數(shù)學不等式高考真題

1、實用標準1.（2018卷）設函數(shù)（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍2.（2013遼寧）已知函數(shù)f（x）=|xa|，其中a1（1）當a=2時，求不等式f（x）4|x4|的解集；（2）已知關于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，求a的值3.（2017新課標）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=|x+1|x2|（）求不等式f（x）1的解集；（）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范圍4.（2017新課標）選修4-5：不等式選講已知a0，b0，a3+b3=2，證明：（）（a+b）（a5+b5）4；（）a+b25.（2017新課標卷）選修4-5：不等

2、式選講已知函數(shù)f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|（10分）（1）當a=1時，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范圍6.（2017新課標）選修4-5：不等式選講已知a0，b0，a3+b3=2，證明：（）（a+b）（a5+b5）4；（）a+b27.（2018卷）已知（1）當時，求不等式的解集（2）若時，不等式成立，求的取值范圍8.（2018卷）已知f(x)=|x+1|-|ax-1|（1）當a=1時,求不等式f(x)1的解集（2）若x(0,1)時不等式f(x)x成立,求a的取值范圍9.（2017新課標）選修4-5：不等式選

3、講已知函數(shù)f（x）=|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范圍10.（2014新課標ii）設函數(shù)f（x）=|x+|+|xa|（a0）（1）證明：f（x）2；（2）若f（3）5，求a的取值范圍11.（2015福建)選修4-5：不等式選講已知，函數(shù)的最小值為4（1）求的值；文檔大全實用標準（2）求的最小值12.（2014新課標i）若a0，b0，且+=（1）求a3+b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由13.（2017新課標）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x（12分）（1）討論f（x）的單調性

4、；（2）當a0時，證明f（x）214.（2017新課標）已知函數(shù)f（x）=x1alnx（）若f（x）0，求a的值；（）設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值15.（2018卷）設函數(shù)（1）畫出的圖像（2）當時，求的最小值。16.（2013福建）設不等式|x2|a（an*）的解集為a，且（1）求a的值（2）求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x2|的最小值17.（2013新課標）（選修45：不等式選講）已知函數(shù)f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（1）當a=2時，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）設a1，且當時，f（x）g（x），求a的取值范圍18

5、.（2016全國）選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)=x-+x+，m為不等式f(x)2的解集.（1）求m；（2）證明：當a,bm時，a+b1+ab。19.（2016全國）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=|2xa|+a（1）當a=2時，求不等式f（x）6的解集；（2）設函數(shù)g（x）=|2x1|，當xr時，f（x）+g（x）3，求a的取值范圍文檔大全實用標準20.（2012新課標）已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x2|（1）當a=3時，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范圍21.（2012遼寧）選修45：不等式選講已知f（x）=|ax+1|（a

6、r），不等式f（x）3的解集為x|2x1（1）求a的值；（2）若恒成立，求k的取值范圍文檔大全實用標準答案解析部分一、解答題1.【答案】（1）a=1時，時，由（）當x2時，由f（x）0得：6-2x0，解得：x3；當-1xx時，f（x）0；當x-1時，由f（x）0得：4+2x0，解得x-2所以f（x）0的解集為x|-2x3（2）若f（x）1，即恒成立也就是xr，恒成立當x=2時取等，所以xr，等價于解得：a2或a-6所以a的取值范圍(-，-62，+）【解析】【分析】（1）由絕對值不等式的解法易得；（2）由絕對值幾何意義轉化易得.2.【答案】（1）解：當a=2時，f（x）4|x4|可化為|x2|+

7、|x4|4，當x2時，得2x+64，解得x1；當2x4時，得24，無解；當x4時，得2x64，解得x5；故不等式的解集為x|x5或x1（2）解：設h（x）=f（2x+a）2f（x），則h（x）=由|h（x）|2得，又已知關于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，所以，故a=3文檔大全實用標準【解析】【分析】（1）當a=2時，f（x）4|x4|可化為|x2|+|x4|4，直接求出不等式|x2|+|x4|4的解集即可（2）設h（x）=f（2x+a）2f（x），則h（x）=由|h（x）|2解得，它與1x2等價，然后求出a的值，3.【答案】解：（）f（x）=|x+1|x2|=，f（

