多邊形知識點整理原版講解

1、 多邊形知識點整理 一選擇題（共 6 小題） 1如果一個正多邊形的中心角為72，那么這個多邊形的邊數(shù)是（） A4 B 5C 6 D7 2如圖， P 為平行四邊形 ABCD 的對稱中心，以 P 為圓心作圓，過 P 的任意直線與圓相交 于點 M ， N 則線段 BM ， DN 的大小關(guān)系是（ ） ABMDN B BMDN B BMDN C BM=DN D 無法確定 【考點】 平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 【分析】 根據(jù) P為平行四邊形 ABCD 的對稱中心，可推出 DNP BMP ，從而可得到 BM=DN 【解答】 解：如圖，連接 BD ， P是?ABCD 的對稱中心，則 P是平行四邊

2、形兩對角線的交點，即 BD 必過點 P， DP=BP ，圓的半徑 PN=PM ，由對頂角相等 DPN= BPM ， PM=PN ， PD=PB DNP BMP ， BM=DN 故選 C 【點評】 平行四邊形的對稱中心是兩條對角線的交點， 考查了學生對平行四邊形性質(zhì)的掌握 及全等三角形的判定定理 3下述美妙的圖案中，是由正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形中的三種鑲嵌而成的 為（ ） 第7 頁（共 24頁） 【考點】 平面鑲嵌（密鋪） 【分析】 幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是： 圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組 成一個周角 【解答】 解： A 、從一個頂點處看，由正六邊形和正三角形鑲嵌而

3、成的； B、從一個頂點處看，由正方形和正三角形鑲嵌而成的； C、從一個頂點處看，由正八邊形和正方形鑲嵌而成的； D、從一個頂點處看，由正三角形、正方形、正六邊形三種鑲嵌而成的 故選 D 【點評】 解決本題的關(guān)鍵是應(yīng)從一個頂點處看是由哪幾種正多邊形鑲嵌而成的 4（ 2010?黔南州）如圖，已知等邊三角形ABC 的邊長為 2，DE 是它的中位線，則下面四 個結(jié)論： （1） DE=1 ； （2） AB 邊上的高為； （3）CDE CAB； （4）CDE 的面積與 CAB 面積之比為 1：4 其中正確的有（ ） A1 個 B2 個 C3 個 D 4 個 【考點】 三角形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì)；

4、平行線分線段成比例；相似三角形的判定 與性質(zhì) 【專題】 壓軸題 【分析】 根據(jù)圖形，利用三角形中位線定理，可得DE=1 ，（1）成立； AB 邊上的高，可利 用勾股定理求出等于，（2）成立； DE 是CAB 的中位線，可得 DE AB ，利用平行線 分線段成比例定理的推論，可得 CDE CAB ，（ 3）成立；由 CDE CAB ，且相似 比等于 1：2，那么它們的面積比等于相似比的平方，就等于1：4，（ 4）也成立 解答】 解： DE是它的中位線， DE= AB=1 ，故（ 1）正確， DE AB ， CDE CAB ，故（ 3）正確， 22 =邊長 sin60=2 ，故（ 2）正確 SCD

5、E： S CAB =DE ：AB =1：4，故（ 4）正確， 等邊三角形的高 故選 D 第8 頁（共 24頁） 【點評】 本題利用了： 1、三角形中位線的性質(zhì)； 2、相似三角形的判定：一條直線與三角形 一邊平行，則它所截得三角形與原三角形相似；3、相似三角形的面積等于對應(yīng)邊的比的平 方； 4、等邊三角形的高 = 邊長 sin60 5（ 2011?安徽）如圖， D 是ABC 內(nèi)一點， BD CD， AD=6 ，BD=4 ，CD=3，E、F、G、 H 分別是 AB 、AC 、CD、 BD 的中點，則四邊形 EFGH 的周長是 考點】 專題】 C10 三角形中位線定理； 計算題 D11 勾股定理 分

