熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程

1、1 第二章 熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程 v熱傳導(dǎo)方程 在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物體。假 定它的內(nèi)部有熱源或匯，并且與周圍的介質(zhì)有熱交 換，來研究物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。 物理模型 2 x y z o dSn Fourier實(shí)驗(yàn)定律實(shí)驗(yàn)定律 :成正比導(dǎo)數(shù) 法方向的方向度沿曲面 與物體溫的熱量面積 流過一個無窮小法線方向 內(nèi)沿物體在無窮小時段 n u dS dQdS n t .),(dSdt n u zyxkdQ 注：負(fù)號是因?yàn)闊崃靠偸菑臏囟雀叩囊粋?cè)流向低的一側(cè)，.異號與故 n u dQ 3 ., 它所包圍的區(qū)域記為內(nèi)任取一閉曲面在物體G .),( 2 1 21 t t dtdS n u z

2、yxkQ tt的全部熱量為流進(jìn)閉曲面到從時刻 .),(),(),(),( ),(),(, 12 2121 dxdydztzyxutzyxuzyxzyxc tzyxutzyxutt 它所吸收的熱量是 變化到溫度從中在時間間隔 ., 為密度為比熱其中 c 4 由熱量守恒定律，物體內(nèi)部無熱源時，由熱量守恒定律，物體內(nèi)部無熱源時， dxdydzdt t u zyxzyxc dxdydzdt z u k zy u k yx u k x t t t t 2 1 2 1 ),(),( dxdydztzyxutzyxuzyxzyxc dtdS n u zyxk t t ),(),(),(),( ),( 12

3、2 1 2112 ttttttt 通過邊界的流入量熱量熱量 5 交換積分次序交換積分次序 2 1 0 t t dxdydzdt z u k zy u k yx u k xt u c 則有熱傳導(dǎo)的齊次方程均是任意的及注意到, 21 tt . 0 z u k zy u k yx u k xt u c 6 211212 t tt ttt ttt t 熱量 熱量通過邊界的流入量 熱源的生成量 若物體內(nèi)部有熱源，若物體內(nèi)部有熱源， 程則有熱傳導(dǎo)的非齊次方 ).,(tzyxf z u k zy u k yx u k xt u c 7 數(shù)學(xué)模型 2 ( , , , ) u auf x y z t t 二維的

4、情形： 22 2 22 ( , , ) uuu af x y t txy 一維的情形： 2 2 2 ( , ) uu af x t tx 其中： a2=k/C， f (x,y,z,t)=f0/C， 222 222 xyz 如果物體是均勻的，且各向同性的，則有如果物體是均勻的，且各向同性的，則有 8 v定解條件 邊界條件 給定溫度函數(shù) u(x,y,z,t) 在物體表面的限制。 一般來有三種類型： (0,) ( , , , )( , , , )u x y z tg x y z t 第一類邊界條件： 初始條件給出物體在初始時刻 t=0 的溫度 ( , , ,0)( , , )u x y zx y z

5、 第二類邊界條件： (0,) ( , , , ) u kg x y z t n 第三類邊界條件： (0,) ( , , , ) u ug x y z t n 9 v定解問題 由方程與定解條件可以描述一個特定的物理現(xiàn)象， 它構(gòu)成一個定解問題 混合問題： 初始問題： 2 2 2 ,0 ( ,0)( ), uu axt tx u xxx 2 2 2 ,0,0 (0, )( , )0,0 ( ,0)( )0 x uu ax l t tx utu l tt u xxx l 10 v擴(kuò)散方程 考慮三維空間中一均勻的、各向同性的物體， 假定它的內(nèi)部有擴(kuò)散源，來研究物體內(nèi)部分子 的濃度在時刻 t 的分布規(guī)律。

6、 物理模型 數(shù)學(xué)模型 ( , , , ) u D uf x y z t t 其中：u(x,y,z,t)表示于時刻 t 在 (x,y,z) 處的分子濃度 f (x,y,z,t)表示單位時間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù) D 為擴(kuò)散系數(shù) 11 第二節(jié)初邊值問題的分離變量法第二節(jié)初邊值問題的分離變量法 12 n 定解問題 )(| 0|, 0| 0, 0 0 2 xu uu Lxuau t Lxx xxt )()(),(tTxXtxu 0)()0( 0)()()0()( LXX LXtTXtT 22 2 2 2 2 /)/( XXTaT TXa TXa TXa XT TXaXT l 未知函數(shù)分離 l 泛定方

7、程分離 l 邊界條件分離 l 分離結(jié)果 0 0)()0( 0 22 2 TaT LXX XX 13 )exp()( 22 taAtT kkk 0sin)( 0)0( sincos)( LDLX CX xDxCxX LkxxX kkk /,sin)( NkLkkL L ,/ 0sin l 空間方程解出 l 非零解條件 l 非零解 l 時間方程解出 l 分離結(jié)果的求解 0 0)()0( 0 22 2 TaT LXX XX 14 典型問題的求解 xtaAtTxXtxu kkkkkk sin)exp()()(),( 22 xAx kk sin)( 11 sin),( 22 k k ta k k k x

8、eAtxuu k l 初始條件要求 l 分離結(jié)果的合成 l 再合成半通解 l 系數(shù)的確定 xdxx L A k L k sin)( 2 0 l 過程小結(jié) l分離變量分別求解合成半通解由初始條件確定系數(shù) 15 分離變量流程圖 xxt uau 2 0| 0 Lxx uu)(| 0 xu t )()(xXtTu 0)() 0 (LXX XXTaT/ )/( 2 0 22 TwaT0 2 XwX )exp( 22 twaAT L k xX ,sin )()(xXtTu kkk kk XTu ),( txuu 16 典型問題的求解 n 例題1 )cos(sin| 0|, 0| 0, 0 0 0 2 xB

9、Axu uu xuau t xx xxt NktakATkxX kkk ),exp(),sin( 22 0)()0( 0 , 0 )()(),( 2 22 XX XX TaT tTxXtxu 0, 3sin2sinsin2sinsin sin)cos(sin 2 2 1 21 321 2 1 k k ABAAA xAxAxAxBxA kxAxBAx 1 22 sin)exp( k k kxtakAu l 代入初始條件 l 分離變量 l 分別求解 l 合成半通解 17 第二類邊界條件 n 定解問題 )(| 0|, 0| 0, 0 0 0 2 xu uu Lxuau t Lxxxx xxt )ex

10、p( , 2 , 1 , 0,/),cos( 22 2 tawAT wkLkwwxX kkk )()(),(tTxXtxu 0)( )0( LXX XXTaT/ )/( 2 )()( 0 xXAAx kk 1 0 )()( k kk xXtTTu l 初始條件要求 l 未知函數(shù)分離 l 泛定方程分離 l 邊界條件分離 l 本征運(yùn)動 l 半通解 18 典型問題的求解 n 例題2 xAu uu xuau t xxxx xxt 2 0 0 2 cos| 0|, 0| 0, 0 000 22 , 1 ),exp(),cos( ATX NktakATkxX kkk 0)( )0( 0 , 0 )()(),( 2 22 XX XX TaT tTxXtx