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1、導(dǎo)數(shù)與極限(一) 極限1概念(1)自變量趨向于有限值的函數(shù)極限定義(定義)lim f (x)x aA0,0,當(dāng)當(dāng) 0 | x a |時(shí),有1 f(x)Al。(2)單側(cè)極限左極限:f(a 0)limx af (x)A0,0,當(dāng) 0 ax時(shí),有| f(x)A|右極限:f(a 0)limx af (x)A0,0,當(dāng) 0 xa時(shí),有| f(x)A|(3)自變量趨向于無(wú)窮大的函數(shù)極限定義1:, X 0,當(dāng)x X ,成立f x A ,則稱常數(shù)A為函數(shù)f x在x趨于無(wú)窮時(shí)的極限,記為A X f mH X0,當(dāng) 0 |x a |時(shí),有 1 f(X)1,則稱函數(shù)f(x)在Xa時(shí)的無(wú)窮小(量)y A為曲線y f

2、x的水平漸近線。定義2 :0,X0,當(dāng)xX時(shí),成立f xA,則有l(wèi)im f x A 。定義3:0,X0,當(dāng)xX時(shí),成立f xA,則有l(wèi)im f x Ax運(yùn)算法則:1) 1)lim f x若Alim gx,貝y lim f xg x。2) 2)lim f x若A0,但可為lim g x,則lim f x?g x。lim03)3)lim f x若則f x。注:上述記號(hào)lim是指同一變化過(guò)程。(4)無(wú)窮小的定義即 Ximaf(x)(5)無(wú)窮大的定義M 0,0,當(dāng) 0 |x a|時(shí),有|f(x)| M,則稱函數(shù)f(x)在xa時(shí)的無(wú)窮大(量),記為 xmaf(x)直線x a為曲線y f x的垂直漸近線。

3、2. 無(wú)窮小的性質(zhì)定理1有限多個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮小。定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。推論1常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。推論2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系1若 xmaf(x),且 f(x) 不取零值,則f(X)是x a時(shí)的無(wú)窮小。3. 極限存在的判別法(1)xmaf(x) A f(a 0) f(a 0) A。lim f (x) Axlim f (x) lim f (x) AXX(2) xmaf(x) A(3)夾逼準(zhǔn)則:設(shè)在點(diǎn)lim h(x) A “、,亠x,則必有4.極限的性質(zhì)f(x) A ,其中是xa時(shí)的無(wú)窮小。a的某個(gè)去心鄰域N?(a,)內(nèi)有g(shù)(x)f(x) h

4、(x),且已知xmag(x)limx af(x)(1)極限的唯一性(2) 局部有界性(3) 局部保號(hào)性卄 lim f (x)卄lim右x a卄lim右X af(x)f(x)A 且 xmaf(x)B,則 A B oA,則M ,在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域N?(a,)內(nèi)有|f(x)|有 f (x)0 (或 f (x)A,且A0 )o(或 A 0),則必存在a的某個(gè)去心鄰域N?(a,),當(dāng) x N?(a,)時(shí),(Il)若在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域A 0) oN?(a,)內(nèi)有 f(x)0 (或 f(x)0), 且 xmaf(x)A,則 A 0 (或5極限的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算lim f (x)A,設(shè)C是常數(shù),x a

5、丿 lim f (x)g(x)x alim f (x) g(x)x alimc f(x) cx af(x) Alimx a g(x)lim g(x) B,x a(1)(2)(3)(4)B 0;若 lim g(x)x a(5)則!叩酚u0, limu U0lim f(u)u U0f(u)A,x U (a,0),有 g(x) u.6兩個(gè)重要極限sin x lim(1) x 0 x1x):lim (1x7.無(wú)窮小的階的比較若 和都是在同一自變量變化中的無(wú)窮小量,且0,則lim 0(1 )若,則稱關(guān)于是高階無(wú)窮小量,記作。();lim 一 1(2 )若,則稱 和是等價(jià)無(wú)窮小量,記作(3 )若lim 一

6、 c (c 0)O();,則稱 和 是同階無(wú)窮小量,記作一般情況下,若存在常數(shù)A 0, B 0,使成立(4)若以X作為X0時(shí)的基本無(wú)窮小量,則當(dāng)小量。定理1o()。lim定理2設(shè) ,,且存在,則lim lim 。 ln(1 x) ex 1常用的等價(jià)無(wú)窮小x 0 時(shí),xs in x ta n x arcsi n x arcta nxA IT B,就稱和是同階無(wú)窮小量。(X*)( k為某一正數(shù))時(shí),稱 是k階無(wú)窮1 21 cosx x2 。(二) 函數(shù)的連續(xù)性1 定義若函數(shù)y f (x)在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,則f (x)在點(diǎn)a處連續(xù)lim f (x) f (a) lim y 0x ax 02.