8、x）1，當1x2時，2x11，解得1x2；當x2時，31恒成立，故x2；綜上，不等式f（x）1的解集為x|x1（）原式等價于存在xr使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax，設g（x）=f（x）x2+x，由（1）知，g（x）=，當x1時，g（x）=x2+x3，其開口向下，對稱軸方程為x=1，g（x）g（1）=113=5；當1x2時，g（x）=x2+3x1，其開口向下，對稱軸方程為x=（1，2），g（x）g（）=+1=；當x2時，g（x）=x2+x+3，其開口向下，對稱軸方程為x=2，g（x）g（2）=4+2=3=1；綜上，g（x）max=，m的取值范圍為（，【解析】【分析】（）由

9、于f（x）=|x+1|x2|=，解不等式f（x）1可，分1x2與x2兩類討論即可解得不等式f（x）1的解集；（）依題意可得mf（x）x2+xmax，設g（x）=f（x）x2+x，分x1、1x2、x2三類討論，可求得g（x）max=，從而可得m的取值范圍4.【答案】證明：（）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（+）2=（a3+b3）24，當且僅當=，即a=b=1時取等號，（）a3+b3=2，文檔大全實用標準（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2，=ab，由均值不等式可得：=ab（）2，（a+b）32，（a+b）32，a+b2，當

10、且僅當a=b=1時等號成立【解析】【分析】（）由柯西不等式即可證明，（）由a3+b3=2轉化為=ab，再由均值不等式可得：=ab（）2，即可得到（a+b）32，問題得以證明5.【答案】（1）解：（1）當a=1時，f（x）=x2+x+4，是開口向下，對稱軸為x=的二次函數(shù)，g（x）=|x+1|+|x1|=，當x（1，+）時，令x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+）上單調遞增，f（x）在（1，+）上單調遞減，此時f（x）g（x）的解集為（1，；當x1，1時，g（x）=2，f（x）f（1）=2當x（，1）時，g（x）單調遞減，f（x）單調遞增，且g（1）=f（1）=2綜上所述，f（x）g

11、（x）的解集為1，；（2）（2）依題意得：x2+ax+42在1，1恒成立，即x2ax20在1，1恒成立，則只需，解得1a1，故a的取值范圍是1，1，【解析】【分析】（1.）當a=1時，f（x）=x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x1|=，分x，1、x1，1、x（，1）三類討論，結合g（x）與f（x）的單調性質即可求得f（x）g（x）的解集為1，；（2.）依題意得：x2+ax+42在1，1恒成立x2ax20在1，1恒成立，只需，解之即可得a的取值范圍文檔大全實用標準6.【答案】證明：（）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（+）2=（a3+b3）24，當且僅當=，即a=b=1時取等號，（

12、）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2，=ab，由均值不等式可得：=ab（）2，（a+b）32，（a+b）32，a+b2，當且僅當a=b=1時等號成立【解析】【分析】（）由柯西不等式即可證明，（）由a3+b3=2轉化為=ab，再由均值不等式可得：=ab（）2，即可得到2，問題得以證明7.【答案】（1）解：當時，即故不等式的解集為（2）解：當時成立等價于當時成立若，則當時；若，的解集為，所以，故綜上，的取值范圍為【解析】【分析】(1)通過對x分類討論去掉絕對值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等價于f(x)-x

13、0對于恒成立,即函數(shù)f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范圍.8.【答案】（1）解：當a=1時，當時，-21舍當時，2x1當時，21,成立，綜上所述結果為（2）解：文檔大全實用標準ax0a0.ax2又所以綜上所述【解析】【分析】通過對x分類討論去掉絕對值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等價于f(x)-x0對于恒成立,即函數(shù)f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范圍.，9.【答案】（1）解：f（x）=|x+1|x2|=，f（x）1，當1x2時，2x11，解得1x2；當x2時，31恒成立，故x2；綜上，不等式f（x）1的解集為x|x1（2）原式等價于存在xr使得f（x）x2+xm成立

