定積分的計(jì)算和積分不等式數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、定積分的計(jì)算和積分不等式摘要：本文首先介紹了定積分的幾種計(jì)算方法：牛頓萊布尼茲公式，分部積分法，換元積分法，積分值的估計(jì)。其次再介紹了積分不等式的幾種證明：用微分學(xué)的方法證明積分不等式，利用被積函數(shù)的不等式證明積分不等式，在不等式兩端取變限積分證明新的不等式，利用積分性質(zhì)證明不等式，利用積分中值定理證明不等式。關(guān)鍵字：定積分；牛頓萊布尼茲公式；分部積分法；換元積分法the definite integral compute and integral inequalityabstract: in this paper, firstly, mainly introduced a few kinds

2、 computational method of definite integral: newton-leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. secondly, this paper also introduced a few kinds of integral invariant: using the method of differential calculus to prove integral invariant;

3、making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value theorem to prove integral invariant.key word: definite integral; newton-leibniz; defini

4、te integration by parts; integration by substitution.引言數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)中一門重要的基礎(chǔ)課，定積分的計(jì)算和積分不等式無疑是數(shù)學(xué)分析中一個重要的方面。定積分的思想源遠(yuǎn)流長，古希臘德謨克利特的“數(shù)學(xué)原子論”、阿基米德的“窮竭法”、劉徽的“割圓術(shù)”都是積分思想的雛形，并且用這些方法求出了不少幾何形體的面積和體積；然而這些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以嚴(yán)密的理論為基礎(chǔ)的。隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，借助于生產(chǎn)力空前發(fā)展的強(qiáng)大推動，出現(xiàn)了開普勒的“同維無窮小方法”，卡瓦列利的“不可分量法”、費(fèi)馬的“分割求和方法”，到17世紀(jì)終于發(fā)生

5、了由量變到質(zhì)變的飛躍。牛頓與萊布尼茲揭示了微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系微積分基本定理，從而產(chǎn)生了威力無比的微積分，使數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)跨入了變量數(shù)學(xué)，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的新紀(jì)元。這就是定積分的背景。定積分的概念及微積分基本公式，不僅是數(shù)學(xué)史上，而且是科學(xué)思想史上的重要里程碑?，F(xiàn)在定積分已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)等領(lǐng)域。在高等數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)、其他的知識領(lǐng)域以及人們在生產(chǎn)實(shí)踐活動中具有普遍的意義，很多問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與定積分中求“和的極限”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一樣的。我們使定積分真正成為解決許多實(shí)際問題的有力工具，促進(jìn)了積分學(xué)的迅速發(fā)展。定積分的計(jì)算和積分不等式是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，定積分的計(jì)

6、算方法豐富多彩，許多積分不等式具有重要的應(yīng)用價值。所以我們要研究定積分的計(jì)算和積分不等式的目的就是：1學(xué)會用定積分解決問題，進(jìn)一步體會學(xué)習(xí)定積分的必要性。2.掌握定積分的常用計(jì)算方法，如變限的定積分的概念，微積分的基本定理和換元積分法及分部積分法等。3.了解積分不等式的常用的證明方法。4.了解定積分相關(guān)的知識的綜合應(yīng)用。定積分是高等數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中。許多問題都可以歸結(jié)為計(jì)算定積分的問題。在定積分中，不僅概念多，而且定理，公式亦處處可見，因此對定理，公式要深入的把握。因此，定積分的計(jì)算是很重要的。在計(jì)算中，如能直接應(yīng)用公式，則將會既簡捷，又準(zhǔn)確，起到事半功倍的作用。在本

7、文中，本人首次嘗試對其中一個定理進(jìn)行證明以及一些計(jì)算，下面我們就定積分的計(jì)算和積分不等式此論題進(jìn)行討論。一、定積分的計(jì)算(一)、牛頓萊布尼茲公式1、定理4（牛頓萊布尼茲公式）：若函數(shù)f在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)f ，即=，xa,b，則f在a,b上可積，且=- 這稱為牛頓萊布尼茲公式，它也常寫成=|注（i）牛頓萊布尼茲公式簡稱nl公式，它是微積分的核心定理，最初分別由牛頓與萊布尼茲在17世紀(jì)下半葉獨(dú)立得到，柯西在19世紀(jì)初給出精確敘述與證明，黎曼在19世紀(jì)中葉給予完善，達(dá)布在1875年給出現(xiàn)在這種表達(dá)形式。（ii）nl公式的證明可由riemann積分的定義及微分中值定理（作用在f上）可推得。例

