全國(guó)高考所有的數(shù)學(xué)公式

1、 2016 年普通高中全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)必背定理、公式1 元素與集合的關(guān)系:x a xc a,ua ,a , ,a 的子集個(gè)數(shù)共有22 -1n2 -1n2 - 2個(gè)；非空的真子集有 個(gè).2 集合個(gè)；真子集有個(gè)；非空子集有nn123 二次函數(shù)的解析式的三種形式：n(x) = ax + bx + c(a 0)(1) 一般式 f(2) 頂點(diǎn)式 f(3) 零點(diǎn)式 f;2(x) = a(x - h) + k(a 0);（當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k) 時(shí)，設(shè)為此式）2(x) = a(x - x )(x - x )(a 0)(x ,0),( x ,0)；（當(dāng)已知拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)為此式）相切

2、且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1212(x) = a(x - x ) + (kx + d), (a 0)y = kx + d。（當(dāng)已知拋物線與直線（4）切線式： f20x 時(shí)，設(shè)為此式）04 真值表：同真且真，同假或假5 常見結(jié)論的否定形式;原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有（n至少有（n都是不都是大于不大于至少有 個(gè)n小于對(duì)所有 x ，成立pp或 q且 q對(duì)任何 x ，不成立 存在某 x ，成立p q或6 四種命題的相互關(guān)系(下圖):（原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.）原命題若則互逆逆命題若則互否互互否為逆為逆互否否否命題若非則非逆否命題若非則非互逆 q q充要條件

3、： (1)、 p（2）、 p，則 p是 q的充分條件，反之，q是 p的必要條件；，且 q p，則 p是 q的充分不必要條件；(3)、p p ，且 q p，則 p是 q的必要不充分條件；4、p p ，且 q p，則 p是 q的既不充分又不必要條件。7 函數(shù)單調(diào)性:增函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨 x的增大而增大。x , x d,且x x（2）、數(shù)學(xué)符號(hào)表述是：設(shè) f（x）在 x d上有定義，若對(duì)任意的，都有2121f (x ) f (x )成立，則就叫 f（x）在 x d上是增函數(shù)。d則就是 f（x）的遞增區(qū)間。12減函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨 x的增大而減小。x , x d,且x f (x

4、 )成立，則就叫 f（x）在 x d上是減函數(shù)。d則就是 f（x）的遞減區(qū)間。21單調(diào)性性質(zhì)：(1)、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；（2）、減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；(3)、增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；(4)、減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號(hào)左邊兩個(gè)函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào) 單調(diào)性內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復(fù)合函數(shù)等價(jià)關(guān)系： , x a,b , x x(1)設(shè) x那么1212 f(x ) - f (x )(x - x ) f (x ) - f (x ) 0 12 0 f (x)在 a,b上是增函數(shù)；x- x121212f (x ) - f (x )

5、(x - x ) f (x ) - f (x ) 0 1 0f (x)f (x) 0和 x0和 x0oxa1oxo1x1a0y=kx+ba1y=ax2+bx+coxa b2y f (x) x r(f(x a) f (b x)恒成立 ,則函數(shù) f(x)的對(duì)稱軸是 x11 對(duì)于函數(shù)),; 兩個(gè)函數(shù)b ay f(x a) y f(b x) 的圖象關(guān)于直線x與對(duì)稱.212 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的性質(zhì)：m(1)aam （a 0,m ,n n ，且n 1）.nn11mn（2）a（a 0,m ,n n ，且n 1）.mamnan( a) a.（3）nna,a 0na a na |a |；當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，n n（4

6、）當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，n na ,a 0.log n b a n (a 0,a 1,n 0)13 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式:ba.指數(shù)性質(zhì)：1aa 1 a 0a） ； (3)、 mn(a )m n(1)1、 p；（2）、 0（apma a a (a 0 ,r,s q) ； (5)、aam(4)、 rsr sn；n指數(shù)函數(shù)：y a (a 1)(1)、x在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；y a (0 a 1)（2）、x在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注： 指數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(diǎn)（0，1）對(duì)數(shù)性質(zhì)：mlog m log n log (mn )log m log n loga(1)、(3)、；（2 ）、；naaaaanmlo

