測(cè)量結(jié)果及其不確定度的有效位數(shù)

1、測(cè)量結(jié)果及其不確定度的有效位數(shù) 張春濱 航天科技集團(tuán)公司第一計(jì)量測(cè)試研究所，北京，100076) 摘要 校準(zhǔn)證書及檢測(cè)報(bào)告上的校準(zhǔn)結(jié)果或檢測(cè)結(jié)果均給出了測(cè)量結(jié)果的不確定度，并 通過大量的實(shí)例，介紹了測(cè)量結(jié)果及其不確定度的有效位數(shù)，對(duì)不同情況下，與此相關(guān)的一 些問題進(jìn)行了討論。 關(guān)鍵詞 測(cè)量誤差，有效數(shù)字， 修約。 The Significant Figure of the Measurement Result and Its Uncertainty Zhang Chunbin (The First Research Institute for Measurement and Test of C

2、ASA,Beijing,100076) Abstract The uncertainty of the result of a calibration or a testing is given in the certificate of calibration and calibration result or test result in the testing report. With many examples, this paper introduces the significant figures in the result of a measurement and its un

3、certainty. Some problems correlated with the significant figure are also discussed in different conditions. Key Words Measurement error, Significant figure, Round off. 1 引言 校準(zhǔn)證書及檢測(cè)報(bào)告上的校準(zhǔn)結(jié)果或檢測(cè)結(jié)果均給出了測(cè)量結(jié)果的不確定度，測(cè)量結(jié)果 的報(bào)告應(yīng)盡量詳細(xì)，以便使用者可以正確地利用測(cè)量結(jié)果。完整的測(cè)量結(jié)果至少含有兩個(gè)基 本量：一是被測(cè)量的最佳估計(jì)值，在很多情況下，測(cè)量結(jié)果是在重復(fù)觀測(cè)的條件下確定的。 二是描述該測(cè)

4、量結(jié)果分散性的量，即測(cè)量結(jié)果不確定度。報(bào)告測(cè)量結(jié)果的不確定度有合成標(biāo) 準(zhǔn)不確定度和擴(kuò)展不確定度兩種方式。在報(bào)告與表示測(cè)量結(jié)果及其不確定度時(shí)，對(duì)兩者數(shù)值 的位數(shù)，技術(shù)規(guī)范 JJF1059-1999 測(cè)量不確定度評(píng)定與表示做出了相應(yīng)的規(guī)定。 2 測(cè)量結(jié)果不確定度的有效位數(shù) 2.1 技術(shù)規(guī)范的規(guī)定 根據(jù)技術(shù)規(guī)范 JJF1059-1999 測(cè)量不確定度評(píng)定與表示的規(guī)定，估計(jì)值 y 的數(shù)值和它 的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uc(y) 或擴(kuò)展不確定度 U 的數(shù)值都不應(yīng)該給出過多的位數(shù)。 通常 uc(y) 和 U 以 及輸入估計(jì)值 xi 的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 u(x i) 最多為兩位有效數(shù)字。雖然在計(jì)算測(cè)量結(jié)果不確定度 的過

5、程中，中間結(jié)果的有效位數(shù)可保留多位，即在報(bào)告最終測(cè)量結(jié)果時(shí)，uc(y) 和 U取一位或 兩位均可，兩位以上是不允許的。 2.2 測(cè)量結(jié)果不確定度的修約 測(cè)量結(jié)果不確定度應(yīng)按國家標(biāo)準(zhǔn)GB3101-1993有關(guān)量、單位和符號(hào)的一般原則的規(guī) 定進(jìn)行修約，使測(cè)量結(jié)果不確定度有效數(shù)字的位數(shù)為一位或兩位。 例如：一頻率測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 u (x i)= 28.05 kHz ，要求保留兩位有效數(shù)字， 經(jīng)修約后為 28 kHz 。 測(cè)量結(jié)果的不確定度不允許進(jìn)行連續(xù)修約。即測(cè)量結(jié)果的不確定度應(yīng)經(jīng)一次修約后得到，而 不應(yīng)該經(jīng)多次修約后得到。 例如： U = 0.145 5 ，要求保留一位有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)為：