8、1 說明“使用”牛頓-萊布尼茲公式為何產(chǎn)生下列錯誤？ （1）=2 ； （2）=0 .解 （1）中被積函數(shù)無界、不可積；（2）中被積函數(shù)在間斷點(diǎn)x =處極限存在，故可積，但是在x =處有無窮間斷點(diǎn)，因此不合公式條件。例2 計(jì)算誤解：可以證明=則由微積分基本公式得：=0分析：因?yàn)?=0所以 0顯然上述結(jié)論是錯誤的。原因：原函數(shù)=在0，2上有間斷點(diǎn)x=1。正確的解法：令 則在0，2上連續(xù)且=所以，由上述定理3知 =-=+ 0 -0 =例3 利用定積分求下列極限 = j （1-1）解 這類問題的解題思想，是要把所求極限化為某個函數(shù)f ( x )在某一區(qū)間a ,b上的積分和的極限。然后利用牛頓萊布尼茨公

9、式計(jì)算j = 的值。由（1-1）式中的根式不是一個和式，而是一個連乘積，因此可望通過求對數(shù)后化為累加形式，為此記不難看出，是函數(shù)在區(qū)間0，1上對應(yīng)于n等分分割，并取，i =1,2, n 的一個積分和。由于 在0，1上連續(xù)，且存在原函數(shù)，故由定理知道0，1，且有。于是就可求得. 注：上面也可看作在1，2上的一個積分和，或者，是在2，3上的一個積分和，亦即 。 (二)、定積分換元積分法和分部積分法1、定理4（定積分換元積分法）：若函數(shù)f在a ,b上連續(xù)，在 , 上有連續(xù)可微，且滿足= a，= b，a b，t , ，則有定積分換元公式：=.注（i）定積分換元積分公式由復(fù)合函數(shù)微分法及nl公式可得。(

10、ii)定積分換元積分法實(shí)際上是不定積分第二換元積分法的直接應(yīng)用，只不過使用時有較大差別：在這里換元之后變量不需回代，但積分限要跟著更換（在去掉根號的情形下須注意函數(shù)的符號）。(iii)對應(yīng)于不定積分中的第一換元法（即湊微分法），在這里可以不加變動地直接應(yīng)用，而且積分限也不需作更改（即仍然采用原來的積分變量）。（iv）（注意：文中以下提到的c是連續(xù)函數(shù)的集合，r是riemann可積函數(shù)的集合，在此說明。不另外提示。） ,可減弱為r ,。進(jìn)一步，定積分換元積分公式中的f a ,b可減弱為f a ,b，但若的條件稍許加強(qiáng)（證明較為復(fù)雜），則有以下的命題成立：若f a ,b，： ,a ,b是一一映射而

11、且還滿足=，=，a ,b，那么有=.證 設(shè)a b,（即為增函數(shù)）。對任何分割通過令，i=1,2,n得到對a ,b的一個分割.由于在 ,上一致連續(xù)，故當(dāng)時必有，i=1,2,n，作積分和；令，并記.由于，使，i=1,2,n，因此有 .于是，由假設(shè)，可知另一方面，當(dāng)設(shè)，時，由在 ,上一致連續(xù)，使時，恒有 ，i=1,2,n.于是又有 .由此可見， 即 例4 計(jì)算解1 令，得。有.解2 令，得，有。解3 令，得，有.小結(jié) 例4的三種解法借助于換元積分法，巧妙地運(yùn)用了對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的公式進(jìn)行恒等變形，從而實(shí)現(xiàn)了被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化。例5 設(shè)函數(shù)和在對稱區(qū)間上連續(xù)。若滿足條件(常數(shù))且是偶函數(shù)，證明：并由此計(jì)

12、算積分 (此題是1995年考研試題(三)中的第八題。)證 因?yàn)楹瘮?shù)和在對稱區(qū)間上連續(xù)，得 其中，將代入下式：. 因此， 證明成立。那么根據(jù)上述題目已知，我們在中很容易發(fā)現(xiàn)，就是上述的，就是上述的，所以由我們所證的可得 由上面的結(jié)論可知 ，那么 即 .所以 ， 代入 .得 .再來看 = = 2所以 =.例6 證明：（1），；（2）若f 在0,1上連續(xù)，且滿足，k=0,1,n-1,則有 .證 （1）利用換元積分法，可得（2）首先，由條件可知 ；又由積分第一中值定理，使得 ；再由上面（1），又得 .這就證得 .2、定理（定積分分部積分法）4：若、為a ,b上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分部積分公式：

