函數(shù)恒成立問題(端點效應(yīng))

1、 函數(shù)恒成立專題01：可求最值型( )基礎(chǔ)知識：（1）不等式 ( ) 0 在定義域內(nèi)恒成立，等價于 f xf x 0 ； 0 。min( )（2）不等式 ( ) 0 在定義域內(nèi)恒成立，等價于 f xf xmax【例 1】【重慶文】若對任意的 0， f (x) = 12x ln x - 3x - c -2c 恒成立，求 的取值范xc442圍?！纠?2】函數(shù) ( ) = ( +1) ln( +1) - +1在區(qū)間(-1,+) 上恒有 ( ) 0 ，求 可以取到的最f xxxkxf xk大整數(shù)?！咀兪?1】函數(shù) f (x) = -2x + 4x, g(x) = aln x(a 0) ，若 ( ) 4

2、 - ( ) 恒成立，求 的取值范f xx g xa2圍。( )【變式 2】【2012 新課標文】設(shè)函數(shù) f x = e - ax - 2x 求 ( ) 的單調(diào)區(qū)間；f x 若 =1， 為整數(shù)，且當 0時，( - ) ( ) + +1 0 ，求 的最大值。x k f x xakxk1f x f x f ex-1 f x【變式 3】【2012 新課標理】已知函數(shù) ( ) 滿足 ( ) = (1) - (0) +x22 求 ( ) 的解析式及單調(diào)區(qū)間；f x1 若 ( ) f xax b+ + ，求( +1) 的值。x2ab2 專題02：分離變量型基礎(chǔ)知識：分離變量的核心思想就是為了簡化解題，希望

3、同學(xué)通過以下例子有所感悟【例 1】【2010 天津】函數(shù) f (x) = x -1，對任意23xf x f mx ,+ , f ( ) - 4m2f (x) ( -1) + 4 ( ) 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍。m2m【變式 1】【2010 安徽】若不等式(a - a )(x +1) + x 0 對一切 恒成立，求 的取值范ax(0,222圍。11【例 2】若函數(shù) ( ) = 2 + + 在 ,+ 上單調(diào)遞增，求 的取值范圍。f x x axa2x 1【變式 2】【2012 湖北】若 ( ) = - 2 + ln( + 2) 在(-1,+) 上是減函數(shù)，求 的取值范圍。f x x b xb2

4、1【變式 3】【2014 江西】已知函數(shù) ( ) = ( 2 + + ) 1- 2 ( ) ，若 ( ) 在區(qū)間(0, ) 上單f x x bx b x b r f x3調(diào)遞增，求 的取值范圍。b 專題03：端點與一次函數(shù)、二次函數(shù)基礎(chǔ)知識：（1）研究發(fā)現(xiàn)，恒成立與區(qū)間的端點有很深的淵源。首先來看一些恒成立的問題，通過這些常見的例子，我們要把函數(shù)恒成立問題與端點之間的這一層面紗一點一點揭開。（2）一次函數(shù)的恒成立很簡單，如果一個問題能轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)恒成立問題，那就要盡量轉(zhuǎn)化?！纠?1】【2009 北京】若 f (x) = xe (k 0) 在(-1,1)上單調(diào)遞增，求 的取值范圍。kx引申：我

5、們的習(xí)慣思維都是默認字母 為函數(shù)的自變量，而像 , , 這樣的字母代表參數(shù)，a m tx但其實 , , , 這樣的字母只是一個代號而已，是人為賦予了其身份，這意味著自x a m t變量和參數(shù)的身份并非絕對，若題目需要求解參數(shù)的取值范圍，在此需要牢記一點：將待求的變量視為參數(shù)，不要受慣性思維的限制而非要將 視為函數(shù)的自變x量，這個方法稱為“變換主元法”。【例 2】【2009 福建】已知函數(shù) f (x) = x + 3ax -1的導(dǎo)函數(shù)為 ( ), ( ) = ( ) - - 3.若對f x g x f x ax3滿足 -1 1的一切 的值，都有 ( ) x - x - a +1對任意 0,+ 恒

6、成立，求實數(shù) 的取值范圍。ax2 （3）對于一次函數(shù)或任何單調(diào)函數(shù)而言，最值必在端點處取得。若函數(shù)不單調(diào)， a，b那情形又如何呢？設(shè) f (x) = ax + bx + c(a 0) 在上不單調(diào)且恒大于零，那么2 b上遞減，在 -b(x) 在 ，-, 上遞增，故 ( ) 的最大值也必然在端點處f xfa2a2a取得。所以對于任何一個函數(shù) ( ) 而言，若他在區(qū)間上是先減后增，則其最大值f x必在端點處取得，同理，若函數(shù)在區(qū)間上先增后減，其最小值必在區(qū)間端點處取得，具體表達如下：( ) f x 0, f (x) = ax + bx + c(a 0) 在 , 上非正，等價于x x (1) 0;21

7、2f x2( ) f x 0, f (x) = ax + bx + c(a 0時，若函數(shù) ( ) 在區(qū)間 -1,2 上是單調(diào)af x32函數(shù)，求 的取值范圍.a 【例 2】【2008 江蘇】設(shè)函數(shù) f (x) = ax - 3x +1，若對于 -1,1 總有 ( ) 0恒成立，則f xxa3=_.說明：在例 1 和例 2 中，都是事先考慮函數(shù)在端點的情形，雖然通過端點不能得到最終結(jié)果，但例 1 通過端點可以不必考慮單增情形，例 2 通過端點可以縮小 的范圍，a我們把這種通過端點來縮小參數(shù)取值范圍的方法稱為“端點效應(yīng)”。函數(shù)在端點處的取值有以下三種情形：(a) 0, f （1） ( ) 在區(qū)間