7、g b m log blog bmlog balog 1 0； (5)、m；(4)、naaaalog a 1ab(6)、對(duì)數(shù)函數(shù)：(1)、；(7)、log baay log x(a 1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；ay log x(0 a 1)（2）、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注： 對(duì)數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(diǎn)（1，0）a3 log x 0 a, x(0,1)或a, x( 1, +)(3)、a(4)、log x 0).a m ,且 m mlog aam= n(a 0 ,且 a 1, n 0 ).對(duì)數(shù)恒等式：alogannlog b = log b0 ,且 a 1,n 0).推論(anm15對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算

8、法則:若 a0，a1，m0，n0，則aamm(1)log (mn) = log m + log n;(2)log= logm n ;- lognaaaaaanlog m = nlog m (n r)log= log ( , )(3)16 平均增長(zhǎng)率的問題（負(fù)增長(zhǎng)時(shí) p 0）：如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為 n，平均增長(zhǎng)率為 p ，則對(duì)于時(shí)間 的總產(chǎn)值 y ，有 y;(4)nn n m r 。nnmaaaam= n(1+ p).xx17 等差數(shù)列：= a + (n -1 )daan通項(xiàng)公式： （1） a，其中 為首項(xiàng)，d為公差，n為項(xiàng)數(shù)， 為末項(xiàng)。n11= a + (n - k)d（2）推廣： ank=

9、 s - s (n 2)（3） a前 n項(xiàng)和： （1） s（2） s（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）nnnnn-1n(a + a )=a1a；其中 為首項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù)， 為末項(xiàng)。1n2nn(n -1)= na +d21= s + a (n 2)（3） s（4） s（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）nn-1n= a + a + + an12n+ a = a + a常用性質(zhì)：（1）、 若 m+n=p+q ，則有 a；mnpq是a ,a的等差中項(xiàng)，則有 2a = a + a n、m、p成等差。注：若 amnpmnp b（2）、若 a 、 b 為等差數(shù)列，則 a為等差數(shù)列。nnn

10、n ,s - s ,s - s（3）、 a 為等差數(shù)列，s 為其前 n項(xiàng)和，則s也成等差數(shù)列。nm2mm3m2mn=qa, =p ,a 則 = 0（4）、 a；pqpq+n(n +1)（5） 1+2+3+n=等比數(shù)列：24 a= a q = q (n n )，其中 a 為首項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù)，q為公比。通項(xiàng)公式：（1） an-11n*n1q1= a qn-k（2）推廣：ank= s - s (n 2)（3） a（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）nnn-1= s + a (n 2)前 n項(xiàng)和：（1） snn-1n= a + a + + a（2）

11、sn12nna(q =1)(q 1)1（3） s a (1- q=)nn11- qa = a a常用性質(zhì)：（1）、若 m+n=p+q ，則有 a；mnpq是a ,aa = a a n、m、p成等比。注：若 a的等比中項(xiàng)，則有2mnpmnp b（2）、若 a 、 b 為等比數(shù)列，則 a為等比數(shù)列。nnnnab(1+ b)n18分期付款(按揭貸款) ：每次還款 x =元(貸款 a 元,n 次還清,每期利率為b ).(1+ b) -1n19三角不等式：p(0, )sin tanx x x .（1）若 x(2) 若 x，則2p(0, ) ，則1 0,b 0,c 0).333- b a + b a +

12、b（4） a.2aba + ba + b22 ab （5）(當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取“=”號(hào))。a + b22, y39極值定理:已知 x 都是正數(shù)，則有= yx + y2 p有最小值 ；（1）若積 xy 是定值 p ，則當(dāng) x時(shí)和1時(shí)積 xy 有最大值 s .+ ys x = y是定值 ，則當(dāng)2（2）若和 x4（3）已知a,b, x, y r+ ，若ax + by =1則有1 11 1by ax+ = (ax + by)( + ) = a + b + + a + b + 2 ab = ( a + b)2 。x yx yxya b+ =1x y（4）已知a,b, x, y r+ ，若則有a bay