13、.注 （i）分部積分可由乘積微分法則及n-l公式直接證之。（ii）分部積分公式可連續(xù)使用n次，即利用數(shù)學(xué)歸納法及分部積分公式可得下面的命題：若u、v具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么有 (n=1,2,3,)。例7 設(shè)f 在a ,b上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且f (a) = f (b) =0。證明：（1）；（2）.證 （1）利用分部積分法，可得 移項(xiàng)后即得結(jié)論成立。（2）一種證法是直接利用（1）的結(jié)論：其中的 .例8 設(shè)f 連續(xù)，f (1) = 1, .試求：.解 令 2x - t = u, 則于是有 兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得 再令x=1可得.3、用定積分換元積分法與分部積分法推得的某些特殊結(jié)論：1(1)、若f (

14、x) 為以 p為周期的連續(xù)周期函數(shù)，則有（2）、若，則 （3）、若，則；（4）、若，則；（5）、沃利斯（wallis）公式： ；（6）、帶積分余項(xiàng)的泰勒公式：若f (x) 在a ,b上具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么，,有，即，稱此為泰勒公式的積分余項(xiàng).例9 （00, b 0 .解 因?yàn)?令 ，所以 .這個變量代換的定積分，注意到被積式是正、余弦的齊次式，倒也不算多難。但是回頭看一下，便會發(fā)現(xiàn)：被積函數(shù)中，積分變量的取值并無限制。為什么積分區(qū)間只能取0，豈不大大的限制了它的適用范圍！細(xì)看一下，這樣限制區(qū)間，完全是因變量代換（）所致。為擴(kuò)大范圍，先利用變量代換，則時，時， .所以 這樣，就可把0，上的積分化

15、成兩個0，上的積分即有 故 . 此式還反映了被積函數(shù)關(guān)于的對稱性，利用，互換，積分值不變。故在，上的積分與在0，上的積分相同。又因與周期為，于是原積分在任意區(qū)間上的積分都不難求出。(三)、積分值估計(jì)3有些函數(shù)雖然可積，但原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表達(dá)?；蛘f這種函數(shù)的積分“積不出”，無法應(yīng)newton-leibniz公式計(jì)算，只能用其他方法對積分值進(jìn)行估計(jì)，或近似計(jì)算。另一種情況是，被積函數(shù)沒有明確給出，只知道他的結(jié)構(gòu)或某些性質(zhì)，希望對積分值給出某種估計(jì)。（1）利用darboux和估計(jì)積分值若，表示積分的下、上darboux和，那么積分存在時，有估計(jì).例12 求a，b，使得要求（北京師范19

16、84）解 將區(qū)間0，1 n等分，利用的單調(diào)性，每個小區(qū)間上，端點(diǎn)到達(dá)上、下確界因此 ，這時 ，要使 ，只要取，于是 ，.（2）利用變形求估計(jì)及估計(jì)的應(yīng)用若f (x) 在a ,b上可積，一般來說我們可以通過各種變形來對積分之值進(jìn)行估計(jì)。例如用變量替換、分部積分、中值公式、taylor公式等，使積分邊成易于估計(jì)的形式。另外被積函數(shù)放大、縮小，區(qū)間放大和縮小也是獲得估計(jì)的重要方法。例13 證明.（蘇聯(lián)高校競賽1976）證 令作變換在中作變換， .于是 .在內(nèi)，被積函數(shù) . 個別點(diǎn)不影響積分值。由例13知。若f (x) ，g (x) 在,上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則.若f (x) ，g (x) 在,上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

17、，且，則反復(fù)利用分部積分法可得.此式給出了一個重要的變形。二、積分不等式在積分不等式中，證明的難度較大，技巧性較強(qiáng)，涉及知識面較廣的問題，本文在高等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)，給出了證明積分不等式的幾種基本方法。我們把聯(lián)系兩個以上的定積分的不等式，稱為積分不等式。關(guān)于積分不等式，有不少著名的結(jié)果，我們將在這里只介紹證明積分不等式的幾種基本方法以及計(jì)算。(一)、用微分學(xué)的方法證明積分不等式11例14 設(shè) f (x) 在0，1上可微，且當(dāng)x(0,1)時，0。（上海交大1980前）證 問題在于證明1。令 ，利用cauchy中值定理 (01) (00時，.（吉林大學(xué) 1982）證 已知 （x0，只有時等號才成立）。在