6、析】 根據(jù)勾股定理求出 BC 的長，根據(jù)三角形的中位線定理得到 HG= BC=EF ， EFGH 的周長 EH=FG= AD，求出 EF、 HG 、EH 、 FG 的長，代入即可求出四邊形 【解答】 解： BD DC ， BD=4 ， CD=3 ，由勾股定理得： BC= =5， E、F、G、H 分別是 AB 、AC、CD、BD 的中點， HG= BC=EF，EH=FG= AD ， AD=6 ， EF=HG=2.5 ， EH=GF=3 ， 四邊形 EFGH 的周長是 EF+FG+HG+EH=2 （ 2.5+3）=11 故選 D 【點評】 本題主要考查對勾股定理， 三角形的中位線定理等知識點的理解

7、和掌握， 能根據(jù)三 角形的中位線定理求出 EF、HG、EH、FG 的長是解此題的關(guān)鍵 6（ 2009?衢州）在 ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 邊上的高將 ABC 按 如圖所示的方式折疊，使點 A 與點 D 重合，折痕為 EF，則 DEF 的周長為（） 考點】 三角形中位線定理；翻折變換（折疊問題） 專題】 壓軸題 第9 頁（共 24頁） 【分析】 根據(jù)折疊圖形的對稱性， 易得EDF EAF，運用中位線定理可知 AEF 的周長 等于 ABC 周長的一半，進而 DEF 的周長可求解 【解答】 解： EDF 是 EAF 折疊以后形成的圖形， EDF EAF， AEF=

8、DEF， AD 是 BC 邊上的高， EFCB， 又 AEF= B， BDE= DEF ， B=BDE ， BE=DE ， 同理， DF=CF ， EF 為 ABC 的中位線， DEF 的周長為 EAF 的周長，即 AE+EF+AF= （AB+BC+AC ）= （ 12+10+9）=15.5 故選： D 【點評】 本題考查了中位線定理，并涉及到圖形的折疊，認識到圖形折疊后所形成的圖形 AEF 與 DEF 全等是解題的關(guān)鍵 填空題（共 12 小題） 7（2009?山西）如圖， ?ABCD 的對角線 AC，BD 相交于點 O，點 E是 CD 的中點， ABD 8 cm 考點】 三角形中位線定理；平

9、行四邊形的性質(zhì) 專題】 幾何圖形問題 BC=AD ，DC=AB ，DO=BO ， 8cm 分析】 根據(jù)平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得， E 點是 CD 的中點，可得 OE 是DCB 的中位線，可得 OE= BC 從而得到結(jié)果是 【解答】 解：四邊形 ABCD 是平行四邊形， O 是 BD 中點， ABD CDB， 又E是CD 中點， OE 是 BCD 的中位線， OE= BC ， 即 DOE的周長 = BCD 的周長， DOE 的周長 = DAB 的周長 DOE 的周長 = 16=8cm 第 10 頁（共 24 頁） 故答案為： 8 點評】 本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線

10、的性質(zhì)的應(yīng)用 8（ 2012?大連）已知 ABC 中，D、E 分別是 AB、AC 邊上的中點，且 DE=3cm ，則 BC= 6 cm 【考點】 三角形中位線定理 【分析】 由 D，E分別是邊 AB，AC 的中點，首先判定 DE 是三角形的中位線，然后根據(jù)三 角形的中位線定理求得 BC 的值即可 【解答】 解： ABC 中，D、E 分別是 AB 、AC 邊上的中點， DE 是三角形的中位線， DE=3cm ， BC=2DE=6cm 故答案為： 6 【點評】 本題重點考查了中位線定理， 中位線是三角形中的一條重要線段， 由于它的性質(zhì)與 線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中

11、有著廣泛的應(yīng)用 9（ 2012?肇慶）菱形的兩條對角線長分別為6和 8，則這個菱形的周長為20 【考點】 菱形的性質(zhì)；勾股定理 【分析】 根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)， 利用對角線的一半， 根據(jù)勾股定理求出菱 形的邊長，再根據(jù)菱形的四條邊相等求出周長即可 【解答】 解：如圖所示， 根據(jù)題意得 AO= 8=4 ，BO= 6=3， 四邊形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=DA ，AC BD， AOB 是直角三角形， AB=5， 此菱形的周長為： 54=20 【點評】 本題主要考查了菱形的性質(zhì)， 利用勾股定理求出菱形的邊長是解題的關(guān)鍵， 同學們 也要熟練掌握菱形的性質(zhì)： 菱形的四條邊都相