13、bxx + y = (x + y)( + ) = a + b + + a + b + 2 ab = ( a + b)2x yxy+ bx + c 0(或 0)ax + bx + c40 一元二次不等式ax兩根之外；如果a 與 ax，如果a 與同號(hào)，則其解集在222+ bx + c2異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.即：7 x x x (x - x )(x - x ) 0(x x )；121212x x (x - x )(x - x ) 0(x 0時(shí)，有12x a x a -a x a x a x a 或 x 2 ，則d r若 d點(diǎn) 在圓外;p2008 d = r 點(diǎn)

14、 p 在圓上;49 直 線 與 圓 的 位 置 關(guān) 系 ： 直 線 axaa + bb + cd r 相離 d 0; d = r 相切 d = 0 ; d 0 .= d50 兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為 o ，o ，半徑分別為 r ，r ， o o，則：121212d r + r 外離 4條公切線;12d = r + r 外切 3條公切線;12r - r d r + r 相交 2條公切線;1212d = r - r 內(nèi)切 1條公切線;120 d b 0)e = = 1-51 橢圓的參數(shù)方程是. 離心率，y = bsinqa b22aa2a2cb2=準(zhǔn)線到中心的距離為，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線

15、的距離(焦準(zhǔn)距) p。cb2過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通經(jīng)，其長(zhǎng)度為：2.ax2y2+ =1(a b 0)52 橢圓焦半徑公式及兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積:a b22aaf pf22pf = e(x + ) = a + ex ， pf = e( - x) = a - ex ； s= c | y |= b tan21。21c53 橢圓的的內(nèi)外部:2cdf pf21px2yx202y2022(x , y )+ =1(a b 0) + b 0) + 10200a2b2ab54 橢圓的切線方程:x2yx x y y2+ =1(a b 0)p(x , y )處的切線方程是0+=1.(1) 橢圓上一點(diǎn)0

16、a b2200a2b2x y2x x y y2+ =1p(x , y )所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是0+=1.（2）過橢圓外一點(diǎn)0a b2200a2b2x2y2+ =1(a b 0)+ + = 0與直線 ax by ca a + b b = c（3）橢圓相切的條件是22222 .a b22x2ycb2a2c2- =1(a 0,b 0)e = = 1+55 雙曲線的離心率，準(zhǔn)線到中心的距離為，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距a b22aa2b2cb2=。過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通經(jīng)，其長(zhǎng)度為：2離(焦準(zhǔn)距) p.aaa22=| e(x + ) |=| a + ex | pf =| e( - x) |=| a -

17、 ex |焦半徑公式 pf，1c2cf pf= b cot兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積s。212df pf219 56 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系:x22y22x2y2ba-= 1 漸近線方程： - = 0 (1）若雙曲線方程為= x .yab2a b2x yx22y2ba = 0 a b-= l .(2)若漸近線方程為 = 雙曲線可設(shè)為yxab2x22y22x22y22-= 1有公共漸近線，可設(shè)為-= l(3)若雙曲線與aba，焦點(diǎn)在 y軸上）.bl 0，焦點(diǎn)在 x軸上，l 0,b 0)p(x , y )處的切線方程是0-=1.(1)雙曲線上一點(diǎn)0a b2200a2b2x y2x x

18、y y2- =1p(x , y )所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是0-=1.(2)過雙曲線外一點(diǎn)0a b2200a2b2x y22- =1ax + by + c = 0a a - b b = c（3）雙曲線與直線相切的條件是22222 .a b2258拋物線 y2 = 2px的焦半徑公式:p= 2px(p 0)= +拋物線 y焦半徑 cf x.220pp= x + + x + = x + x + p過焦點(diǎn)弦長(zhǎng) cd.221212b4ac-b24a= ax +bx+c = a(x+ ) +(a 0)的圖象是拋物線：59二次函數(shù) y222ab 4ac -b2b 4ac -b +12(- ,)(- ,)；