18、此式兩端同時取0,x上的積分，得 (x0).再次取0,x上的積分，得 (x0).第三次取0,x上的積分，得 (x0).即 (x0).繼續(xù)在0,x上積分兩次，可得x-+. 證畢。(四)、利用積分性質(zhì)證明不等式15定理 設(shè)函數(shù) f (x) 與 g (x) 為定義在a ,b上的兩個可積函數(shù)，若f (x) g (x) ，xa ,b則例17 證明不等式 ,(0+1證 不等式變形為-1-，左邊:-1=右邊: - =。注意到12, 15+1例19 利用積分中值定理證明： （2-6）分析 如果由積分值公式來估計(jì)定積分的值,只能得出 (2-7)其中m與m分別是在a ,b上的最大值與最小值，顯然這是一個很粗略的估

19、計(jì)，如果改由中值公式來估計(jì)，設(shè)，,則有 （2-8）一般說來,估計(jì)式(2-8)比(2-7)較為精細(xì).證 這里使用估計(jì)式(2-8),取,算出 ,由此看到，（2-6）的右部不等式得證；而左部不等式尚差稍許，為此可用以下方法來彌補(bǔ)：，這就可以證得（2-6）的左部不等式也成立。證明積分不等式是一門藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到豐富的技術(shù)手法；在此，我們充分利用微積分的知識來證明不等式，使一些復(fù)雜的不等式的證明得到更加簡潔的證明，也使得一些不等式的證明變得一題多解，更加說明微積分在我們證明不等式中具有舉足輕重的作用。例20 證明不等式證 0，故0即 +2+0上式左端為2的二次三項(xiàng)式，故其判別式不大于0，即 4-40

20、得 .例21 已知函數(shù) (xr, x,nn+)的最小值為,最大值為，記 ,求證：.證明 因?yàn)?x ，所以 y 1, 則=0即 0 y 所以 所以 所以不等式成立。例22 設(shè)在a ,b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，證明euler求和公式： （2-9）此地表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，表函數(shù)在( a ,b上各整數(shù)點(diǎn)處的值之和。證 分不同情況證。若 ，則，此時，（2-9）式的右端也將等于0，這是因?yàn)榘捶植糠e分法有 所以公式成立。若，記 （2-10）其中 （2-11） （2-12）因?yàn)?代入（2-12）式后得 （2-13）將（2-11）式和（2-13）式代入（2-10）式中，就可得到（2-9）式。結(jié)束語科學(xué)研究跨入了新

21、世紀(jì)的門檻,我們看到,數(shù)學(xué)學(xué)科一方面在回顧學(xué)科發(fā)展歷程,另一方面也在展望學(xué)科的發(fā)展前景。數(shù)學(xué)分析中的定積分計(jì)算和積分不等式的學(xué)習(xí)研究方法主要通過典型例題分析和知識點(diǎn)的概括來完成，也會適當(dāng)?shù)倪x取一些競賽題和考研題進(jìn)行分析。我們要從數(shù)學(xué)分析的典型問題中學(xué)習(xí)解題方法，歸納出新的方法和技巧。定積分計(jì)算中的換元法與分部積分法是計(jì)算定積分的兩個基本方法。在使用定積分的換元法時，首先要注意這種方法對于變量代換函數(shù)的要求應(yīng)該得到滿足，否則，就會得到錯誤的結(jié)果；其次要注意的是，當(dāng)作了變量代換引入新的積分變量時，定積分的積分上限與積分下限也必須隨之作相應(yīng)的變換，即所謂“換元須同時換限”。運(yùn)用定積分的換元積分法與分

22、部積分法可以得到一些與被積函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的積分公式及一些重要積分的積分值，它們是十分有用的，應(yīng)該熟練掌握。在此基礎(chǔ)上我們再進(jìn)一步研究其深層的意義，我們把有些雖然可積但原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表達(dá)的函數(shù)，或者無法應(yīng)用newtonleibniz公式計(jì)算的函數(shù)，運(yùn)用定積分的積分值估計(jì)的方法進(jìn)行計(jì)算。致 謝本文是在 教授的悉心指導(dǎo)下完成的，他淵博的知識、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目蒲凶黠L(fēng)、認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度是我們畢業(yè)生學(xué)習(xí)的榜樣。從論文的修改到定稿，歐老師都付出了大量的精力和心血，給以我很大的幫助。沒有他的精心指導(dǎo)和幫助，本文是不可能順利完成的。至此論文完成之際，向歐老師致以誠摯的謝意！同時也要感謝在我大學(xué)四年學(xué)習(xí)生活中，數(shù)學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)和老師對我的關(guān)心、教育和培養(yǎng)。參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析m.北京:高等教育出版社,2003. 2 李文榮,分析中的問題研究m.北京:中國工人出版社,2001.3 裴