12、等； 菱形的兩條對角線互相垂直，并且 每一條對角線平分一組對角 第 11 頁（共 24 頁） 10DE是ABC的中位線，則 ADE 與ABC 的面積之比是 【考點】 三角形中位線定理 【分析】 根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得 ADE 的底邊 DE= BC ，DE 邊上的高等于 ABC 的邊 BC 上的高的一半，然后解答即可 【解答】 解： DE 是 ABC 的中位線， DE= BC ， DE 邊上的高等于 ABC 的邊 BC 上的高的一半， ADE 與 ABC 的面積之比是 故答案為： 【點評】 本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半， 熟記定理以及分

13、 成的三角形的基礎(chǔ)知識需熟記 11（2013?十堰）如圖，?ABCD 中，ABC=60 ，E、F分別在 CD和 BC的延長線上，AEBD， EF BC，EF= ，則 AB 的長是 1 【考點】 平行四邊形的判定與性質(zhì)；含30 度角的直角三角形；勾股定理 【分析】 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出 AB=CD ，AB CD，得出平行四邊形 ABDE ，推出 DE=DC=AB ，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出 CE 長，即可求出 AB 的長 【解答】 解：四邊形 ABCD 是平行四邊形， AB DC ，AB=CD ， AE BD ， 四邊形 ABDE 是平行四邊形， AB=DE=CD ， 即 D 為 CE 中點，

14、EFBC， EFC=90 ， AB CD ， DCF= ABC=60 ， CEF=30 ， EF= ， CE=2， AB=1 ， 故答案為： 1 第 12 頁（共 24 頁） 【點評】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)， 勾股定理，直角三角形斜邊上 中線性質(zhì)，含 30 度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，此題綜合性比較強，是一道比較 好的題目 12（ 2015?遂寧）一個 n 邊形的內(nèi)角和為 1080，則 n= 8 【考點】 多邊形內(nèi)角與外角 【分析】 直接根據(jù)內(nèi)角和公式（ n 2）?180計算即可求解 【解答】 解：（n 2）?180=1080， 解得 n=8 【點評】 主要考查

15、了多邊形的內(nèi)角和公式多邊形內(nèi)角和公式：（ n2） 13（2007?懷化） 如圖， 將一張等腰直角三角形紙片沿中位線剪開可以拼成不同形狀的四邊 形，請寫出其中一種四邊形的名稱 平形四邊形或等腰梯形或矩形 專題】 開放型 分析】 讓相等邊重合，動手操作看拼合的形狀即可 如圖：可知可拼成平行四邊形、等腰梯形和矩形三種不同的形狀 【點評】 這是一道生活聯(lián)系實際的問題， 不僅要用到等腰直角三角形及其中位線的性質(zhì)、 等 腰梯形、矩形的性質(zhì)、還鍛煉了學生的動手能力 14如圖，在四邊形 ABCD 中， E、F、G、H 分別是 AB 、BD、CD、AC 的中點，要使四 邊形 EFGH 是菱形，四邊形 ABCD

16、還應(yīng)滿足的一個條件是 AD=BC 或 ABCD 是以 AD 、 BC 為腰的等腰梯形（答案不唯一） 【考點】 菱形的判定；三角形中位線定理 【專題】 開放型 【分析】 菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法： 定義； 第 13 頁（共 24 頁） 四邊相等； 對角線互相垂直平分據(jù)此四邊形 ABCD 還應(yīng)滿足的一個條件是 AD=BC 等答案不 唯一 【解答】 解：條件是 AD=BC EH、GF 分別是 ABC 、BCD 的中位線， EH = BC，GF= BC， EH =GF ， 四邊形 EFGH 是平行四邊形 要使四邊形 EFGH 是菱形，則要使 AD=BC ，這樣， G

17、H= AD ， GH=GF ， 四邊形 EFGH 是菱形 【點評】 此題主要考查三角形的中位線定理和菱形的判定 15（2011?無錫）如圖，在 Rt ABC 中，ACB=90，D、E、F分別是 AB 、BC 、 CA 的 中點，若 CD=5cm ，則 EF= 5 cm 【考點】 三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線 【分析】 已知 CD 是 RtABC 斜邊 AB 的中線，那么 AB=2CD ；EF 是ABC 的中位線， 則 EF 應(yīng)等于 AB 的一半 【解答】 解： ABC 是直角三角形， CD 是斜邊的中線， CD= AB ， 又 EF 是 ABC 的中位線， AB=2CD=2 5=1

