 y = p(x)則y= p (x)二 p =f(x,p)y = f(y,y )令 y 二 p(y)則y= ppp p = f(y, p)首次積分方法若F(x,y,y ,，y(n) d (x,y, y / , y(n4)則稱 dx(x, y, y；，y(T)二c為方程F(x,y,y廠,y(n) =0的首次積分。這樣就把原方程 降了一階。特別地，二階的就變成一階方程了。4.1.4二階(高階)線性常系數(shù)方程1.線性方程解的結構理論定理1 (疊加原理)設(x), y2(x)，yn(x)是齊次

3、方程的解，則它們的線性組合nCiyi(x) C2y2(x)亠亠&yn(x)=二yj(x)也是齊次方程的解，其中cg,，心是任意y常數(shù)。定理2設y(x)是非齊次方程的一個解，yi(x), y2(x)，yn(x)是對應的齊次方程的n解，則7 cj yj (x) y(x)也是非齊次方程的解，其中c1,c2 / , cn是任意常數(shù)。定理3 (二階齊次線性微分方程通解的結構)設 yi (x)和y2(x)(a蘭x玄b)是方程yai(x)ya2(x)y =0( 3)的兩個線性無關特解，則y = Gy/x) *c?y2(x) ( c),C2是任意常數(shù))是方程(3)的通解。對于二階非齊次線性微分方程yai(x)

4、ya2(x)y = f (x)( 4)有如下的定理。定理4(二階非齊次線性微分方程通解的結構)設y*(x)是方程(4)的一個特解，y1(x)和y2(x)(a乞x b)是方程(4)對應的齊次線性方程(3)的兩個線性無關解，貝U*y Fyi(x) C2y2(x) y (x)(5)是方程(4)的通解。2 齊次方程y(n) aT y =0=特征方程 *廠0綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y” py： qy = 0的通解的步驟如下：第一步寫出微分方程的特征方程r2 pr q = 0第二步 求出特征方程的兩個根】2。3)的通解第三步 根據(jù)特征方程兩個根的不同情形，按照下列表格寫出微分方程(特征方程r

5、 +pr+q=O的兩個根人,嘉微分方程y+py + qy = 0的通解兩個不相等的實根 為丄2y =Ge1x +C2“x兩個相等的實根扎2y =(G +C2x)ex一對共軛復根 人,2=。淨y =尹(G cos Rx + C2 sin Px)對于高階常系數(shù)齊次線性微分方程可以根據(jù)下表給出的特征方程的根寫出對應齊次線性微分方程的解如下:特征方程的根微分方程通解中的對應項單實根丸給出一項Ce一對單復根 婦2 =口 土淨給出兩項 eG cosPx+C2sin Ex)k重實根扎給出k給出k項：/Q+C2x+十Ckxk)項k重復根人,2泮給出 2k 項：+ C2x + +Ckxk)cos0x +(Di

6、+D2X+DkXk)sin Bx3.非齊次方程y ” py qy = f (x)其通解是y二yi y 其中yi是對應齊次方程的解，y是非齊次方程的解。f(X)心Pm(X)特解y*(x) = xkeQm(x) k是特征根的重復次數(shù),f(x)二eA|(x)cos x Bn(x)sin :x特解 y* 二 xkexPm(x)cos x Qm(x)sin :xk是特征根爲i :的重復次數(shù)。m =maxl, n4歐拉方程 xny(n) - aWyZ) any 二 f(x)令 x =et 或 t = l n x，貝Udy _dy dt _ 1 dy dy _ 1 id2y dy dx dt dx x dt

7、 dx2 x2 dt2 dtd3y dx3+ 2加 dt丿若引入微分算子符號D嗚，則上述結果可簡記為xy 二 Dy , x2y帑簽（D2D（D）y3- x ydt-3d2ydt22 矽=(D3 3D2 2D)y = D(D 1)(D 2)y dt般地 xky(k) = D(D _ 1)(D _ k l)y4.2解法選例4.2.1基本題目類例1 dxy |x=o2y cosx解首先觀察此類方程：一階，可分離變量卑cos羋cy (1 sin x)11 sin x-c，代入初值c = 0例 2 xy 2y = 3x解首先觀察此類方程：一階，線性非齊次方程2P(x) ,q(x) -3x例 3 矽珂 x