19、（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3）準(zhǔn)線方程是 y；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2a4a2a4a4ac -b -12=.4a= (x - x ) + (y - y )60 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 ab221212= (1+ k )(x + x ) - 4x x =| x - x | 1+ tana =| y - y | 1+ cot a2或 ab22221211212y = kx + b(x , y ), b(x , y )ax2 + bx + c = 0（弦端點(diǎn) a，由方程消去 y得到f(x, y) = 01122d 0 a, 為直線abk| - |= ( + ) - 4x x x x .的傾斜角， 為直線的

20、斜率， x x212121 261證明直線與平面的平行的思考途徑:（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.62證明直線與平面垂直的思考途徑:（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面。63證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；(3) 轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。10 64 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：(a ,a ,a ) b (b ,b ,b )則：設(shè) a ， 123123(a + b ,a + b ,

21、a + b )(1) a b (2) a b ；112233(a -b ,a -b ,a -b )112233(la ,la ,la )(3) a ( r)；123+ a b + a b(4) a b a b1 1；2 23 365 夾角公式：a b + a b + a b(a ,a ,a ) b (b ,b ,b )a bcos =設(shè) a ， ，則.1 12 23 3123123+ + +a a a b b b21222321222366 異面直線間的距離 ：| cdn |d =,ln c、d l ,ld l ,l上任一點(diǎn)， 為 間的距離).(l 是兩異面直線，其公垂向量為 ，是| n |1

22、2121267點(diǎn) 到平面a 的距離：b| abn |aa=d（ n 為平面 的法向量， a a ， 是 的一條斜線段）.ab| n |4=r3,其表面積s= 4p r 268球的半徑是 r，則其體積v69球的組合體：(1)球與長(zhǎng)方體的組合體: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).p3(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).6(3)球與正四面體的組合體: 棱長(zhǎng)為a 的正四面體的內(nèi)切球的半徑為 12a6166 3a的 ).3 4(正四面體高a的 ),外接球的半徑為a(正四面體高344

23、= m + m + + m70 分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）： n.12nn = m m m分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：.12nn！(n-1)l(n-m+1)=.(n ， m n，且m n )規(guī)定0!= 1.71排列數(shù)公式 ： a =nm*(n - m)！n(n-1) (n-m+1)n！m！(n-m)！a nmnaml n( n， mn*，且m n ).72 組合數(shù)公式：c =m12 mlnm組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):(1)c =c;(2) c +cm-1 =c .規(guī)定c0=1.mn-mmmnnnnn+1n(a + b) = c a + c a b + c a b + + c a b + + c bll73

24、 二項(xiàng)式定理01n-12n-22n-rn ;nnrrnnnnnn= c a b (r = 0，1，2l，n)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式t.rn r-rr+1nf (x) = (ax +b) = a + a x + a x + + a x 的展開式的系數(shù)關(guān)系：n2n012na + a + a + + a = f (1)； a - a + a + + (-1) a = f (-1)； a = f (0) 。274 互斥事件 a，b分別發(fā)生的概率的和：p(ab)=p(a)p(b)n01n0120nn 個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和：p(a a a )=p(a )p(a )p(a )1 275 獨(dú)立事件 a，

25、b同時(shí)發(fā)生的概率：p(ab)= p(a)p(b).n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：p(a a a )=p(a ) p(a ) p(a )n12n12n12n(k) = c p (1- p) .76 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生 k次的概率： pkkn-knn= x p + x p + + x p +77 數(shù)學(xué)期望： ex1 12 2n n11 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1） e(ax + b) = ae(x) + bx b(n, p). （2）若 e = np,則 x.1x(x = ) = ( , ) =k g k p qk-1 p，則 ex=(3) 若 服從幾何分布,且 p.p()2()2()x p + + x - e p +xxx= x - e p + x - e78 方差： d21122nn標(biāo)準(zhǔn)差：sx = dx .方差的性質(zhì)：( )xx；+b = a d(1) d a2(2）若 b n p ，則 dx np p .= (1- )x( , )qx(x = ) = ( , ) =k g k p qk-1 p ，則 dx=(3) 若 服從幾何分布,且 p.p2( )xxx= e - e方差與期望的關(guān)系： d22.( m)12( )x-()x - +，=e-,7