必修二點(diǎn)直線平面知識(shí)點(diǎn)

1、實(shí)用文案 點(diǎn)直線平面的位置矢系 一、直線與平面位置矢系高考考試內(nèi)容及考試要求： 考試內(nèi)容： 1 平面及其基本性質(zhì)； 2、平行直線：對(duì)應(yīng)邊分別平行的角：異面直線所成的角；異面直線的公垂線；異面直線的距離； 3、直線和平面平行的判定與性質(zhì)；直線和平面垂直的判定與性質(zhì)；點(diǎn)到平面的距離；斜線在平面上的射影；直線和平面所成 的角；三垂線定理及其逆定理； 4、平行平面的判定與性質(zhì)；平行平面間的距離；二面角及其平面角；兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)；二、空間中的平行矢系 課標(biāo)要求： 1 .平面的基本性質(zhì)與推論 借助長(zhǎng)方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置尖系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置矢系的定義，并了解

2、如下可 以作為推理依據(jù)的公理和定理： 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)； 公理2 :過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面； 公理3 :如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線； 公理4 :平行于同一條直線的兩條直線平行； 定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 2空間中的平行矢系 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空 間中線面平行、垂直的有 尖性質(zhì)與判定。通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理： 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線

3、與此平面平行： 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行； 通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明： 一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行； 兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行； 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 要點(diǎn)精講： 1 平面的性質(zhì) (1 )平面的兩彳、特征：無(wú)限延展平的(沒(méi)有厚度)無(wú)邊界 (2)平面的畫(huà)法：通常畫(huà)平行四邊形來(lái)表示平面 (3 )平面的表示：用一個(gè)小寫(xiě)的希臘字母、 等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩 個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示，如平面AC。 2 .三公理三推論： 公理1 :如

4、果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。用符號(hào)表示： Al, Bl, A,BI 公理2 :經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論一：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論二：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。 推論三：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。 公理3 :如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。用符號(hào)表示為： P ，且 P I I,且 PI 標(biāo)準(zhǔn) 3 空間中兩直線位置尖系 (1) 空間兩條直線有且僅有三種位置尖系： 打“ 1J mi f V 同一平血內(nèi).(1 H!(4)傘公共點(diǎn)； i rt 平同一平面內(nèi)

5、.段有公典點(diǎn) 廿兩古紙末冃幻/工E 而吠1士右、卄占 異面直線：1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一一異面直線( skew lines ）； 2 )判定定理：連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線 其圖形與符號(hào)語(yǔ)言如下: 注：異面直線的畫(huà)法常用的有下列三種: 異面直線所成的角：1)范圍: (0: 90 ; 2)作異面直線所成的角：平移法。 如下圖，在空間任取一點(diǎn)0,過(guò)0作aPaPb，則a,b所成的B角為異面直線a,b所成的角。特 別地，找異面直線所成的角時(shí)，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(diǎn)（如線段中點(diǎn)，端點(diǎn)等）上，形成異面直線所成的 角。 （2

6、）平行直線： 4 :平行 在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個(gè)結(jié)論在空間也是成立的。公理 于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞公理），其符號(hào)表述： a Pb,b Pc a Pc （3 ）定理（等角定理）：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 4 空間中直線與平面的位置矢系 （1 ）直線在平面內(nèi)（有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）； （2 ）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）； （3 ）直線和平面平行（沒(méi)有公共點(diǎn)） 其中，直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外。它們的圖形分別可表示為如下，符號(hào)分別 可表示為a ,a I A,a/ 線面平行的判定定理：平面

7、外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。符號(hào)表 示為：a , b ,a/ b a / 圖形表示為: 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條 直線和交線平行。符號(hào)表示為: 圖形表示為： b a/ b 5 空間兩平面的位置矢系有兩種：兩平面相交(有一條公共直線) 、兩平面平行(沒(méi)有公共點(diǎn)) 兩平面平行的判定定 平行，那么這兩個(gè)平 / (1) 理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面 面平行。符號(hào)表示為： a,b,alb P,a/ ,b 推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面互相平行

8、。符號(hào)表示為： alb P, a ,b , a I b P , a , b , a / a , b / b/ (2) 兩平面平行的性質(zhì)定理：(1 )如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面；(2)如果兩個(gè)平行平面 同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 注：證明兩平面平行的方法： (1 )禾9用定義證明。禾U用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導(dǎo)出矛盾。 (2) 判定定理：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為線面平行則面面平行。 用符號(hào)表示是：a Ab , a a, b H, a B,則 a / / B。 (3 )垂直于同

9、一直線的兩個(gè)平面平行。用符號(hào)表示是：a丄a, a丄B則a/3 (4 )平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。/ 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)有五條： (1) 兩個(gè)平面 平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為：“面面平 行，則線面平行”。用符號(hào)表示是：aB, a - a,貝Ua/3 (2) 如果兩個(gè) 平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為：“面面平 行則線線平行”。用符號(hào)表示是：a/B,aQY=a ,BQ Yb，貝U a /b (3) 一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。這個(gè)定理可用于證線面垂 直。用符號(hào)表示是：a B, a丄a,貝

10、I： a丄 (4) 夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。 (5) 過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面與已知平面平行。 三、空間中的垂直矢系課標(biāo)要求： 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空 間中線面垂直的有矢性質(zhì)與 判定。 通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理： 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線5則兩個(gè)平面垂直 通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。 能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置矢系的簡(jiǎn)單命題。 要點(diǎn)精講：