8、 y)2 令X y,蟲=1，則 dU=1 u2 dxdx dx dxarcta nu = x cx y = tan(x c)dxdyc2=2x y2x2x 二 y5y2e 卸dy ce2yy2V丿 2dy 2xy 例 5 dx x2 - y2y 1x4 i解觀察：一階，齊次方程令“興丸 悄 代入方程消去y得du 2uu x2dx 1 -u整理1 -u2u u3dudxx積分 1 u 2 duu(1 +u2)-dx l ncxu22u du =1Zdx In c1xInu1 u2In c1xu1 u2xyx2 y二 cx1 2 2 代入初值 y(1)=1c 整理x y - 2y。2yy=(y)2

9、例 6 y (0) =1y(0) =1解(1)令y = p(y) y = p p代入方程yp p = p2 yp“ = p或 p = 0 ( y = c舍不符合初值)積分In p = In cyP = cy(魚=Jdx+cyIn y = x + cy = sex代初值xy =eFF解（2）y=0 L = c代初值c = 1，f魚=Jdx + cIn y = x+ cyyy =sex代初值 y =ex例7填空a方程y ” y - -2x通解為(y - -2x c1 cosx c2 sin x )b方程y”-2y：2y=ex的通解為(y = ex (c1 cosx c2 sin x 1 )c方程y

10、 -4 y = e2x的通解為/-2x 丄2x 丄12x、(y = Gec2exe )4d方程y ” 2y y二e的通解為y =(十2c1x c2)e4.2.2綜合題目類f (x)2 x例8設f(x)于0, ：)上可導，f(0)=0，且其反函數(shù)為g(x)，若o g(t)dt = x2ex, 求 f (x)。解 對 x 求導 g( f (x) f (x) = 2xex x2ex，即 xf (x) = 2xex x2ex，故f (x) = 2exxexf (x) = (x1)ex-c1，即 f (x) = (x1)ex-1。例 9 f (x)于0, ：)上可導。f(0)=1 且滿足 f (xV f

11、 (x)(1)求 f (x)(2)證明當 X _0時 e f(x)豈1。解(x+1)f (x) +(x+1)f (x) f(t)dt =0求導 f (x) (x 1) f (x) f (x) (x 1) f (x) - f (x) = 0則(x 1) f (x) (x 2)f (x) =0(x 1)穿一(X 2)f(x)dfdx &In | f |= -x Tn | x 11 c1代初值f(0) =1 得 f (0H -1 G =0 f (x)二-x ex ef(x)_f(0)0十二0f (x)叮_Lx ex xxxx又 f (x) -1dt _ o e dx =e -1 故 f (x) _e

12、 即 e* 乞 f (x)乞 1 x例 10 x _ 0 f (x)有連續(xù)一階導數(shù)，且滿足 f (x) - -1 x 2 o(x - t) f (t)f (t)dt , 求 f (x)。x dg) 0訝(心解 f(x) = -1 xxx2x 0 f f dt - 2 0 tf f dtf (x) =2f(x)f (x)xf (x) =1 +2 f(t) f (t)dt +2xf(x)f (x) 2xf(x)(x)2f (x)二 f (x) C (注意到 f (0) - -1, f (0) = 1)代入初值 c = 0積分1帀” c，代初值得E，則f(x) =-1例11已知y1 =ex是方程xy