7、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)均為連續(xù)函數(shù);連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù);一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。3間斷點(diǎn)(1) 間斷點(diǎn)的概念不連續(xù)的點(diǎn)即為間斷點(diǎn)。(2) 間斷點(diǎn)的條件若點(diǎn)X。滿足下述三個(gè)條件之一,則X。為間斷點(diǎn):(a) f(x)在X。沒(méi)有定義;lim f(x)才十一(b) x xo不存在;f(x) xlim f (x)lim f (x)f(x。)(c) f(x)在X。有定義,X Xo也存在,但x x0。(3) 間斷點(diǎn)的分類:(i)第一類間斷點(diǎn):在間斷點(diǎn)Xo處左右極限存在。它又可分為下述兩類:可去間斷點(diǎn):在間斷點(diǎn)Xo處左右極限存在且相等;跳躍間斷點(diǎn)

8、:在間斷點(diǎn)Xo處左右極限存在但不相等;(ii)第二類間斷點(diǎn):在間斷點(diǎn)4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)概念Xo處的左右極限至少有一個(gè)不存在。若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上每一點(diǎn)都連續(xù),在a點(diǎn)右連續(xù),在b點(diǎn)左連續(xù),則稱f(x)在區(qū)間a,b上 連續(xù)。(2)幾個(gè)定理最值定理:如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在此區(qū)間上必有最大和最小值。有界性定理:如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在此區(qū)間上必有界。介值定理:如果函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則對(duì)介于 f(a)和f(b)之間的任一值c,必有x a,b,使得 f(x) co零點(diǎn)定理:設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),

9、若f(a) f (b)0,則必有x (a,b),使得f (x)0。(三) 導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)的概念(1) 定義 設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn)a處取得改變量x( )時(shí),函數(shù)f (x)取得相應(yīng)的改變量f(a x) f(a),若極限存在,則稱此極限值為函數(shù)lirfx f(x)在點(diǎn)a處的導(dǎo)數(shù)(或微商)f (a),dydxf (a),記作d f(x)dx導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式有maH XX)XafaIma Xafa2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y f(x)在點(diǎn)a處的導(dǎo)數(shù)f (a)在幾何上表示曲線y f (x)在點(diǎn)M (a, f (a)處的切線的斜率即 k f (a),切線方程為從而曲線法線方程為

10、y f (x)在點(diǎn) M (a, f(a)處的 f (a) f (a)(x a)1(x a)f (a)f (a)3函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系函數(shù)y f(x)在點(diǎn)a處可導(dǎo),則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù), 的必要條件,但不是充分條件。但反之未必。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)(uv)u v uv ,(cu) cu (其中 c0為常數(shù)),(u)呼(1)vv , vvv2( v 0) o因此,若函數(shù)f (x)點(diǎn)a處不連續(xù),則f (x)點(diǎn)a處必不可導(dǎo)。4 求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式(1) 四則運(yùn)算 若u、v、w均為可導(dǎo)函數(shù),則(u v) u v ,(uvw) u vw uv w uvw(2) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)設(shè)y f(u

11、), u g(x),且f(u)和g(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù) y fg(x)的導(dǎo)數(shù)為 d y d y du dx du dx(3)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若x (y)是y f (x)的反函數(shù),則(4) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由一個(gè)方程F (x y) 0所確定的隱函數(shù)dy出dx即可。(5) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先對(duì)函數(shù)求對(duì)數(shù),再利用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法。 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于幕指函數(shù)、連乘除函數(shù)。(6) 參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)f (x)若參數(shù)方程y(t)確定了一個(gè)函數(shù)y dy dx(7)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(c)0(sin x)(ta n x) (secx)(a )cosx2sec x secxta n xxa(log a x)ln a( a

12、 01(arcs in x)xln a ( a 0 , a 1) 11 x2(arcta n x)11 x21(y)。f(x)的求導(dǎo)法,就是先將方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),再求f(x),且、均可導(dǎo),則有(t)飛。(x )(cosx) (cot x) (cscx) (e )sin x2csc x cscx cot x(ln x)-x(arccos x)(arccotx)1 1 x2_1_1 x25高階導(dǎo)數(shù)(1)高階導(dǎo)數(shù)的概念:函數(shù)f (x)的一階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),,f (x)的n(4)(n)y ,y ,y ,y , ,y(2)常用的n階導(dǎo)數(shù)公式(xn)(n) n!f(x)的導(dǎo)數(shù)稱為f(x)的二階導(dǎo)數(shù), 1階導(dǎo)