6、 U = 0.145 5 = 0.1 ，而不應(yīng)為： U = 0.145 5 = 0.146 = 0.15 = 0.2 ?？梢姡诒纠?，由于連續(xù)修約造成最終結(jié)果的誤 差為 100%，這是不允許的。 2.3 測(cè)量結(jié)果不確定度有效位數(shù)的合理選擇 技術(shù)規(guī)范中規(guī)定，在通常情況下， uc(y) 和 U 最多為兩位有效數(shù)字。但保留一位有效數(shù)字 時(shí)，可能導(dǎo)致很大修約誤差，特別是當(dāng)?shù)?1 位有效數(shù)字較小時(shí)。 例如：經(jīng)計(jì)算一溫度測(cè)量結(jié)果的不確定度為 0.149 ，將其修約到一位有效數(shù)字時(shí)，測(cè)量 結(jié)果不確定度為 0.1 ，由修約引起的誤差為 -0.04 9，是測(cè)量結(jié)果不確定度的 49%，對(duì)評(píng)定 測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量影響

7、很大。 這可能導(dǎo)致在某一條件下對(duì)某量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，本不滿足測(cè)量技術(shù)要求的測(cè)量儀表，因測(cè) 量結(jié)果不確定度的修約誤差，造成計(jì)算出的測(cè)量結(jié)果不確定度達(dá)到預(yù)定技術(shù)要求的假象，對(duì) 該測(cè)量工程將產(chǎn)生很大的損失。 也可能導(dǎo)致在某一條件下對(duì)某量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，本應(yīng)滿足測(cè)量技術(shù)要求的測(cè)量儀表，因測(cè) 量結(jié)果不確定度的修約誤差，使計(jì)算出的測(cè)量結(jié)果不確定度達(dá)不到預(yù)定的技術(shù)要求，需要選 擇更高準(zhǔn)確度等級(jí)的測(cè)量儀表，加大了測(cè)量設(shè)備成本的投入。 若將測(cè)量結(jié)果的不確定度修約到兩位有效數(shù)字，測(cè)量結(jié)果的不確定度為 0.15 ，由修約引起 的誤差為 0.001 ，是測(cè)量結(jié)果不確定度的 1%，對(duì)評(píng)定測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的影響可以忽略不計(jì)。 當(dāng)修約

8、前測(cè)量結(jié)果不確定度的第 1 位數(shù)字增大時(shí)，由修約引起的誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定 度的影響將減小。 例如：用一測(cè)溫儀表測(cè)量某一物體的溫度， 計(jì)算出其測(cè)量結(jié)果的不確定度為 0.249 ，將 其修約到一位有效數(shù)字時(shí)，測(cè)量結(jié)果的不確定度為 0.2 ，由修約引起的誤差為 -0.049 ，是 測(cè)量結(jié)果不確定度的 24%。若測(cè)量結(jié)果的不確定度為 0.349 ，將其修約到一位有效數(shù)字時(shí)， 測(cè)量結(jié)果的不確定度為 0.3 ，由修約引起的誤差為 -0.049 ，僅是測(cè)量結(jié)果不確定度的 16%， 即小于測(cè)量結(jié)果不確定度的 1/5 ，從誤差理論上講可忽略不計(jì)。 因此， 當(dāng)修約前第 1 位有效數(shù)字為 1 或 2 時(shí)，測(cè)量結(jié)果

9、的不確定度應(yīng)取兩位有效數(shù)字。 3 或以上時(shí)，可用一位或兩位有效數(shù)字。 以上所討論的是測(cè)量結(jié)果的不確定度可準(zhǔn)確評(píng)定時(shí)的情況，即只考慮由修約引起的誤差 對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定度的影響。在現(xiàn)有的技術(shù)條件下，測(cè)量結(jié)果的不確定度難以準(zhǔn)確地進(jìn)行評(píng) 定時(shí)，雖然其第 1 位有效數(shù)字可能較小，但是測(cè)量結(jié)果的不確定度取一位有效數(shù)字仍然是合 理的。 2.4 中間結(jié)果的有效位數(shù) 在計(jì)算測(cè)量結(jié)果不確定度的過程中，中間結(jié)果的有效位數(shù)可保留多位。例如：一測(cè)溫儀 表檢定結(jié)果的不確定度是由兩部分組成的：一是標(biāo)準(zhǔn)器引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u1；二是測(cè) 溫儀表重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u2。要求最終檢定結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度取一位有 效