13、 ” -2(x1)/ (x 2)y二0的一個特解，求方程通解。解 設yuex也是方程的解，代入方程有x(u ex 2u exuex) -2(x1)(u exuex)(2 x)uex二 0dudu2dx ii2整理 xu - 2u 0x 2uIn u = In gxdxuxu = ex2u = 9 x3 C2 取 G = 3， C2 = 0，貝U u = x3。3故y二Gex - C2x3ex是方程通解例12求解歐拉方程(1) x3 y3x2y“-2xy 2y=0 ；(2) x2y“-4xy 6y = x。解 (1) 令 x貝y D(D - 1)(D - 2)y 3D(D - 1)y - 2Dy

14、 2y = 033(D -3D 2)y=0 y -3y 2y =0 特征方程為 -3，2=02( 一1) (2) =0=2 =13=2 則2t(D -5D 6)y =ey = ge et (c2qt) = qx x(c2c31n x)。(2)令 =et 則 D(D-1)y-4Dy 6 ety5y+6y=et特征方程：丸又 y 一 9 sin x -C2e-5&+6 = 0 =1不是特征根，故設特解y = Aet代入方程12Aet = et A2則方程通解2t | 3ty 二 q ec?elet二 qx2c2x3例 13 求解方程 (y ycosxy)dx (x xcosxy)dy 二 0解 此

15、方程是全微分方程。因為 = =1 cosxy-xysin xy&cyxy其原函數(shù)(勢函數(shù))u 0dx 亠 | (x xcosxydy =xy sin xy即方程為 xy - sin xy = c或解 y ycosxyu 二 xy sin xy (y).x x xcosxy (y) = x - xcosxy貝H ： (y)二 0, (y)二 c-y即 xy sin xy二c是方程的解。例14已知y1 =cosx, y2 =e是二階線性齊次方程的解，試建立此方程解力”2線性無關，則y = G cosx c2e_x是方程的通解(1)(2)(3)y = -c1 cosx c2e_聯(lián)立(1) (3)求C

16、i,C2，代入(2)整理得(cosx -sin x)y2cosx y (sin x cosx) y 二 0例 15 設 yi 二 e，丫2 = 2x 是 y ： ay by cy = 0 的兩個解，求 a, b, c值。解y二e是解，則i二-1是特征根，y =2x是解，則=0是特征根，且是二重 根。特征方程為(丸+1)幾2=0 即A3 +丸2 = 0 ,比較原特征方程 芒+ ah2 + b扎+ c = 0 得 a = 1, b = 0, c = 0。也可以將e代入方程得-1 a -b c = 0 ；將y二2x代入方程得2b - 2cx = 0，從 而 b=0, c=0，a=1。x2 x例16已

17、知 p(x) y q(x)y = f (x)的三個特解為 y x, y e , ye 試 求 y(0) =1,y (0) =3 特解。解 非齊次方程的任兩個特解之差是齊次方程特解，x2 xx2 x故e x,e X是齊次方程的解，且線性無關，故y = & (e -x) c2(e -x) x是非齊次方程通解。1 =c1 + c2代入初值 *3 = (6 1)+c2(2e 1)+1占，則 C2=2, = 13 =c1從而特解為y = 2e - ex4.3微分方程應用問題解題總的步驟a.幾何問題(1)分析題意建立方程b.物理問題c.微元分析法 a “翻譯”數(shù)學語言(2) 依題意寫出初始條件(3) 識別

18、方程類型解方程4.3.1幾何問題例1設曲線I過(1,1)點，曲線上任一點 p(x, y)處的切線交x軸于T點，若|TP|=|OT| (O是原點)，求I的方程。解1.列方程 切線方程為Y-y二y(Xx) 令y=0的x = x- (= OT)|PT| (x x +希2 + y2，由 |TP |=|OT | J(*)2 + 2xy整理得y丄22x -y2xy2 結合初值條件得初值問題八 x2y2.y |xm=13方程是齊次方程dydu二 u, y = ux u xdxdx代入方程消去yduu x一dx2u1 -u2整理1 -u2u u3dudx1 -u2積分I2、u(1 +u2)1du dx In