14、，即mf（x）x2+xmax，設g（x）=f（x）x2+x，由（1）知，g（x）=，當x1時，g（x）=x2+x3，其開口向下，對稱軸方程為x=1，g（x）g（1）=113=5；當1x2時，g（x）=x2+3x1，其開口向下，對稱軸方程為x=（1，2），g（x）g（）=+1=；當x2時，g（x）=x2+x+3，其開口向下，對稱軸方程為x=2，g（x）g（2）=4+2=3=1；綜上，g（x）max=，m的取值范圍為（，【解析】【分析】（1.）由于f（x）=|x+1|x2|=，解不等式f（x）1可，分1x2與x2兩類討論即可解得不等式f（x）1的解集；（2.）依題意可得mf（x）x2+xmax，設

15、g（x）=f（x）x2+x，分x1、1x2、x2三類討論，可求得g（x）max=，從而可得m的取值范圍文檔大全實用標準10.【答案】（1）解：證明：a0，f（x）=|x+|+|xa|（x+）（xa）|=|a+|=a+2=2，故不等式f（x）2成立（2）解：f（3）=|3+|+|3a|5，當a3時，不等式即a+5，即a25a+10，解得3a當0a3時，不等式即6a+5，即a2a10，求得a3綜上可得，a的取值范圍（，）【解析】【分析】（1）由a0，f（x）=|x+|+|xa|，利用絕對值三角不等式、基本不等式證得f（x）f2成立（2）由（3）=|3+|+|3a|5，分當a3時和當0a3時兩種情況

16、，分別去掉絕對值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求11.【答案】（1）4（2）【解析】【解答】1.因為,當且僅當時，等號成立，又,所以,所以的最小值為，所以.2.由1知，由柯西不等式得,即.d當且僅當,即時，等號成立所以的最小值為【分析】當?shù)南禂?shù)相等或相反時，可以利用絕對值不等式求解析式形如的函數(shù)的最小值，以及解析式形如的函數(shù)的最小值和最大值，否則去絕對號，利用分段函數(shù)的圖象求最值利用柯西不等式求最值時，要注意其公式的特征，以出現(xiàn)定值為目標12.【答案】（1）解：a0，b0，且+=，=+2，ab2，當且僅當a=b=時取等號文檔大全a3+b322實用標準=4，當且僅當a=b=時取等號，a3+

17、b3的最小值為4（2）解：2a+3b2而由（1）可知，2=22=4，當且僅當2a=3b時，取等號6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立【解析】【分析】（1）由條件利用基本不等式求得ab2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值（2）根據ab4及基本不等式求的2a+3b8，從而可得不存在a，b，使得2a+3b=613.【答案】（1）解：因為f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，求導f（x）=+2ax+（2a+1）=，（x0），當a=0時，f（x）=+10恒成立，此時y=f（x）在（0，+）上單調遞增；當a0，由于x0，所以（2ax+1）（x+1）0恒成立，此時y=f（x）在（0，+）上單

18、調遞增；當a0時，令f（x）=0，解得：x=因為當x（0，）時，f（x）0、當x（，+）時，f（x）0，所以y=f（x）在（0，）上單調遞增、在（，+）上單調遞減綜上可知：當a0時f（x）在（0，+）上單調遞增，當a0時，f（x）在（0，）上單調遞增、在（，+）上單調遞減；（2）證明：由（1）可知：當a0時f（x）在（0，）上單調遞增、在（，+）上單調遞減，所以當x=時函數(shù)y=f（x）取最大值f（x）max=f（）=1ln2+ln（）從而要證f（x）2，即證f（）2，即證1ln2+ln（）2，即證（）+ln（）1+ln2令t=，則t0，問題轉化為證明：t+lnt1+ln2（*）令g（t）=t+

