大學(xué)高等數(shù)學(xué)上冊(cè)1.1 數(shù)列的極限[中小學(xué)堂]

1、第第1 1章章 數(shù)列極限與數(shù)列極限與 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 1課堂特制 “割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又失彌少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，則與圓周合割，則與圓周合 體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣” 引例引例1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)： 播放播放劉徽劉徽 1.1.1 數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義 2課堂特制 R 正六邊形的面積正六邊形的面積 1 A 正十二邊形的面積正十二邊形的面積 2 A 正正 形的面積形的面積 1 26 n n A , 321n AAAA S 3課堂特制 引例引例2 2、截丈問(wèn)題：、截丈問(wèn)題： “一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰

2、，日截其半，萬(wàn)世不竭” ; 2 1 1 X第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為 ; 2 1 2 1 2 2 X為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和 ; 2 1 2 1 2 1 2n n Xn 天截下的杖長(zhǎng)總和為天截下的杖長(zhǎng)總和為第第 n n X 2 1 1 1 4課堂特制 定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號(hào)依次排列的一列數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù) , 21n xxx (1) 稱為稱為無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù) 列的列的項(xiàng)項(xiàng), n x 稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為 n x . 例如例如 ;,2 , 8

3、 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n 5課堂特制 注意：注意： 1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一 動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取., 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 1 1 n )1( 1 n ;, )1( , 3 4 , 2 1 , 2 1 n n n )1( 1 n n n ,333,33, 3 6課堂特制 . )1( 1 1 時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 n n n 播

4、放播放 數(shù)列的極限的定義 7課堂特制 問(wèn)題問(wèn)題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一 確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定? n xn . 1 )1( 1, 1 無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng) n xn n n 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言 刻劃它刻劃它. 1 n x nn n 11 )1( 1 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察: 8課堂特制 , 100 1 給定給定, 100 11 n 由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n, 100 1 1 n x有有 , 1000 1 給

5、定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n , 10000 1 1 n x有有, 10000 1 給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n , 1000 1 1 n x有有 , 0 給定給定 ,) 1 (時(shí)時(shí)只要只要 Nn.1成立成立有有 n x 9課堂特制 定義定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么 小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對(duì)于使得對(duì)于Nn 時(shí)的一切時(shí)的一切 n x, , 不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列 n x的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列 n x收斂于收斂于a, ,記為記為 ,limaxn

6、n 或或).( naxn 如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說(shuō)數(shù)列是就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的發(fā)散的. 注意：注意： ;. 1的無(wú)限接近的無(wú)限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axax nn . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) N 10課堂特制 x 1 x 2 x 2 N x 1 N x 3 x 幾何解釋幾何解釋: 2 a a a .)( ,),(, 落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè) 內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) N aaxNn n :定定義義N 其中其中;:每一個(gè)或任給的每一個(gè)或任給的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 lim0,0,. nn n x

7、aNnNxa 使使恒恒有有 11課堂特制 n 123 1N + + 4 N1N - -2N + + n x a a+ + a- - 3N + +4N + + 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：注意： 幾何解釋幾何解釋: 12課堂特制 例例1. 已知已知, ) 1( n n x n n 證明數(shù)列證明數(shù)列 n x的極限為的極限為1. 證證: 1 n x 1 ) 1( n n n n 1 ,0欲使欲使,1 n x即即, 1 n 只要只要 1 n 因此因此 , 取取, 1 N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 就有就有 (1) 1 n n n + -+ - - N 時(shí)時(shí), 就有

8、就有 0 1n q 故故 0lim 1 n n q . ln ln 1 q n 的極限為的極限為 0 . 1 n q 15課堂特制 2 3ba a b 22 ab n ab ax 1.1.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì) 證證: 用反證法用反證法.axn n lim及及,limbxn n 且且 . ba 取取, 2 ab 因因,limaxn n 故存在故存在 N1 , , 2 ab n ax 從而從而 2 ba n x 同理同理, 因因,limbxn n 故存在故存在 N2 , 使當(dāng)使當(dāng) n N2 時(shí)時(shí), 有有 2 ba n x 定理定理1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一. 使當(dāng)使當(dāng)

9、n N1 時(shí)時(shí), 2 ba 2 ab 2 ab 假設(shè)假設(shè) 22 ab n ab bx n ba x 22 3ab , 2 ab n bx 從而從而 2 ba n x 矛盾矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一因此收斂數(shù)列的極限必唯一. 則當(dāng)則當(dāng) n N 時(shí)時(shí), ,max 21 NNN 取 故假設(shè)不真故假設(shè)不真 ! n x滿足的不等式滿足的不等式 16課堂特制 定理定理2 2 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. . 證證,limaxn n 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取 , 1, axNnN n 時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)則則 . 11axa n 即有 , 1,max 1 axxM N 記 ,Mxn n