19、Gxu22u du 二1dx - In c1xIn = I n Gx1 u2xy22二cx代入初值x yy(i)2 2整理x y=2y。例2設函數(shù)y二y(x) (x 一0)二階可導，且 y(x廠0 , y(0) =1。過曲線上任一點P(x, y)作切線及x軸的垂線，上述兩條直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間0,x上以y =y(x)為曲邊的曲邊梯形的面積記為S2，且2S S 1，求曲線y= y(x)。解y二y(x)在點P(x, y)處的切線方程為Y-y = y(X -x)(y 、1于是x -又S22_ y_2y它與 x 軸的交點為 x上,0 ，由 y(0) =1, y(x) =0 知，

20、y(x) a y(0) = 1 a 0(x a 0) I y丿x二 0 y(t)dt ，2由 2$ -S2 =1 得-0y(t)dt =1y由此知y (0) =1，上式兩端對x求導并化簡得 對 二y 2令 / = p,/ = pdp，則方程變形為 pydp = p2dydy由y 0，即p 0，故有蟲=魚p y解得p = &y代入初始條件y = 1, p = 1得& = 1,即卩= ydx于是xy =C2e代入初始條件y(0)=1，得c2 =1故所求曲線為y=ex。例3位于坐標原點的我艦向位于點A(1,0)處的敵艦發(fā)射制導魚雷，設魚雷永遠對準敵解如圖，設t時刻魚雷行至P(x, y)點，敵艦至艦，

21、已知敵艦航速為 v。在直線x =1上行駛，魚雷速度為 航跡曲線。又敵艦行駛多遠時被魚雷擊中？rx|OP| = 5| AT|。cx|OP|0ds=. y 2dx。以下求|AT|。過點P的切線方程為Y - y = y (X -x),令 X =1 , Y = y y (1 - x) (= AT)故得方程：J+y2dx=5y+y1_x)j1 + y，=5y(1X)求導整理得*y(0)=0y(0) =0解方程：Jdy 2 =(竺-1nG 51 n( y*1 + y2) = _ln(1 x) Inc ：1+y2 J-x1y ,1 y 2 =C(1 -x)* 將 y (0) =0代入 c =1(y*Jl +

22、 V2)(J1 +y2 y)=1 1Jy2 -y:=(1 -x)51(即 y-(1-x) 5 =-x；1 + y21 2平方： y 2 2(1 x)y (1 x)話=1 y 2)1146 - 5X-o5 - 6+42y =(1 _x) 5 _(1 _x)5 2y (1 _x)54代入初值5y(0)=0c-12故y詩(1-汐-8(1-沖舟12824當 x =1,廠24擊中。線段長=線段長小結：用幾何關系建立方程面積=面積曲線長=線段長4.3.2物理問題例4物理問題從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度y (從海平面算起)與下沉速度V之間的函數(shù)關系，設儀器在重力作用下， 從

23、海平面由靜止開始鉛直下沉， 在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設儀器的質量為m,體積為B，海水比重為?，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k(k 0)，試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關系式y(tǒng) =y(v)。解 取沉放點為原點 O,Oy軸正向鉛直向下，則由牛頓第二定律得d 2ym 2 = mg - B - kvdt2依題意,d2ydt2dv dv dy(dt dy dt=)v色，代入上式消去t，得dydvmv mg - B kv dy分離變量得mvdvdy =mg - B P - kv積分后得ymv-m(mg；BJn(mg_B kv) c k由初始條件v|y=0k2二 0 定出

24、 c = m(mg； B ) “(mg _ b；?)k2故所求函數(shù)關系式為 ym( mg - B P) ln mg - B P - kv mg - BPk24.3.3微元分析法例5設一半徑為6cm,高為25cm的圓柱體容器充滿水，其底部有0.2 (cm 2 )的小孔，那么水就以v = 0.6 2ghcm/s的速度從小孔流出。(h為自由水面到柱底的高度)2g = 980cm/ s ,求水流規(guī)律(h (t)=?)解設t時刻,自由水面高度為h(t)，再經dt時段水位下降位 dh則 dh iR2 =v sdt 則型dts 0.6.2gh ：R2記齊K 2gh解得h(0) = 25t =篤10 二(5