10、數(shù)字。假設(shè)經(jīng)計(jì)算： u1 = 0.149 u 2 = 0.249 方法 1：各分量互不相關(guān)， u1， u 2不修約，采用方和根法直接計(jì)算檢定結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn) 不確定度。 方法 2：若將 u1， u 2 修約到一位有效數(shù)字時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 u1 = 0.1 u 2 = 0.2 檢定結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 由修約引起的誤差為 -0.1 ，是檢定結(jié)果不確定度的 50%。 方法 3：若將 u1， u 2 修約到兩位有效數(shù)字時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 u1 = 0.15 u 2 = 0.25 檢定結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 由修約引起的誤差為 0.0 ，對(duì)檢定結(jié)果的不確定度沒有影響。 由本例可見，若最終測(cè)量結(jié)果

11、的不確定度取一位有效數(shù)字，中間結(jié)果的有效位數(shù)僅取一 位是不夠的，至少應(yīng)取兩位有效數(shù)字，否則可能產(chǎn)生很大的修約誤差。 2.5 測(cè)量結(jié)果不確定度的全進(jìn)進(jìn)位法 最終測(cè)量的結(jié)果有時(shí)要將測(cè)量結(jié)果不確定度最末位后面的數(shù)都進(jìn)位而不是舍去，這樣不 但提高了不確定度的可靠性，而且可使數(shù)據(jù)更加保險(xiǎn)。 例如： uc(y)= 10.47 m ，可以進(jìn)位到 11 m 。 但是測(cè)量結(jié)果不確定度的全進(jìn)進(jìn)位法應(yīng)慎重使用，因?yàn)閷⒛┪缓竺娴臄?shù)都進(jìn)位可能導(dǎo)致 不確定度被過分?jǐn)U大。 例如：一電阻測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為uc(y) = 1.047 m ，進(jìn)位到 2 m 。 這雖然提高了合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的可靠性，數(shù)據(jù)更加保險(xiǎn)了，但是

12、產(chǎn)生了很大的進(jìn)位修 約誤差，使本應(yīng)滿足測(cè)量技術(shù)要求的儀表因此而不能使用。 在滿足使用要求的條件下，建議采用“三分之一”原則。即舍掉部分小于保留末位修約 間隔的三分之一時(shí)，不進(jìn)位，否則可以進(jìn)位。 例如： uc(y) = 10.37 m ，可進(jìn)位到 11 m。 uc(y) = 10.27 m ，則不進(jìn)位， uc(y) = 10 m。 3 測(cè)量結(jié)果的有效位數(shù) 3.1 技術(shù)規(guī)范的規(guī)定 規(guī)范規(guī)定：輸入和輸出的估計(jì)值應(yīng)修約到與不確定度的位數(shù)一致。即經(jīng)計(jì)算得到測(cè)量結(jié) 果的不確定度以后，要按測(cè)量結(jié)果不確定度的有效位數(shù)來修約測(cè)量結(jié)果，確定測(cè)量結(jié)果的有 效位數(shù)，使采用同一測(cè)量單位的測(cè)量結(jié)果及其不確定度的末位對(duì)齊。

13、 3.2 測(cè)量結(jié)果的修約 測(cè)量結(jié)果應(yīng)按國家標(biāo)準(zhǔn) GB3101-1993有關(guān)量、單位和符號(hào)的一般原則的規(guī)定進(jìn)行修 約，使測(cè)量結(jié)果與不確定度的末位對(duì)齊。 例如：對(duì)一電阻器的電阻值進(jìn)行測(cè)量，其測(cè)量結(jié)果為y = 10.057 62 ，合成標(biāo)準(zhǔn)不確 定度 uc(y) = 27 m ，據(jù)此對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修約得： y = 10.058 。 同樣，測(cè)量結(jié)果不允許進(jìn)行連續(xù)修約。即測(cè)量結(jié)果應(yīng)經(jīng)一次修約后得到，而不應(yīng)該經(jīng)多 次修約后得到。 3.3 測(cè)量結(jié)果的補(bǔ)位 若出現(xiàn)測(cè)量結(jié)果的實(shí)際位數(shù)不夠而無法與測(cè)量結(jié)果不確定度的末位對(duì)齊時(shí)，應(yīng)在測(cè)量結(jié) 果中補(bǔ)零，以與測(cè)量結(jié)果不確定度的末位對(duì)齊。 例如：一砝碼質(zhì)量的測(cè)量結(jié)果為m