10、 皆皆有有則則對(duì)對(duì)一一切切自自然然數(shù)數(shù) .有界有界故故 n x 注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件. 推論推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. . 1 )1( n 雖有界但不收斂雖有界但不收斂 .數(shù)列數(shù)列 17課堂特制 定理定理3. 收斂數(shù)列的保序性收斂數(shù)列的保序性. 證證: 取取,0 2 b- a ，則 11 n,NNN axn有 2 b-a n x0 2 a a .yxn ,bylim,lim nn n nn 時(shí)，有 ，則，且若 N Nbaax n N ， 22 n,NNN byn有， 2 b-a ，從而 2 ba n y時(shí)，所以，當(dāng)maxNn 21 NN

11、 nnnn yxx 2 ba y ，即有 18課堂特制 .bxbxn, b(,lim. 1 nn n ）（或時(shí)，有 ），則或且若推論 NN abaaxn N .byxn, lim,lim.2 nn n aNN byax nn ，則時(shí)，有 ，且若推論 N .0 x0 xn, 0(0,lim.3 nn n ）（或時(shí)，有 ），則或且若推論 NN aaax n N 19課堂特制 1.1.3 1.1.3 收斂數(shù)列的四則運(yùn)算收斂數(shù)列的四則運(yùn)算 定理定理4 . 若,lim,limByAx n n n n 則有 )(lim) 1 ( nn n yx nn n yx lim)2( ,00)3(時(shí)且當(dāng)Byn B

12、A y x n n n lim BA BA 20課堂特制 1.1.4 1.1.4 數(shù)列數(shù)列收斂的判別法收斂的判別法 ).( ,limCClim. 4 nn 為常數(shù)）（推論Cxx nn ).( ,)lim ( )(lim. 5 n k n 為常數(shù)推論kxx k nn 例5.例6 見書。 21課堂特制 azy n n n n limlim)2( 準(zhǔn)則1 (夾逼定理夾逼定理) ),2, 1() 1 (nzxy nnn axn n lim 證證: 由條件 (2) ,0, 1 N 當(dāng) 1 Nn 時(shí), ayn 當(dāng)時(shí), 令 ,max 21 NNN 則當(dāng)Nn 時(shí), 有 ,aya n ,aza n 由條件 (1

13、) nnn zxya a 即,axn故 .limaxn n , 2 N 2 Nn azn 22課堂特制 例例7. 證明1 1 2 11 lim 222 nnnn n n 證證: 利用夾逼準(zhǔn)則 . nnnn n 222 1 2 11 2 2 n n 且 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n 1 n n lim nnnn 222 1 2 11 1 由 nn n n 2 2 lim 2 1 1 lim n n nn n 2 2 1 23課堂特制 準(zhǔn)則2 (單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ) mxxxx nn 121 )(limMaxn n )(limmbxn n x m

14、n x 1n x 1 x 2 x x ( 證明略 ) a b 121nn xxxxM M 1 x 2 x 1n x n x 24課堂特制 例例8. 設(shè), ),2, 1()1 ( 1 nx n n n 證明數(shù)列 n x 極限存在 . 證證: 利用二項(xiàng)式公式 , 有 n n n x)1 ( 1 1 n n 1 ! 12 1 !2 ) 1( n nn 3 1 !3 )2)(1( n nnn n n n nnnn 1 ! ) 1() 1( 11 ) 1( 1 ! 1 nn ) 1( 2 n ) 1( 1 n n )1( 1 !2 1 n )1( 1 !3 1 n )1( 2 n 25課堂特制 11 n

15、 x ) 1( 1 ! 1 nn ) 1( 2 n ) 1( 1 n n )1( 1 !2 1 n )1( 1 !3 1 n )1( 2 n 11 1n x)1( 1 1 !2 1 n )1)(1( 1 2 1 1 !3 1 nn )1()1)(1( 11 2 1 1 ! ) 1( 1 n n nnn 大大 大大 正正 ),2, 1( 1 nxx nn 11)1 ( 1 n n n x !2 1 !3 1 ! 1 n 又 比較可知 26課堂特制 根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列 n x 記此極限為 e , e n n n )1 (lim 1 e 為無(wú)理數(shù) , 其值為 590457182818284. 2