25、_h)，令 h = 0 t= 213 秒例6設一車間容積為 10000M 3?？諝庵泻?0.12%CO2 (以容積記計算)?，F(xiàn)將含有 0.04%C02的新鮮空氣以1000 M 3 / mm的速度輸入車間，同時以 1000M 3/mm的流量抽 出混合氣體。問10分鐘后，車間內 CO2的濃度降到多少？解：設t時刻，車間內含CO2 x m 3，經dt時段CO2改變量為dx,則dx =輸入CO2 33X輸出 CO2 = 103 dt 0.04% 103dt4104空+=么丄X(10) ： 6.96(M3)整理得dt 1010解得 X =8e 10 +4x |x=104 0.12% = 12此時濃度為

26、0.0696%100004.3.4 “翻譯”！例7 半球形雪堆其溶化速度與半球表面積成正比，比例系數(shù)K 0，假設溶化過程中，1雪堆始終保持半球體狀。已知半徑r0的雪堆開始溶化 3小時，其體積是原來的 -，問全部8溶化需多少時間？解t時段V中3(t)色二-KS 二-rd 二-2K二r2二dt3 dtdt訂(0) = ro11 rr0t r0令 r =0= t =6 (全部溶化)。6例8人口問題、細菌繁殖、種群繁殖、新產品推廣某種群增長速度除與該種群個體數(shù)量x(t)成正比，還由于受環(huán)境制約而與(1 -x(t)成正比，試求該種群 x =x(t)函數(shù)關系。kx(1 - ： x)dtdxx(1 _ ：

27、x)x積分得Inkt C1 ax-kt二 1 ce若給定x(0) 初值，則可定ci-：，從而產1令t-； ；：x(t)，是該環(huán)境對此種群的容納量。a注：(1)原始：dxxkx(A - x)二 kAx(1)，A 為總容量。dtA(2)本模型適應，種群繁殖、疾病傳染、信息傳播、新技術、新產品推廣等等。第四章復習1若方程中出現(xiàn)f (xy), f (x 土 y), f(x2y2), f i等形式的項時，通常要做相應的 丿變換 u = xy, x _ y, x2 _ y2,丄,。xx2 y222x y例1求解微分方程2yy = e x2xxu22.U解 令 x y =u ，則 2x 2yy = u ，原

28、方程= 2x ex 2x = U ，即xuu一uuex ，再令 v ，而 u=xv ， u =v xv ，代入上式，有xx1v xv = v ev = edxdx，從而-e = |n x C= -e x = In x Cx習題課1. 試求以y2二Cix - C2為通解的微分方程在y2 =C!x C2兩邊對x求導，得2yy,再求導，得2y/ 2(y )2 =0或2ysc os二 e 4 c oxee J C= Ceox 4c o s4又 y(0) =1，得 C = e，從而 y = e1 _cosx 4 cosx 45.設曲線L上任一點P(x, y)滿足OP0R(如圖)，其中PR為L在點P處的切

29、線,又知L過點(1, 2),求曲線L的方程。解一般用微分方程解決應用問題分三個主要步驟。(1 )建立方程根據(jù)題意，過P(x,y)的切線方程為Y - y =y (X - x)，故點R的坐標為(0, y -xy )，由此得直r線RQ得斜率為kRQ =匯二y ,直線OP的斜率kp = -丫 ,由于OP _ OR ,所以xxkop kRQ = _1，即 Xyy - _1,得 xyy - y2 x2 = 0。x x(2)確定初值問題因曲線L過點(1, 2),得初值問題為xyy，_ y2 + x2 = 0、為lx丄=2(3)解方程 根據(jù)初值條件，可以限定在 x 0,y 0的范圍內求解。y x方程課變型為齊次方程y，令y二xu，有y = xU u，代入上式，得x yxl,udu 一電。方程得 u2 - -2ln x C。將 y 二 xu 代回，得