微分形式及其應(yīng)用

1、微分形式及其應(yīng)用1引子兩個(gè)函數(shù)，如何檢驗(yàn)它們是否互為函數(shù)呢?比如f =x2 y， g =x4 2x2y y2 60，它們之間就有關(guān)系 g二f2 60,這很明顯。但是對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)就未必一眼看得出。 另一個(gè)老實(shí)的辦法是，計(jì)算它們的雅克比行列式c(x, y)f / &yeg/ OxSg/dy2x14x2 +4xy2x2 +2y因此它們相關(guān)，互為函數(shù)關(guān)系。對(duì)于多元的就要麻煩些，要計(jì)算多個(gè)雅克比。比如f(x,y,z),g(x,y,z)，要想判定他們是否互為函數(shù)，就要判定 g_，- 9-)，- -都為0才對(duì)。x,y : y,z乙x有沒有更好的表達(dá)方式呢？有利用外微分(過(guò)一會(huì)再解釋)2422df dg =

2、d(x y) d(x 2x y y 60)2 422422=dx d(x 2x y y 60) dy d(x 2x y y 60)=dx2 d(2x2y y2) dy d(x4 2x2y)222422=2xdx (2dx y 2x dy dy ) dy (dx 2dx y 2x dy)23=2xdx (2x dy 2ydy) dy (4x dx 4xydx)3 3=4x dxdy4xydxdy 4x dydx 4xydydx33=4x dxdy4xydxdy -4x dxdy -4xydxdy-0好奇怪的運(yùn)算規(guī)則：任何兩個(gè)函數(shù)微分的外積，互換次序得負(fù)；任何相同表達(dá)式微分的外積為 0。da db

3、 = -db da， da da = 0這讓我們想起了面積的定義。對(duì)了！外積的意義就是面積。我們重新理解一下(見圖)如果將(f,g)作為兩個(gè)變量，則組成空間。(f,g)作為(x, y)的函數(shù)，當(dāng)(x, y)改變時(shí)，(f ,g)也隨之改變。當(dāng)函數(shù) f, g互不關(guān)聯(lián)(不互為函數(shù)時(shí))，由于各自獨(dú)立改變，當(dāng) (x,y)遍歷一個(gè)非常小的方形區(qū)域(dx dy)時(shí)，(f,g)也形成一個(gè)小面積。 但是當(dāng)函數(shù)f ,g互為df dg關(guān)聯(lián)(互為函數(shù)時(shí))，由于各自改變不獨(dú)立，當(dāng)(x,y)遍歷一個(gè)非常小的方形區(qū)域 (dx dy)時(shí)，(f,g)僅在一個(gè)小線段上(或者在一個(gè)點(diǎn)，總之在低維的空間上)運(yùn)動(dòng)。由于yhdx a d

4、y4g八1x就代表面積元，因此為0.df dg = 0可見，在高維空間中，微分形式非常有用啊!2微分形式我們看在二維空間上的一個(gè)線積分(2xdy 3dx)ll是 :R R2,t (cos(t),sin(t)t (0,二)定義的一段曲線(在這里是半圓弧線)。可以很容易積分出來(lái)t -:(2cos(t)ds in (t) 3dcos(t)t =0t=(2cos2(t) -3sin(t)dt-: -6如果換一條曲線，會(huì)得到另一個(gè)值。比如，如果I是.:R R2,t (t,t2),t(-1,1)定義的段拋物線，可得積分t =12(2tdt 3dt)如果不定義曲線I，這個(gè)積分則不能得到具體的數(shù)值。 因此，可

5、以認(rèn)為這個(gè)積分(2xdy 3dx)是曲線I的函數(shù)，也就是說(shuō)，給定一條曲線，它就能給出一個(gè)值。我們稱它為積分形式。(只有形式，等待內(nèi)容曲線) 如果去掉積分號(hào)2xdy 3dx我們則稱其為微分形式(只有形式，等待內(nèi)容一一曲線或1維的映射)。給定一個(gè)映射，如2 :R R ,t (cos(t),sin(t)，我們就能計(jì)算這個(gè)微分*(2xdy 3dx) =2cos(t)dsin(t) 3d cos(t)二-(2cos(t)3sin(t)dt我們稱映射將二維空間上的微分形式2xdy 3dx，拉回到1維空間上-(2cos(t)2 3si n(t)dt。微分形式是與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的。也就是說(shuō)，一個(gè)積分形式，不論如何改