16、e 即 有極限 . 11)1 ( 1 n n n x !2 1 !3 1 ! 1 n 11 2 1 2 2 1 1 2 1 n 又 3 2 1 2 1 1 1 1 n 1 2 1 3 n 1.1.51.1.5 子數(shù)列的子數(shù)列的收斂性收斂性 27課堂特制 * ,ax k n 定理定理7. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 . 證證: 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 k n x是數(shù)列是數(shù)列 n x的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列 . 若若 ,limax n n 則則 ,0 ,N 當(dāng)當(dāng) Nn 時(shí)時(shí), 有有 axn 現(xiàn)取正整數(shù)現(xiàn)取正整數(shù) K , 使使 ,NnK 于是當(dāng)于是當(dāng) Kk 時(shí)時(shí), 有

17、有 k n K n N 從而有從而有 由此證明由此證明 .limax k n k * N K n N x K n x 28課堂特制 由此性質(zhì)可知由此性質(zhì)可知 , 若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極 限限 , 例如，例如， ),2, 1() 1( 1 nx n n ; 1lim 12 k k x1lim 2 k k x 發(fā)散發(fā)散 ! 則原數(shù)列一定發(fā)散則原數(shù)列一定發(fā)散 . 說(shuō)明說(shuō)明: 定理定理9. 9. 任意有界數(shù)列必有收斂的子數(shù)列。任意有界數(shù)列必有收斂的子數(shù)列。 （證明略）（證明略） 29課堂特制 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 如何判斷極限不存在? 方法1. 找一個(gè)趨

18、于的子數(shù)列; 方法2. 找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列. 2. 已知),2, 1(21,1 11 nxxx nn , 求 n n x lim 時(shí), 下述作法是否正確? 說(shuō)明理由. 設(shè),limaxn n 由遞推式兩邊取極限得 aa211a 不對(duì)不對(duì)!此處 n n xlim 30課堂特制 故極限存在， 備用題備用題 1.1.設(shè) )( 2 1 1 n nn x a xx ),2,1(n ,0a ,0 1 x, 且 求.lim n n x 解：解： 設(shè) Axn n lim 則由遞推公式有 )( 2 1 A a AAaA )( 2 1 1 n nn x a xx n x n x a a n n x x 1

19、 )1( 2 1 2 n x a )1( 2 1 a a 1 數(shù)列單調(diào)遞減有下界， ,0 1 x故axn n lim 利用極限存在準(zhǔn)則 ,0 n x 31課堂特制 2. 設(shè), ),2, 1(0iai 證證: 顯然, 1 nn xx 證明下述數(shù)列有極限 . )1 ()1)(1 ()1)(1 (1 2121 2 1 1 n n aaa a aa a a a n x ),2, 1(n 即 n x 單調(diào)增, 又 n k k k n aa a x 1 1 )1 ()1 ( 1 1 1 1 a 1(1) n k k aa2 11 )1 ()1 ( 1 )1 ()1 ( 1 1k aa )1 ()1 ( 1

20、 1 1n aa 1 n n x lim存在 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 法法 32課堂特制 劉徽劉徽(約約225 295年年) 我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家. 他撰寫的重 差對(duì)九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評(píng) 注, 指出并糾正了其中的錯(cuò)誤 , 在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) . 他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率 “ 割之彌細(xì)割之彌細(xì) , 所失彌小所失彌小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 , 則與圓合體而無(wú)所失矣則與圓合體而無(wú)所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精確用近似逼近精確”的重要 極限思想 . 的方法 : 33課堂特制 柯西柯西(17

21、89 1857) 法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中 在微積分學(xué), 柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無(wú)窮小分析概論, 微積 分在幾何上的應(yīng)用 等, 有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) . 對(duì)數(shù)學(xué)的影 他是經(jīng)典分析的奠人之一, 他為微積分 所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 34課堂特制 1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)： “割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又失彌少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，則與圓周合割，則與圓周合 體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣” 劉徽劉徽 35課堂特制 1

22、1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)： “割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又失彌少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，則與圓周合割，則與圓周合 體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣” 劉徽劉徽 36課堂特制 “割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又失彌少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，則與圓周合割，則與圓周合 體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣” 1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)： 劉徽劉徽 37課堂特制 “割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又失彌少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，則與圓周合割，則與圓周合 體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣” 1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)： 劉徽劉徽 38課堂特制 “割之彌細(xì)

23、，所割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又失彌少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，則與圓周合割，則與圓周合 體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣” 1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)： 劉徽劉徽 39課堂特制 “割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又失彌少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，則與圓周合割，則與圓周合 體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣” 1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)： 劉徽劉徽 40課堂特制 “割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又失彌少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，則與圓周合割，則與圓周合 體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣” 1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)： 劉徽劉徽 41課堂特制 “割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又失彌少，割之