14、= 100.021 4 g ，擴(kuò)展不確定度為 U95= 0.36 mg ，則 測(cè)量結(jié)果及其不確定度應(yīng)表示為 m= 100.021 40 g ， U95 =0.36 mg (U95 = 0.000 36 g ) 需注意，若出現(xiàn)測(cè)量結(jié)果的實(shí)際位數(shù)不夠而無法與測(cè)量結(jié)果不確定度的末位對(duì)齊時(shí)，不 應(yīng)對(duì)測(cè)量結(jié)果的不確定度進(jìn)行修約，以使測(cè)量結(jié)果的末位與測(cè)量結(jié)果不確定度的末位對(duì)齊。 例如：在用標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源校準(zhǔn)分辨力為1 的測(cè)溫儀表為 100 點(diǎn)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)器將輸入 100 所對(duì)應(yīng)的電量值，此時(shí)被校準(zhǔn)表指示的值為 101 。經(jīng)計(jì)算，其擴(kuò)展不確定度 U= 0.66 。 標(biāo)準(zhǔn)器輸入的是標(biāo)準(zhǔn)值，在滿足一定技術(shù)要求的條件下，

15、誤差很小，且作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定 度分量進(jìn)入了擴(kuò)展不確定度。若 U 取 0.7 ，則給出校準(zhǔn)證書時(shí)，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)器溫度值應(yīng)為 100.0 ，被校準(zhǔn)儀表的指示值為 101.0 。即在校準(zhǔn)結(jié)果后面補(bǔ)一個(gè)零以與不確定度的位數(shù) 對(duì)齊。而不應(yīng)將 U 修約為 1 ，給出被校準(zhǔn)儀表的指示值為 101 、U 為 1 的校準(zhǔn)證書。 在被校準(zhǔn)儀表指示值后面補(bǔ)一個(gè)零是為了說明當(dāng)用該儀表測(cè)量 100.0 的溫度時(shí)，其指 示值以一定的概率出現(xiàn)在 (101.0 0.7) 的范圍以內(nèi)。由于儀表本身的分辨力為 1 ，所以 實(shí)際指示出來的指示值為 (101 1 ) 。分辨力對(duì)不確定度已在 0.7 中體現(xiàn)了出來。不能因 為這個(gè)零，就

16、說儀表指示值正好是 101.0 。因?yàn)樵搩x表的分辨力為 1 ，是指示不出 0.1 來的。 4 結(jié)論 測(cè)量是科研、生產(chǎn)過程中不可缺少的一項(xiàng)工作，其目的是獲取測(cè)量結(jié)果。 測(cè)量不確定度是對(duì)測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的定量表征，而測(cè)量結(jié)果及其不確定度的有效位數(shù)，對(duì) 于準(zhǔn)確表示測(cè)量結(jié)果及其不確定度是很重要的。 根據(jù)技術(shù)規(guī)范 JJF1059-1999 測(cè)量不確定度評(píng)定與表示的規(guī)定，測(cè)量結(jié)果不確定度的 數(shù)值應(yīng)給出一位或兩位有效數(shù)字。在實(shí)際工作中，應(yīng)合理地進(jìn)行選擇。當(dāng)修約前第 1 位有效 數(shù)字為 1 或 2 時(shí)，測(cè)量結(jié)果的不確定度應(yīng)取兩位有效數(shù)字； 3 或以上時(shí)，可用一位或兩位有 效數(shù)字。 在計(jì)算測(cè)量結(jié)果不確定度的過程中，中間結(jié)果的有效位數(shù)可保留多位。 測(cè)量結(jié)果不確定度的全進(jìn)進(jìn)位法(既將保留末位后面的數(shù)都進(jìn)位)應(yīng)慎重使用。建議采 用“三分之一”原則，既舍掉部分小于保留末位修約間隔的三分之一時(shí)，不進(jìn)位，否則可以 進(jìn)位。 對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修約以使測(cè)量結(jié)果的末位與測(cè)量結(jié)果不確定度的末位對(duì)齊。若出現(xiàn)測(cè)量 結(jié)果的實(shí)際位數(shù)不夠，而無法與測(cè)量結(jié)果不確定度的末位對(duì)齊時(shí)，應(yīng)在測(cè)量結(jié)果后面補(bǔ)零， 以與測(cè)量結(jié)果不確定度的末位對(duì)齊。 對(duì)測(cè)量結(jié)果及其不確定度的修約，應(yīng)按國家標(biāo)準(zhǔn)GB3101-1993有關(guān)量、單位和符號(hào)