固體物理第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.4三維晶格的振動(dòng)

1、03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 3.4 三維晶格的振動(dòng)三維晶格的振動(dòng) 三維復(fù)式格子三維復(fù)式格子 各原子偏離格點(diǎn)的位移各原子偏離格點(diǎn)的位移 晶體的原胞數(shù)目晶體的原胞數(shù)目 321 nnnn 原子的質(zhì)量原子的質(zhì)量 n mmmm, 321 第第l個(gè)原胞的位置個(gè)原胞的位置 332211 )(alalallr 原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置 n l r l r l r l r , 3 , 2 , 1 n llll , 3 , 2 , 1 一個(gè)原胞中有一個(gè)原胞中有n個(gè)原子個(gè)原子 01/19 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 第第k個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程

2、k l k l mk 2 3, 2, 1 原子在三個(gè)方向上的位移分量原子在三個(gè)方向上的位移分量 一個(gè)原胞中有一個(gè)原胞中有3n個(gè)類似的方程個(gè)類似的方程 方程右邊是原子位移的線性齊次函數(shù)，其方程的解方程右邊是原子位移的線性齊次函數(shù)，其方程的解 q k l rti ke a k l 將方程解代回將方程解代回3n個(gè)運(yùn)動(dòng)方程個(gè)運(yùn)動(dòng)方程 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 2 , k k kk a kk q cam ;,;,;, 222111nznynxzyxzyx aaaaaaaaa 3n個(gè)線性齊次方程個(gè)線性齊次方程 系數(shù)行列式為零條件，得到系數(shù)行列式為零條件，得到3n個(gè)個(gè))3, 3,

3、 2, 1(nj j 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0q3個(gè)個(gè)q j 趨于一致趨于一致 n aaaa , 321 三個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的格波描述不同原胞之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)三個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的格波描述不同原胞之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng) 3支聲學(xué)波支聲學(xué)波 1, 2,3;1, 2, 3;1, 2,knk 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 3n3支長(zhǎng)波極限的格波描述一個(gè)原胞中各原子間的相支長(zhǎng)波極限的格波描述一個(gè)原胞中各原子間的相 對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)運(yùn)動(dòng) 3n3支光學(xué)波支光學(xué)波 結(jié)論：結(jié)論：晶體中一個(gè)原胞中有晶體中一個(gè)原胞中有n個(gè)原子組成，有個(gè)原子組成，有3支聲學(xué)波和支聲學(xué)波和 3n3支光學(xué)波支光學(xué)波 波矢波矢 332211 bxbx

4、bxq 波矢空間的波矢空間的3個(gè)基矢?jìng)€(gè)基矢 321 ,bbb 三維晶格中的波矢三維晶格中的波矢 倒格子基矢倒格子基矢 123 ,x xx 3個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù) 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) )( )( )( 333333 222222 111111 bx k l ranti kz bx k l rti kzz bx k l ranti ky bx k l rti kyy bx k l ranti kx bx k l rti kxx zz yy xx eaea k l eaea k l eaea k l 采用波恩卡曼邊界條件采用波恩卡曼邊界條件 1 1 1 1122222333

5、 33 2,2,2n a x bhn a x bhn a x bh 05/19 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 1 11 1 1 11 2 22 2222 3 33 33 33 2 2 2 h xx n a bn h xx n a bn h xx n a bn 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b n h b n h b n h q 波矢波矢 波矢空間一個(gè)點(diǎn)占據(jù)的體積波矢空間一個(gè)點(diǎn)占據(jù)的體積 123 123 *() bbb v nnn 0 *v n 倒格子原胞體積倒格子原胞體積)(* 3210 bbbv 狀態(tài)密度狀態(tài)密度 0123 *() nn vbbb 0 33 (2

6、 )(2 ) nvv 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 波矢的取值波矢的取值_ h1h2h3 原子振動(dòng)波函數(shù)原子振動(dòng)波函數(shù) qlri e )( 波矢改變一個(gè)倒格矢波矢改變一個(gè)倒格矢 332211 bnbnbngn n gqq qlriqglri ee n )()()( 1 12233 ( )2 () n r lgl nl nl n q k l rti ke a k l 不同原胞之間位相聯(lián)系不同原胞之間位相聯(lián)系 原子振動(dòng)狀態(tài)一樣原子振動(dòng)狀態(tài)一樣 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) k的取值限制在一個(gè)倒格子原胞中的取值限制在一個(gè)倒格子原胞中 第一布里淵區(qū)第一布

7、里淵區(qū) 22 11 b q b x 22 22 b q b y 22 33 b q b z 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b n h b n h b n h q 11 1 22 nn h 22 2 2 2 n h n 22 3 3 3 n h n 個(gè)取值個(gè)取值 321 nnnn 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x y z h qb n h qb n h qb n 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 對(duì)應(yīng)于一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)于一個(gè)波矢q 3支聲學(xué)波支聲學(xué)波和和3n3支光學(xué)波支光學(xué)波 總的格波數(shù)目總的格波數(shù)目nnnn3) 333( 晶體中原子的坐標(biāo)數(shù)目晶體中原子的坐標(biāo)數(shù)目 n

8、n i ii qqne 3 1 )( 2 1 )(晶格振動(dòng)總的能量晶格振動(dòng)總的能量 )(q i 晶格振動(dòng)能量量子晶格振動(dòng)能量量子 聲子聲子_phonon 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 二維布里淵區(qū)二維布里淵區(qū) 正方格子的布里淵區(qū)正方格子的布里淵區(qū) 正方格子的基矢正方格子的基矢 1 2 aai aaj 倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢 j a b i a b 2 2 2 1 10/19 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 倒格子空間離原點(diǎn)最近的四個(gè)倒格點(diǎn)倒格子空間離原點(diǎn)最近的四個(gè)倒格點(diǎn) 1122 ,bbbb 垂直平分線方程垂直平分線

9、方程 a k a k y x 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 大小大小 2 ) 2 ( a 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 第二布里淵區(qū)第二布里淵區(qū) 由由4個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn) 12 12 12 12 () () () () bb bb bb bb 2 ) 2 ( a 第二布里淵區(qū)大第二布里淵區(qū)大 小小 的垂直平分線和第一的垂直平分線和第一 布里淵區(qū)邊界所圍成布里淵區(qū)邊界所圍成 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 由由4個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn) 12 12 2 ,2 2 ,2 bb bb 第三布里淵區(qū)第三布里淵區(qū) 2 ) 2 ( a 第三布里淵區(qū)大小第三布里淵區(qū)大小 的垂

10、直平分線和第二布的垂直平分線和第二布 里淵區(qū)邊界邊界所圍成里淵區(qū)邊界邊界所圍成 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 第一、第二和第三布里淵區(qū)第一、第二和第三布里淵區(qū) 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 正方格子其它布里淵區(qū)的形成正方格子其它布里淵區(qū)的形成 15/19 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 正方格子其它布里淵區(qū)的形狀正方格子其它布里淵區(qū)的形狀 每個(gè)布每個(gè)布 里淵區(qū)經(jīng)過(guò)適里淵區(qū)經(jīng)過(guò)適 當(dāng)?shù)钠揭浦螽?dāng)?shù)钠揭浦?和第一布里淵和第一布里淵 區(qū)重合區(qū)重合 03_04_三維晶格的振動(dòng) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 二維斜格子的第一布里淵區(qū)二維斜格子的第一布里淵區(qū) 03_04_三維晶格的