11、1 .線線垂直 判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線 垂直。 垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直/那么它也和這條斜線 的射影垂直。 a其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定 符號(hào)表示: FQ丄a 尸月0空二 an a=a LAP 注意：三垂線指 PA. P0 , A0都垂直a內(nèi)的直線 和性質(zhì)定理要考慮a的位置并注意兩定理交替使用。 2 線面垂直 條直線 平面a叫 I丄a。 定義：如果一條直線I和一個(gè)平面a相交，并且和平面a

12、內(nèi)的任意一都垂直，我們就說(shuō) 直線I和平面a互相垂直。其中直線I叫做平面的垂線，做直線I的垂面，直線與平面的交點(diǎn)叫 做垂足。直線I與平面a垂直記作： 則該直線與此平面垂直。 直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 直線和平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。 3 面面垂直 兩個(gè)平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面。 兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂 直。 兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與 另一彳、平面垂直。 附注：垂直和平行

13、涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類(lèi)相互轉(zhuǎn)化矢系： 平行與垂言矢系可互相轉(zhuǎn)化 平行尖系 垂直尖系 L應(yīng)丄住上一挖二左b工口 平面幾何蚓識(shí) 平血兒何知識(shí) 丄 a-.-bbla 3.空丄區(qū)罰亠0 =? a /? 4P a戸衛(wèi)丄ct = a 一戸錄盤(pán) 伙 y 丄 txny_L 0 線統(tǒng)平行 統(tǒng)曲垂直 線線垂直 面面垂直定義 列定 綾面平行 面面平釬 向面垂直 四、空間中的夾角和距離(拓展) 要點(diǎn)精講： 1鹿離 空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn) 距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離 (1 )兩條異面直線的距離 兩條異面直線

14、的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線， 那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長(zhǎng)度。 (2 )點(diǎn)到平面的距離 平面外一點(diǎn)P在該平面上的射影為P-，則線段ppp勺長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離；求法：0“一找二證 三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。等體積法。 (3) 直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； (4) 平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。 求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化矢系和“平行移動(dòng)”的思想方法，把所求的距離 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距

15、或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：找出或作出表示有矢距離的線段；證明它符合定義；歸到解某個(gè)三角形 若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之。異面直線 上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線 a、b所成的角為 0，它們的公垂線AA 的長(zhǎng)度為d，在a上有 線段AE二m,b上有線段AF= n，那么EF , d2 m2 n2 2 mn cos（ “土”符號(hào)由實(shí)際情況選定） 2夾角 空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為 （0 ,90 、0 ,90。和0 ,180 。 （1 ）兩條異面直線所成的角 求法：（J先通過(guò)其中一條直線

16、或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角 形去求得；通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是（0,八, 向量所成的角范圍是0,，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。 （2）直線和平面所成的角 求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所 成的角，根據(jù)定義采用 “射影轉(zhuǎn)化法”。 （3）二面角的度量是通過(guò)其平面角來(lái)實(shí)現(xiàn)的 解決二面角的問(wèn)題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的矢鍵。通 常的作法有：（I）定義法；（n）利用三垂線定理或逆定理；（川）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂

17、面，截二面 角得兩條射線所成的角，俗稱(chēng)垂面法此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，可用射影面積法解之， S COS，其中S為斜面面積，S1為射影面積，0為斜面與射影面所成的二面角。 S 3 等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。附注：空間的角和距離是空 間圖形中最基本的數(shù)量矢系，空間的角主要研究射影以及與射影有矢的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角 和二面角的平面角等。解這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決。 1 空間的角，是對(duì)

18、由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置矢系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定 義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角（0,），直線與平面所成的角 實(shí)用文案 2 0,-，二面角的大小、可用它們的平面角來(lái)度量，其平面角(0,n)。 對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過(guò)一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解 決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的 過(guò)程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過(guò)空間 角的計(jì)算和應(yīng)用逬一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力. (1 )求異面直線所成的角，一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在

19、異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”， 作另一條直線的平行線；或過(guò)空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角B,構(gòu)造一個(gè)含B的三角形，解 三角形即可。方法二是補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角B。 (2 )求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)(斜足)，然后在直線上取一點(diǎn)(除斜足 外)作平面的垂線，再連接垂足和斜足(即得直接在平面內(nèi)的射影)，最后解由垂線、斜線、射影所組成 的直角三角形，求出直線與平面所成的角。 (3 )求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來(lái)解。其中有棱二面角

20、作平面角的 方法通常有：根據(jù)定義作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無(wú)棱二面 角先作出棱后同上進(jìn)行。間接法主要是投影法：即在一個(gè)平面a上的圖形面積為S,它在另一個(gè)平面B上的投影面積為S,這 兩個(gè)平面的夾角為B,則S =Scos Oo 標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)用文案 如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線） ;求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相 交直線所成的角；而求二面角一丨-的平面角（記作）通常有以下幾種方法： 根據(jù)定義； （2）過(guò)棱I上任一點(diǎn)0作棱I的垂面，設(shè)n = OA, n = 0B 貝iJ/AOB =（圖1）; （3）利用三垂線定理或逆定理，過(guò)一個(gè)半平面 內(nèi)一點(diǎn)A，分別作另一個(gè) 平面的垂線AB（垂足為B）, 或棱I的垂線AC （垂足為C）璉結(jié)AC側(cè)ZACB二或/ACB二一（圖2）； （4）設(shè)A為平面外任一點(diǎn)，AB丄，垂足為B, AC丄，垂足為C,則/BAC二或ZBAC二一（圖3）； （5）利用面積射影定理，設(shè)平面內(nèi)的平面圖形F的面積為S, F在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S , 貝U cos二 2 空間的距離問(wèn)題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的