8、, 的端點 和 處均有定義且f xa babf (b) 0;( )( )( )（2） ( ) 在區(qū)間 , 的端點 或 處無定義或區(qū)間是無限區(qū)間 ,+ , - , ；f xa ba bab( )（3） ( ) 在區(qū)間 , 的端點 或 處有 ( ) = 0 或 ( ) = 0。f xa ba bf af b一、端點處的取值有意義且不為 0【例 1】【2008 天津】設(shè) ( ) 是定義在 上的奇函數(shù)，且當 時， f x = x ，若對任意的( )f xrx02 x t,t + 2，不等式 ( + ) 2 ( )恒成立，則t 的取值范圍是（ ）f x t f x)a.2,+ )b. 2,+( c. 0

9、,2 )d.2, 12,+- 【例 2】若 f (x) = ax - (3- a)x + 2 - a 0在 0,1 上恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是_a2 )【變式 1】【2013 全國卷】已知函數(shù) f (x) = x + 3ax + 3x +1 ，當 2,+ 時， ( ) 0，求xf xa32的取值范圍。 【變式 2】【2012 江西】已知函數(shù) f (x) = ax - (a +1)x +1 e 在 0,1 上單調(diào)遞減，求 的取值范a2x圍。321 1【變式 3】【2010 天津】已知函數(shù) ( ) =f x ax-f x+1, 0 ，若在區(qū)間 - , 上 ( ) 0 恒3x2a2 2成立，求

10、的取值范圍。a二、端點處的取值沒有意義且趨于無窮( )f (x) = ln x的定義域是 0,+ ，且當 趨于 0 時， ( ) = ln 趨于負無窮，當 趨于 + 時，f xxxxf (x) = ln x趨于正無窮，為了后面方便表述，記 (0) = -, (+) = + 。然后不管函數(shù) ( ) 在f xff區(qū)間的端點 處有沒有意義，也不管 是否為無窮，我們均記 ( ) 為當 趨于 時 ( ) 的值。aaf axa f x這樣的記法為了后面的敘述。1【例 1】【2012 新課標】當0 時， 4 0) ，若 ( ) 0對定義域內(nèi)任意 恒成立，求實數(shù)a x x f x xx22的取值范圍。a1)【

11、例 3】【2012 天津】函數(shù) ( ) = - , 1,+ , ( ) + ( ) 0恒成立，則實數(shù) 的取f x xxf mx mf xmx值范圍是_.【例 4】【2013 新課標】設(shè)函數(shù) f (x) = x + 4x + 2, g(x) = 2e (x +1) ，若 - 時， ( ) ( ) ，2xf x kg x2x求 的取值范圍。k 【例 5】【2009 江西】已知函數(shù) f (x) = 2mx - 2(4 - m)x +1, g(x) = mx ，若對于任一實數(shù) ，x2f (x) 與 g(x) 的值至少有一個為正，則 的取值范圍是_.m【變式 1】不等式log ( - 2 + 3) -1

12、( 2) 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）x2xxaa11( )c. 1,3) a. 0,b. ,1d. 3,+33 ( )1x【變式 2】【2011 北京】設(shè)函數(shù) ( ) = ( - ) ，若對于任意的 0,+ ，都有 ( ) ，f x x k2exf xke求實數(shù) 的取值范圍。k【變式 3】【2014 江蘇】已知函數(shù) f (x) = e + e ，其中 是自然對數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于 的不等exx-x( )式 mf (x) e + m -1在 0,+ 上恒成立，求實數(shù) 的取值范圍。m-x【變式 4】【2012 北京文】已知 f (x) = m(x - 2m)(x + m + 3), g(x)

13、= 2 - 2 ，若 , ( ) 0 或x r f xxg(x) 0，則 的取值范圍是_.m【變式 5】【2012 北京理】已知 f (x) = m(x - 2m)(x + m + 3), g(x) = 2 - 2 ，若同時滿足（1）x( )x r, f (x) 0或 g(x) 0；（2）$ - ,-4 , f (x)g(x) 0時均有 (a -1)x -1 (x - ax -1) 0 ，則 =_.a rxa13【例 3】【2009 天津】已知 ( ) = -f xx m+ + ( -1) , 0, ( ) = 0 有三個不同的實根，分x3x2m2f x 別為0, , ( (1) 恒成立，求

14、的取值范圍。x x x x x x x f x fm121212【變式 1】【2008 全國卷】設(shè)函數(shù) f (x) = ax - 3x ，若 ( ) = ( ) + ( )(0 2) 在 = 0處g xf x f xxx32取得最大值，求 的取值范圍。a【變式 2】【2011 湖北】已知 - 3 + 2 =x mx有三個不同的實根，分別為0, , ( ) ，x x x xx3x21212 且對任意的 , ， x - 3x + 2x ln 2 。aaa2 3n4nn2nnn 【例 6】【2014 全國理】已知函數(shù).f (x) = e - e - 2xx-x 討論的單調(diào)性；f (x) 設(shè)，當 0時，求 的最大值；g(x) 0bg(x) = f (2x) -4bf (x)x 已知1.4142 2 1