橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(教學(xué)設(shè)計(jì)

1、2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教學(xué)設(shè)計(jì)）文昌中學(xué) 林 淑一、教材分析：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程是高中數(shù)學(xué)選修2-1（人教版）2.2.1中的內(nèi)容，分兩課時(shí)完成. 第一課時(shí)講解橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；第二課時(shí)講解運(yùn)用橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程解題，鞏固求曲線方程的兩種基本方法，即待定系數(shù)法、定義法； 本節(jié)是第一課時(shí). 本節(jié)內(nèi)容是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了坐標(biāo)法研究直線和圓的方程，對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)也為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ). 因此這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一。二、學(xué)情分析：1上節(jié)課，學(xué)生已學(xué)過坐標(biāo)法求曲線方程。學(xué)過坐標(biāo)法

2、研究圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，但掌握不夠，還需循序漸進(jìn)，逐步深入學(xué)習(xí)。2在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，會(huì)遇到比較復(fù)雜的根式化簡(jiǎn)問題，可能會(huì)有部分學(xué)生學(xué)習(xí)受阻，此處我在學(xué)案中設(shè)計(jì)了由易到難的相應(yīng)習(xí)題，從而降低難度，給學(xué)生一個(gè)臺(tái)階。三、教學(xué)目標(biāo)（一） 知識(shí)與技能：1.理解橢圓的定義。2.掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式。3.會(huì)根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(二) 過程與方法：通過對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)及其方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的分析、探究、抽象、概括等邏輯思維能力，加強(qiáng)用坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題的能力。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、論證，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使他們獲得成功的體驗(yàn)。四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1.重點(diǎn)：掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

3、及其推導(dǎo)方法。理解坐標(biāo)法的基本思想。 2.難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)，坐標(biāo)法的應(yīng)用。五、教法與學(xué)法1教法 為了使學(xué)生更主動(dòng)地參加到課堂教學(xué)中，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的探究性學(xué)習(xí)和因材施教的原則，故采用自主探究法。按照“創(chuàng)設(shè)情境自主探究建立模型拓展應(yīng)用”的模式來組織教學(xué)。2學(xué)法 （1）小組合作探究 （2）學(xué)案導(dǎo)學(xué)法 （3）問題引領(lǐng)，層層深入探究。3教學(xué)準(zhǔn)備(1)學(xué)具準(zhǔn)備：一支鉛筆、一根細(xì)繩、一張硬紙板。生活中橢圓形物體。 知識(shí)準(zhǔn)備：填好學(xué)案課前準(zhǔn)備知識(shí)。(2)教師準(zhǔn)備：多媒體課件。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入1、多媒體展示多幅橢圓的圖片。（天體運(yùn)行運(yùn)行軌道、國家大劇院、鳥巢等）2、身邊

4、的橢圓：傾斜水杯中的水面、橢圓吊墜、雞蛋等。（事先讓學(xué)生準(zhǔn)備）（二）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，歸納概念問：自然界處處存在著橢圓,我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫出橢圓呢?讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備的細(xì)線、紙板和鉛筆，三人一小組畫圖（邊上兩人用力按緊細(xì)繩兩端，中間同學(xué)拿筆勾緊細(xì)繩，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，）得到的圖形是什么呢？（實(shí)物展示學(xué)生所畫圖形）（教師用幾何畫板作橢圓）思考：“在運(yùn)動(dòng)的過程中，什么量沒有變？” 讓學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)驗(yàn)，觀察回答：兩個(gè)定點(diǎn)，繩長(zhǎng)即不論運(yùn)動(dòng)到何處，繩長(zhǎng)不變（即軌跡上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)距離之和不變）再問：“你們能根據(jù)剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸納概括出橢圓的定義嗎？”先讓學(xué)生獨(dú)立思考一分鐘，然后小組

5、討論，逐步完善，概括橢圓的定義。橢圓的定義: 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離之和為常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距橢圓定義的再認(rèn)識(shí)：注意:橢圓定義中容易遺漏的四處地方：（1）在平面內(nèi);（2）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離確定;（3）繩長(zhǎng)-軌跡上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為常數(shù)（4）常數(shù)|F1F2|。問：“為何常數(shù)要大于兩定點(diǎn)間的距離呢？等于、小于又如何呢？”（學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證，師生共同做出小結(jié)）小結(jié)： 常數(shù)|F1F2| 橢圓 常數(shù)=|F1F2| 線段 常數(shù)0)，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c,0)、(c,0) . 問題3：動(dòng)點(diǎn)P滿足怎樣的幾何

6、條件？啟發(fā)學(xué)生根據(jù)橢圓的定義，寫出動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件，即：?jiǎn)栴}4：如何用坐標(biāo)表示幾何條件？由于得到問題5：如何化簡(jiǎn)方程？（回到學(xué)案準(zhǔn)備知識(shí)：含兩個(gè)根式如何化簡(jiǎn)？）一般來說：方程中只有一個(gè)二次根式時(shí)，需將它單獨(dú)留在方程的一邊，把其它各項(xiàng)移到另一邊，平方一次；方程中有兩個(gè)二次根式時(shí)，需將它們分散，放在方程的兩邊，使其中一邊只有一個(gè)根式，平方兩次。到此為止，為學(xué)生做好了一切鋪墊，（請(qǐng)一名同學(xué)上黑板板演化簡(jiǎn)過程。）待同學(xué)化簡(jiǎn)到之后，指出：這個(gè)方程還不夠簡(jiǎn)潔對(duì)稱，讓學(xué)生觀察圖形：?jiǎn)枺骸澳銈兡軓膱D中找出表示a、c、 的線段嗎？”通過觀察，學(xué)生容易得出結(jié)論，并理解了換元的合理性。這樣不僅使方程具有了對(duì)稱性，而

7、且使字母b也有了明確的幾何意義。從而將方程簡(jiǎn)化為： 我們稱它為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。此時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)1(-c,0)F2(c,0),這里，c2=a2-b2問題6：如果焦點(diǎn)F1 、F2 在 y 軸上，并且點(diǎn)O 與線段F1 F2 的中點(diǎn)重合，a、b、c 的意義同上，橢圓的方程形式又如何呢？問：在同一坐標(biāo)系下，觀察焦點(diǎn)在x軸和y軸橢圓的圖象，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？?jī)蓤D象關(guān)于哪條直線對(duì)稱？學(xué)生互相討論，交流，合情猜想，動(dòng)手驗(yàn)證可得（ab0）老師指出：（ab0）也叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，F(xiàn)1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c),這里，c2=a2-b2小結(jié)：為了加深對(duì)橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的理解， 比較橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，填表. （學(xué)生討論，填寫學(xué)案表格，教師多媒體展示）不同點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)共同點(diǎn)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判定鞏固練習(xí)：（限時(shí)3分鐘）1、 以下方程是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？ 2、 求出下列方程中的a、b、c的值，并判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。 小結(jié)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（2）a、b、c的幾何意義及關(guān)系：c2=a2-b2（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，與的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。（四）、例題教學(xué)例1.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。 例2. 寫出適合下