19、lnt，則g（t）=+，令g（t）=0可知t=2，則當0t2時g（t）0，當t2時g（t）0，所以y=g（t）在（0，2）上單調遞增、在（2，+）上單調遞減，即g（t）g（2）=2+ln2=1+ln2，即（*）式成立，所以當a0時，f（x）2成立文檔大全實用標準【解析】【分析】（1.）題干求導可知f（x）=（x0），分a=0、a0、a0三種情況討論f（x）與0的大小關系可得結論；（2.）通過（1）可知f（x）max=f（）=1ln2+ln（），進而轉化可知問題轉化為證明：當t0時t+lnt1+ln2進而令g（t）=t+lnt，利用導數(shù)求出y=g（t）的最大值即可14.【答案】解：（）因為函數(shù)f

20、（x）=x1alnx，x0，所以f（x）=1=，且f（1）=0所以當a0時f（x）0恒成立，此時y=f（x）在（0，+）上單調遞增，所以在（0,1）上f(x)0,這與f（x）0矛盾；當a0時令f（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+）上單調遞增，即f（x）min=f（a），又因為f（x）min=f（a）0，所以a=1；（）由（）可知當a=1時f（x）=x1lnx0，即lnxx1，所以ln（x+1）x當且僅當x=0時取等號，所以ln（1+），kn*,所以，kn*一方面，因為+=11，所以，（1+）（1+）（1+）e；另一方面，（1+）（1+）（1+）（1+）（

21、1+）（1+）=2，同時當n3時，（1+）（1+）（1+）（2，e）因為m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n（1+）（1+）（1+）m，所以m的最小值為3【解析】【分析】（）通過對函數(shù)f（x）=x1alnx（x0）求導，分a0、a0兩種情況考慮導函數(shù)f（x）與0的大小關系可得結論；（）通過（）可知lnxx1，進而取特殊值可知ln（1+），kn*一方面利用等比數(shù)列的求和公式放縮可知（1+）（1+）（1+）e；另一方面可知（1+）（1+）（1+）2，且當n3時，（1+）（1+）（1+）（2，e）文檔大全實用標準15.【答案】（1）解：（2）解：由（1）中可得：a3，b2，當a=3，b=2時，a+b取最小值

22、，所以a+b的最小值為5.【解析】【分析】（1）畫圖像，分段函數(shù);（2）轉化為一次函數(shù)分析.16.【答案】（1）解：因為，所以且，解得，因為an*，所以a的值為1文檔大全實用標準（2）解：由（1）可知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，當且僅當（x+1）（x2）0，即x2或x1時取等號，所以函數(shù)f（x）的最小值為3【解析】【分析】（1）利用，推出關于a的絕對值不等式，結合a為整數(shù)直接求a的值（2）利用a的值化簡函數(shù)f（x），利用絕對值三角不等式求出|x+1|+|x2|的最小值17.【答案】（1）解：當a=2時，求不等式f（x）g（x）化為|2x1|+|2x2|x30設y

23、=|2x1|+|2x2|x3，則y=，它的圖象如圖所示：結合圖象可得，y0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）（2）解：設a1，且當時，f（x）=1+a，不等式化為1+ax+3，故xa2對都成立故a2，解得a，故a的取值范圍為（1，【解析】【分析】（1）當a=2時，求不等式f（x）g（x）化為|2x1|+|2x2|x30設y=|2x1|+|2x2|x3，畫出函數(shù)y的圖象，數(shù)形結合可得結論（2）不等式化即1+ax+3，故xa2對都成立故a2，由此解得a的取值范圍18.【答案】（1）解：當時，若；當時，恒成立；當時，若，綜上可得，（2）證明：當，時，有，文檔大全實用標準即，則，則，即，證畢【解析】【分析】（1）分當x時，當x時，當x時三種情況，分別求解不等式，綜合可得答案；（2）當a，bm時，（a21）（b21）0，即a2b2+1a2+b2，配方后，可證得結論19.【答案】（1）解：當a=2時，f（x）=|2x2