大一上學期(第一學期)高數(shù)期末考試題

1、大一上學期高數(shù)期末考試、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1.設f(x) cos x (x sin x ),則在 x 0處有().(A)f (0)2(B) f(0)1 (C) f(0)0(D)f（X）不可導.設(x)1，（x）3 3x，則當 x 1時（)2.1X.(A)(x)與（x）是同階無窮小，但不是等價無窮小；(B)(x)與(x)是等價無窮小；（C）（X）是比（X）高階的無窮小；（D）（X）是比（x）高階的無窮小.X3若F（X）o（2t x）f（t）dt，其中心）在區(qū)間上（1,1）二階可導且f （x）0 ，則（）.（A）函數(shù)F（x）必在x 0處取得極大值；（B）函數(shù)F（x）

2、必在x 0處取得極小值；（C）函數(shù)F（x）在x 0處沒有極值，但點（0，F(xiàn)（0）為曲線y F（x）的拐點；（D）函數(shù)F（x）在x 0處沒有極值，點（0，F(xiàn)（0）也不是曲線y F（x）的拐點。 4 設f （x）是連續(xù)函數(shù)，且2 2XX（A） 2（ B） 2f (x)12 0 f(t)dt ,則 f (x)(5.1、填空題（本大題有4小題，每小題2lim （13x）sinTx 0（D）x 2.4分，共16分）6.已知c空是f（x）的一個原函數(shù)XI rcosx則 f(x) d xx7.limn12(cos2 n ncos3 )n2 . x arcs in x1 dx丄 12二、解答題9. 設函數(shù)y求

3、110.8.(本大題有y(x)由方程7X7 dx.x(1 x7)5小題，每小題8分，共40 分） ex y sin（xy） 1 確定，求 y （x）以及 y （0）.11.12.13.設 f (x)xe2x ，設函數(shù)f(x)連續(xù), g(x)并討論g(x)在xg(x)0 x 11f (xt)dt03 f(x)dx.求微分方程xy 2 y，且x0處的連續(xù)性.xlnx 滿足 y(1)lim0空Ax ，A為常數(shù).求19的解.四、解答題(本大題10分)14.已知上半平面內(nèi)一曲線 y y(x) (x 0)，過點(01)，且曲線上任一點 M(X0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 x軸、y軸、直線x X。

4、所圍成 面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)15. 過坐標原點作曲線y ln x的切線，該切線與曲線y ln x及x軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積A ； (2)求D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V.六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)16. 設函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q ,1，q1f (x) d x q f (x)dx00f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 設函數(shù)f(x)在0，上連續(xù)，且0證明：在0，內(nèi)至少存在兩個不同的點1，2，使f ( J f ( 2)0. (提xF(x) f(

5、x)dx示：設0解答一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題(本大題有4小題,1 COSX 25. M . 6. 2 x三、解答題(本大題有5小題， 9.解：方程兩邊求導ex y(1 y ) cos(xy)(xyycos(xy) x cos(xy) y(0)du17每小題c.7.每小題y) o4分，共16分)2.8.38分，共40分)y(x)ex y010.解：u7 x7x6dx原式1(1u). du7u(1u)1尹|u|2ln |u1 ,.7,2,-ln|x| ln |11|) cx 0, yx7|1031(-u11.解:3 f(x)dx

6、03Xd(xexdx0 2x X2dx12.解:g(x)g(x)xxe1003,1 (x 1)2dx02人cos d (令 x 1 sin )2-2e34(f(0)xtf (xt )dtg(0) 0。xu f (u)du0x(x 0)xf(x)xf (u)du氣(x 0)xg() limf(u)duixf(x)10 g(x)0f (x) limx 2xxf (u)du2xA2，g (x)在x 處連續(xù)。dy2 -y x2dx y e x (1 xln x31y(1) 9，C13.解：dxIn xIn xdxC)Cx 2四、解答題(本大題14解：由已知且y將此方程關于x求導得特征方程：r2 r 2

7、xy - xln x31分)x2 ydx yy 2y其通解為y C1e代入初始條件y()故所求曲線方程為：五、解答題(本大題1分) 解出特征根:A 1,2.C2e2x，() 12 x y e3，得1e3C12x15解：(1)根據(jù)題意，先設切點為(x,ln x)由于切線過原點，解出x1(eyA則平面圖形面積e，從而切線方程為:1ey)dy -e 1y，切線方程：1 -x eInx1(x x) x(2)三角形繞直線 曲線y In x與x軸及直線 為V2D繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為x = e所圍成的圖形繞直線x= e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積1V2(e ey)2dyVi,則V V1 V2-(5e21

8、2e 3)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積6六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共12分)qiqq1f(x)dx q f (x)dxf(x)dx q( f (x) d x f (x)dx)16.證明：0q(1 q) f(x)dx q f(x)dx0q1 0, q 2 q,1q(1q) f( 1)q(1f( 1) f (2)q)f( 2)0故有：qf (x) d x0f(x)dx證畢。17.證：構造輔助函數(shù):xF(x)0f(t)dt,0 x。其滿足在0,上連續(xù)，在(0,上可導。F (x) f(x)，且 F(0) F( )00由題設，有f (x) cosxdx cosxdF (x)0 0F (x)cosx Isin x F (x)dx0F (x)sin xdx 0有0