18、0cm， EF= 10=5cm 故答案為： 5 第 14 頁（共 24 頁） 2）三角形的中位 【點評】 用到的知識點為： （ 1）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半； 線等于對應(yīng)邊的一半 16（ 2011?上海）如圖， AB、AC 都是圓 O 的弦， OM AB ，ON AC ，垂足分別為 M、N， 如果 MN=3 ，那么 BC= 6 【考點】 三角形中位線定理；垂徑定理 【分析】由 AB、AC 都是圓 O的弦， OM AB ，ON AC ，根據(jù)垂徑定理可知 M、N為 AB、 AC 的中點，線段 MN 為 ABC 的中位線，根據(jù)中位線定理可知 BC=2MN 【解答】 解： AB 、AC 都是

19、圓 O 的弦， OMAB ，ONAC， M、N為 AB、AC 的中點，即線段 MN 為ABC 的中位線， BC=2MN=6 故答案為： 6 【點評】 本題考查了垂徑定理， 三角形的中位線定理的運用 關(guān)鍵是由垂徑定理得出兩個中 點 17（ 2011?金華）如圖，在?ABCD 中，AB=3 ，AD=4 ，ABC=60 ，過BC 的中點 E作 EFAB ， 垂足為點 F，與 DC 的延長線相交于點 H，則 DEF 的面積是 【考點】 平行四邊形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；三角形的面積；三角形內(nèi)角和定理；含 30 度 角的直角三角形；勾股定理 【專題】 計算題 【分析】 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到 AB=CD

20、=3 ，AD=BC=4 ，求出 BE、BF 、EF，根據(jù)相似 得出 CH=1 ，EH= ，根據(jù)三角形的面積公式求 DFH 的面積，即可求出答案 【解答】 解：四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD=BC=4 ，ABCD ， AB=CD=3 ， E 為 BC 中點， BE=CE=2 ， B=60，EFAB ， FEB=30 ， BF=1 ， 由勾股定理得： EF= ， AB CD ， 第 15 頁（共 24 頁） BFE CHE， = = = =1， ， EF=EH=， CH=BF=1 ， SDHF= DH ?FH= （1+3）2 =4 ， SDEF= S DHF=2 ， 故答案為： 2 【點評

21、】 本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，含 30 度角的直角 三角形， 三角形的面積， 三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握， 能綜合運用這些性質(zhì) 進行計算是解此題的關(guān)鍵 18（2012?安徽）如圖，P 是矩形 ABCD 內(nèi)的任意一點， 連接 PA、PB、PC、PD，得到 PAB、 PBC、PCD、PDA ，設(shè)它們的面積分別是 S1、S2、S3、S4，給出如下結(jié)論： S1+S2=S3+S4； S2+S4=S1+S3； 若 S3=2S1，則 S4=2S2； 若 S1=S2，則 P點在矩形 的對角線上 其中正確的結(jié)論的序號是 和 （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上） 考點】

22、矩形的性質(zhì) 專題】 壓軸題 分析】 根據(jù)三角形面積求法以及矩形性質(zhì)得出S1+S3= 矩形 ABCD 面積，以及 = ， = ，即可得出 P點一定在 AC 上 【解答】 解：如右圖，過點 P 分別作 PFAD 于點 F，PEAB 于點 E， APD 以 AD 為底邊， PBC以 BC 為底邊， 此時兩三角形的高的和為 AB ，即可得出 S1+S3= 矩形 ABCD 面積； 同理可得出 S2+S4= 矩形 ABCD 面積； S2+S4=S1+S3（故 正確）； 當點 P 在矩形的兩條對角線的交點時， S1+S2=S3+S4但 P 是矩形 ABCD 內(nèi)的任意一點，所 以該等式不一定成立 （故 不一定

23、正確） ； 若 S3=2S1，只能得出 APD 與PBC 高度之比， S4 不一定等于 2S2；（故 錯誤）； 第 16 頁（共 24 頁） APD 與 PBA 高度之比為：= ， DAE= PEA= PFA=90 ， 四邊形 AEPF 是矩形， 此時矩形 AEPF 與矩形 ABCD 相似， =， = ， P 點在矩形的對角線上 （故 選項正確） 故答案為： 和 = 是解題關(guān) 【點評】 此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形面積求法，根據(jù)已知得出 鍵 三解答題（共 7 小題） 19（2011?南京）如圖，將 ?ABCD 的邊 DC 延長到點 E，使 CE=DC ，連接 AE，交 BC 于 點 F