6、變坐標(biāo)系，只要定義的曲 線不變，其積分值是不變的。同樣，一個(gè)微分形式，不論如何改變坐標(biāo)系，只要定義的曲線 不變，其微分是不變的。這個(gè)性質(zhì)，滿足了物理學(xué)描述客觀性的愿望，因此物理規(guī)律(物理 方程)用微分形式表達(dá)非常簡(jiǎn)單漂亮。3微分形式的外積我們看面積分(3x 4y)dxdy，給定一個(gè)面，就可以計(jì)算這個(gè)積分。但是這個(gè)表達(dá)式有一個(gè)缺憾，就是對(duì)于復(fù)雜表達(dá)，如(3x 4y)d(x 2y)dy定義模糊。我們看變換變量工M N,(u,v) (x=u v, y =uv)時(shí)，這個(gè)表達(dá)式變?yōu)閕i(3(u v) 4uv)d (u v)d(uv) =(3(u v) 4uv)蟲 V, UV) dudv，(u,v)其中

7、衛(wèi)一v, uv)是變換的 Jacobi行列式。(u,v)因此我們將其表達(dá)為I I (3x 4y)dx dy，y規(guī)定對(duì)于任何表達(dá)式 f, g，都要滿足df dg二-dg df , df df = 0則變量改變就可以名正言順地寫為!(3(u v) 4uv)d(u v) d(uv)X=(3(uv)4uv)(dudv)(duv udv)y=(3(uv)4uv)(duduvdu udv dvduv dv udv)y二(3(u v) 4uv)(du udv-vdu dv)1：二(3(u v) 4uv)?(u v，uv)du dv工(u,v)剛好滿足變量變換的關(guān)系。這樣我們類推地定義外積：1-微分形我們知道

8、一個(gè)微分形式（1-形式）：=.：叩2描述了一個(gè)線形式。可以推理，兩個(gè) 式- idf，二-dxi可以構(gòu)造出面形式（2-微分形式）。1二 二=idx dxJ（耳 一 FJdx dxJ如果兩個(gè)1-微分形式外積為0三0這兩個(gè)微分形式相關(guān)，即存在某個(gè)函數(shù)f使得-f寸4外微分給定一個(gè)1-微分形式能否得到一個(gè) 2-微分形式？可以通過(guò)外微分。我們定義一個(gè)微分形式 的外微分d ,與這個(gè)微分形式的閉合回路積分有關(guān)。對(duì)于無(wú)窮小面元匕，有其邊界組成的閉合回路nd 八：y送具體地d =d( idx)=d i dx =xJ idxJ dx5微分形式的應(yīng)用1. 函數(shù)是常函數(shù)df =02. 函數(shù)極值點(diǎn)df -0表明自變量改變

9、時(shí)，函數(shù)值不變。比如 f =x2 x 30，df =（2x 1）dx=0，得到 x = -1/2。如果將函數(shù)看成映射，在這一點(diǎn)的映射出現(xiàn)奇異，即這一點(diǎn)附近無(wú)窮小的鄰域映射為 點(diǎn)。3. 兩個(gè)函數(shù)相關(guān)（這在引子中給出了）df dg =0如果將函數(shù)看成映射， 將自變量整個(gè)空間映射成一條線或點(diǎn)（低于2維的空間）。g3個(gè)函數(shù)相關(guān)df dg dh 三 0其他以此類推。4. 條件極值 即在g =0情況下計(jì)算f的極值。通常用 Lagrange乘子法，這里可以用微分形式表達(dá)式。df dg =0在極值點(diǎn)附近區(qū)域映射為線。g比如在約束g =x y 一3 =0，情況下計(jì)算f =X2 y2的極值點(diǎn)。因?yàn)閐f dg =(

10、2xdx 2ydy) (dx dy) =2(x-y)dx dy所以2(x - y) =0x y -3 = 0x = 3/2得到丿，與Lagrange乘子法計(jì)算的一致，但是方程簡(jiǎn)單。7=3/2多個(gè)約束以此類推，如兩個(gè)約束極值問(wèn)題，在g = 0,h = 0情況下計(jì)算f的極值,就可以按照下面方程給。g =0h =0df dg dh =05. 計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題在熱力學(xué)中經(jīng)常需要計(jì)算各種偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。采用微分形式可以方便地計(jì)算。熱力學(xué)中只有兩個(gè)自由參數(shù)。利用dE二TdS - PdV等關(guān)系定義變量間關(guān)系。 將其外微分，得到dT dS二dP dV那么熱力學(xué)可以方便地給出熱力學(xué)公式，比如dT dS二dP dV，兩邊除以dT dV可以得到dT dS _ dP dVdT dV 一 dT dV可以得到對(duì)任意一個(gè)等式，都可以改