13、數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為f(x)d2y d3y d4ydx2 dx3 dx4 ,f (x)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為f (x)的三階,或(ex)(n)ex(si nx)(n)si n(x )2(1)n1(n(cosx) (n)ln(1x)(n)1)!(3)萊布尼茨公式(1 x)n設(shè)u(x)和v(x)都是n次可微函數(shù),則有的n階導(dǎo)數(shù),分別記為ndx 。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)。cos(x(uv)(n)n u(n k)v(k)k復(fù)習(xí)指導(dǎo)重點(diǎn):求函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)。難點(diǎn):討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限存在、連續(xù)性、可導(dǎo)性。 1求極限的方法:(1)利用定義(語(yǔ)言)證明。(2)利用極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求

14、極限的方法求初等函數(shù)的極限。(3) 初等函數(shù)f(x)在定義區(qū)間上求極限:f(X) f(X0)x2 2x 302 2 0 3lim 3例:x 0 x 101。(4) 分解因式,約去使分母極限為零的公因式。2.x 4x 3 lim廠例: x 1 x 1lim & 1)(x 3)x 1 (x 1)(x 1)limx 1 x 1(5)利用兩個(gè)重要極限,此時(shí)需注意自變量的變化趨勢(shì)。sin 2x sin 2xlimlim22例:x 0 x x 0 2x但(6) 利用等價(jià)無(wú)窮小替換(條件:在乘積的條件下)tan3x3x olimlim 3例:x 0 ln(1 x) x 0 x 。(7) 利用無(wú)窮大和無(wú)窮小的

15、互為倒數(shù)關(guān)系。lim泌xSin(2 7lim亠例:求x 2 x 2 。lim x因?yàn)閤 2 x 2,所以lim亠x 2 x 2lim u(x) 1 lim v(x)(8) 幕指函數(shù)求極限:若 X X。丿 ,X勺 丿(9) 利用左右極限求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。,則 nu(x)v(x)lim v(x) u(x)x012. 無(wú)窮?。?1) 理解無(wú)窮小是自變量在趨向于某一點(diǎn)時(shí)函數(shù)極限趨向于零的過(guò)程,它與自變量的變化趨勢(shì)密切相關(guān)。(2) 掌握利用求兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限比較它們的階的方法。(3) 注意在求極限時(shí),如果兩個(gè)無(wú)窮小做加減法,則不能做等價(jià)無(wú)窮小的替換。3連續(xù)性的判斷:重點(diǎn)是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處

16、連續(xù)性的判斷,此時(shí)需利用左右連續(xù)的概念進(jìn)行判斷。4. 間斷點(diǎn)(1) 掌握間斷點(diǎn)的分類規(guī)則,以及如何求解函數(shù)的間斷點(diǎn)并對(duì)其分類。對(duì)于初等函數(shù),首先找出無(wú)定義 的點(diǎn),然后通過(guò)計(jì)算它的左右極限得出其類型。對(duì)于分段函數(shù),還要討論它的分段點(diǎn)。(2) 注意對(duì)于可去間斷點(diǎn),可以通過(guò)重新定義該點(diǎn)的函數(shù)值使得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。5. 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)掌握利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)來(lái)證明某個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上滿足一些特殊性質(zhì)的方法。例如要證明某 個(gè)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上可以取到一個(gè)特定數(shù)值時(shí),通常的方法是在這個(gè)閉區(qū)間內(nèi)找兩個(gè)函數(shù)值(一般是計(jì) 算區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值或者假設(shè)出函數(shù)在該區(qū)間上的最大和最小值),使得它們一大一小,

17、恰好分布在這個(gè)特殊值的兩邊,而后利用介值定理得出結(jié)論。當(dāng)要證明方程f(x) 0在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有根時(shí),可以在此區(qū)間內(nèi)找兩個(gè)點(diǎn),使得f(X)在這兩點(diǎn)的函數(shù)值-正一負(fù),從而利用零點(diǎn)定理得出結(jié)論。5.可導(dǎo)、連續(xù)和極限三個(gè)概念的關(guān)系:f(x)在點(diǎn)X??蓪?dǎo)f(x)在點(diǎn)X。連續(xù) f(x)在點(diǎn)X。有極限;但上述關(guān)系反之均不成立。6. 可導(dǎo)的判斷:(1 )若函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù),則必不可導(dǎo)。(2 )分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)的判斷,需利用左右導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行判斷。7.求導(dǎo)數(shù)的方法:(1)(2)(3)(4)利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)。利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t