24、（1）求證： ABF ECF； （2）若 AFC=2 D，連接 AC 、BE ，求證：四邊形 ABEC 是矩形 【考點】 平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定 【專題】 證明題 【分析】（1）先由已知平行四邊形 ABCD 得出 AB DC，AB=DC ，? ABF=ECF，從而 證得 ABF ECF； （2）由（ 1）得的結(jié)論先證得四邊形 ABEC 是平行四邊形， 通過角的關(guān)系得出 FA=FE=FB=FC ， AE=BC ，得證 【解答】 證明：（ 1）四邊形 ABCD 是平行四邊形， AB DC ，AB=DC ， ABF= ECF， EC=DC ， AB=EC ， 在

25、ABF 和ECF 中， 第 17 頁（共 24 頁） ABF= ECF， AFB= EFC，AB=EC ， ABF ECF（ AAS ） （2） AB=EC ，AB EC， 四邊形 ABEC 是平行四邊形， FA=FE ，F(xiàn)B=FC ， 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ABC= D ， 又 AFC=2 D， AFC=2 ABC ， AFC= ABC+ BAF， ABC= BAF ， FA=FB ， FA=FE=FB=FC ， AE=BC ， 四邊形 ABEC 是矩形 【點評】 此題考查的知識點是平行四邊形的判定與性質(zhì)， 全等三角形的判定和性質(zhì)及矩形的 判定，關(guān)鍵是先由平行四邊形的性質(zhì)證三角形

26、全等， 然后推出平行四邊形通過角的關(guān)系證矩 形 20（2004?上海）如圖，在 ABC 中， BAC=90 ，延長 BA 到點 D，使 AD= AB ，點 E、 F 分別為邊 BC 、AC 的中點 （1）求證： DF=BE ； （2）過點 A 作AGBC，交 DF 于點 G，求證： AG=DG 【考點】 三角形中位線定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì) 【專題】 證明題 【分析】（1）過點 F 作 FHBC ，交 AB 于點 H，則四邊形 HAEF 是平行四邊形， 有 HF=BE ， 證得 AC 是 HD 的中垂線后得到 HF=FD ，故有 FD=BE ； （2）由于四邊形 DA

27、EF 是等腰梯形，有 B=D，而 AGBC 有 B=DAG ，故有 D=DAG? AG=DG 【解答】 證明：（1）如圖，過點 F 作 FHBC，交 AB 于點 H ， FHBC，點 F是 AC 的中點，點 E是 BC 的中點， AH=BH= AB ， EFAB 第 18 頁（共 24 頁） AD= AB ， AD=AH CAAB ， CA 是 DH 的中垂線 DF=FH FHBC，EFAB， 四邊形 HFEB 是平行四邊形 FH=BE BE=FD （2）由（ 1）知 BE=FD ， 又 EF AD ， EFBD， 四邊形 DBEF 是等腰梯形 B=D AG BC ， B= DAG ， D=

28、DAG AG=DG 【點評】 本題利用了三角形的中位線的性質(zhì)， 中垂線的判定和性質(zhì)， 平行四邊形的判定和性 質(zhì)，等邊對等角求解 21（2008?杭州）在凸多邊形中，四邊形有 2條對角線，五邊形有 5 條對角線，經(jīng)過觀察、 探索、歸納，你認為凸八邊形的對角線條數(shù)應(yīng)該是多少條？簡單扼要地寫出你的思考過程 【考點】 多邊形的對角線 【專題】 探究型 【分析】 首先從特殊四邊形的對角線觀察起，則四邊形是 2條對角線，五邊形有 5=2+3 條 對角線，六邊形有 9=2+3+4 條對角線，則七邊形有 9+5=14 條對角線，則八邊形有 14+6=20 條對角線 【解答】 解：凸八邊形的對角線條數(shù)應(yīng)該是20

29、 理由： 從一個頂點發(fā)出的對角線數(shù)目， 它不能向本身引對角線， 不能向相鄰的兩個頂點引 對角線， 從一個頂點能引的對角線數(shù)為（ n 3）條； n 邊形共有 n 個頂點， 能引 n（n 3）條，但是考慮到這樣每一條對角線都重復計算過一次， 第 19 頁（共 24 頁） 能引 條 凸八邊形的對角線條數(shù)應(yīng)該是：=20 【點評】 能夠從特殊中找到規(guī)律進行計算 22（ 2013?鞍山）如圖，E，F(xiàn)是四邊形 ABCD 的對角線 AC 上兩點，AF=CE ，DF=BE ，DF BE 求證： （1）AFD CEB； （2）四邊形 ABCD 是平行四邊形 【考點】 平行四邊形的判定；全等三角形的判定 【專題】

30、證明題 【分析】（ 1）利用兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩三角形全等（SAS），這一判定定理容易 證明 AFD CEB （2）由 AFD CEB ，容易證明 AD=BC 且 AD BC，可根據(jù)一組對邊平行且相等的四 邊形是平行四邊形 【解答】 證明：（1） DFBE， DFE= BEF 又 AF=CE ，DF=BE ， AFD CEB（SAS） （2）由（ 1）知 AFD CEB， DAC= BCA ， AD=BC ， AD BC 四邊形 ABCD 是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形） 點評】 此題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定， 判定兩個三角形全等的一 般方法有

31、： SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL 平行四邊形的判定，一組對邊平行且相等的四邊 形是平行四邊形 23（2015?大慶）如圖， ABC 中， ACB=90 ，D、E分別是 BC、BA 的中點，連接 DE， F 在 DE 延長線上，且 AF=AE （1）求證：四邊形 ACEF 是平行四邊形； （2）若四邊形 ACEF 是菱形，求 B 的度數(shù) 第 20 頁（共 24 頁） 【考點】 菱形的性質(zhì)；平行四邊形的判定 【專題】 證明題 【分析】（ 1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=AE=BE ，從而得到 AF=CE ，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得1= 2，根據(jù)等邊對等角

32、可得然后 F=3，然后求出 2= F，再根據(jù)同位角相等， 兩直線平行求出 CEAF ，然后利用一組 對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明； （2）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得 AC=CE ，然后求出 AC=CE=AE ，從而得到 AEC 是等 邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60求出 CAE=60 ，然后根據(jù)直角三角形兩 銳角互余解答 【解答】（1）證明： ACB=90 ， E 是 BA 的中點， CE=AE=BE ， AF=AE ， AF=CE ， 在BEC 中， BE=CE 且 D是 BC 的中點， ED 是等腰 BEC 底邊上的中線， ED 也是等腰 BEC 的頂角平分線， 1=

33、 2， AF=AE ， F= 3， 1= 3， 2= F， CEAF， 又 CE=AF ， 四邊形 ACEF 是平行四邊形； （2）解：四邊形 ACEF 是菱形， AC=CE ， 由（ 1）知， AE=CE ， AC=CE=AE ， AEC 是等邊三角形， CAE=60 ， 在 RtABC 中， B=90 CAE=90 60=30 第 21 頁（共 24 頁） 【點評】 本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)， 直角三角 形斜邊上的中線等于斜邊的一半， 以及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)， 熟記各性質(zhì)與判定方 法是解題的關(guān)鍵 24（2010?蘭州）已知平行四邊形 ABCD

34、中，對角線 AC 和 BD 相交于點 O，AC=10 ，BD=8 （1）若 ACBD ，試求四邊形 ABCD 的面積； （2）若 AC 與 BD 的夾角 AOD=60 ，求四邊形 ABCD 的面積； （3）試討論：若把題目中 “平行四邊形 ABCD ”改為“四邊形 ABCD ”，且 AOD= ，AC=a ， BD=b ，試求四邊形 ABCD 的面積（用含 ，a，b的代數(shù)式表示） 【考點】 平行四邊形的性質(zhì)；三角形的面積；解直角三角形 【專題】 幾何綜合題；壓軸題 【分析】（1）因為 ACBD ，所以四邊形 ABCD 的面積等于對角線乘積的一半； （2）過點 A 分別作 AEBD ，CF BD，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分和正弦定理求出 AOD 的面積，那么四邊形 ABCD 的面積 =4 AOD 的面積； （3）作輔助線 AEBD，