18、。利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。此時(shí)需注意若在方程中出現(xiàn) 時(shí),y的函數(shù)項(xiàng),則在對(duì)自變量 x求導(dǎo)例:(5)(6)對(duì)這一項(xiàng)需利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則。dy設(shè) ey y 2x。,求 dx。d(ey)x求導(dǎo),有 dy解:利用反函數(shù)求導(dǎo)法則。利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。此時(shí)需注意得到的所確定。方程兩邊同時(shí)對(duì)dydxdy d(2x)2Uydx dx ,所以 ey 1。y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)實(shí)際上仍然由一個(gè)參數(shù)方程(7)利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則。它主要在如下兩種情況中應(yīng)用:(i)幕指函數(shù)求導(dǎo);(ii)需求導(dǎo)的函數(shù)由許多因式利用乘除法結(jié)合得到。(8)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處需利用左右導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)。第3章微分學(xué)的基本定理內(nèi)容提要(一)微分1概念微分的定義:

19、設(shè)函數(shù) yf(Xo) f(X) f(Xo)f(x)在點(diǎn)X。處可微,給定自變量X的增量XXX。,稱對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量f(x)在點(diǎn)X。處的微分,記作df(x。)或dy |x X。的線性主部f ( X0 ) X為函數(shù)d arcsin xdx1darccosx dx右x22常用的微分公式d(x )x 1 dxd(c) 0(c為常數(shù))dsin xcosxdxdcosxsin xdxd tan xsec xdxdcotxcsc2 xdxdsecxsecx tan xdxdcscxcscxcotxdx.Xxda aln adx ( a 0, a 1)XXde edxdlOg a X1 dxdln | x|1 d

20、xxln a( a 0 , a 1)Xd arctan xdxxdarccot xdx3 微分運(yùn)算法則(1)四則運(yùn)算dk1u(x) k2v(x)k1du(x) k2dv(x);du(x)v(x) v(x)du(x) u(x)dv(x);,u(x) v(x)du(x) u(x)dv(x) dv(x)v2(x)(2)復(fù)合函數(shù)微分若 y f(u), u g(x),則dy f (u)g (x)dx4.微分形式的不變性若 yf(u),u g(x),則有dy f (u)g (x)dx(u)du5 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)| x|很小時(shí),有: y dy f(X。)x ,f (Xox)f(X。) f(X。)x

21、(二)微分中值定理1 羅爾定理:設(shè)函數(shù) 存在 (a,b),使得2 拉格朗日中值定理:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),且f(a) f(b),則必 f ()y(a,b),使得成立of(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),則必存在 f(b) f(a)b a 。推論1設(shè)函數(shù)y f x在a,b上恒為常數(shù)。推論2若在(a,b)內(nèi)恒有f(X)X在閉區(qū)間a,b上連續(xù),開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo),若對(duì)任意x a,b有3 柯西中值定理:設(shè)函數(shù)數(shù)不同時(shí)為零,又g(b) g(a) 0,則必存在 f () g()g (X),則存在常數(shù) C,使得 f (x) g(x) C , X (

22、a,b)。f(x)和g(x)均在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),且它們的導(dǎo) (a,b),使得成立f(b) f(a)g(b) g(a)。4.有限增量公式若函數(shù)y f (x)在a,b上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),則f(b)f (a) f ( )(b a),(a,b)?;騳f ( ) x,其中 y f (b) f (a) , xb a。(三)洛必達(dá)法則01.0型的洛必達(dá)法則:若f X和g X滿足lim f x lim g x0(1 ) X X0X X0;(2) f x和g x在N x。,內(nèi)可導(dǎo),且g x 0 ;lim -_存在(或?yàn)?) lim -= lim f X(3) x X) g x,則 x X0 g x x X0 g x。(把Xo改為等,法則仍然成立)。3.其他待定型:0002. 型的洛必達(dá)法則:若f X和gX滿足limf X,lim g x(1)X xX X。;(2)f X和gX在 N X0,內(nèi)可導(dǎo),且gx 0 limf X存在(或?yàn)?limfX廣f X=lim(3)X

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