隨機過程習題解析

1、習題一1.某戰(zhàn)士有兩支槍，射擊某目標時命中率分別為0.9及0.5,若隨機地用一支槍，射擊一發(fā)子彈后發(fā)現命中目標，問此槍是哪一支的概率分別為多大？2.設隨機變量X的概率密度為Af (x)= x21【0求：(1)常數A;分布函數F(x); (3)隨機變量Y = lnX的分布函數及概率分布。3.設隨機變量(X, Y )的概率密度為jif (x , y) = Asi n (x + y ),0_x ,y2方差DX , DY ; (4)協(xié)方差及相關系求： 常數A ; (2)數學期望EX, EY ;(3)數。4. 設隨機變量X服從指數分布kx_ kex _ 00x c 0求特征函數 (x),并求數學期望和方

2、差。5. 設隨機變量X與Y相互獨立，且分別服從參數為 1和 2的泊松分布，試用特征函數求Z = X + Y隨機變量的概率分布。6. 名礦工陷進一個三扇門的礦井中。第一扇門通到一個隧道，走兩小時后他可到達安全 區(qū)。第二扇門通到又一隧道，走三個小時會使他回到這礦井中。第三扇門通到另一隧道，走 五個小時后，仍會使他回到這礦井中。 假定礦井中漆黑一團， 這礦工總是等可能地在三扇門 中選擇一扇，讓我們計算礦工到達安全區(qū)的時間X的矩母函數。7 .設（X , Y）的分布密度為4xy,0 X c1.(1)(x, y)=0,其他&y,0 X c1.(2)棗(x,y)=*0,其他問X , Y是否相互獨立?8.設（

3、X, Y）的聯合分布密度為問：(1)1,-取何值時X , Y不相關;(2) : ,1取何值時相互獨立。習題二1. 設有兩個隨機變量 X、Y相互獨立，它們的概率度分別為fX(x)和fY(y)，定義如下隨機過程：Z(t) =X Yt，t R試求Z(t)的均值函數 m(t)和相關函數R(t1 ,t2)。一 12 .從t=0開始每隔一秒丟擲一次硬幣(均勻的)，對每一個丟擲的時刻 t，規(guī)定隨機變量2S_ cost,當時刻t擲出正面x(t)= 丿、2t, 當時刻t擲出反面試求：1 1（1）F （ 2 ； X1）, F （t1;X1） （2） F （2，1 ； X，X2）。3 袋中有一個白球，兩個紅球，每隔

4、單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定 的t對應隨機變量v心、 -,如果t時取得紅球X (t)二 3et ,如果t時取得白球試求這個隨機過程的一維分布函數族。4 .設在時間區(qū)間 0,t 1內來到某商店的顧客數X(t)是參數入的泊松過程。Yn為第n個顧客來到的時刻，求 Yn的分布函數。5.設通過十字路口的車流可以看做泊松過程，如果1分鐘內沒有車子通過的概率為0.2,求2分鐘內有多于一輛車通過的概率。6令N(t)表示0,t時間內(單位：分)顧客到達某商店的人數，設NJ是泊松過程。根據30人。求兩個顧客相繼到達的時間間歷史資料統(tǒng)計分析，顧客到達該商店的強度是每小時 隔短于4分鐘的概率。7.

5、質點從坐標原點出發(fā)在數軸上做隨機游動， 每隔1秒以概率p向右移動一格（1單位 長），或以概率q=1 p向左移動一格，以X （n）表示質點在第n秒至n+1秒之間的位置（坐 標），則隨機過程牧（n）, n =0,，,2,?由于質點隨機游動的獨立性，它是一個獨立增量過程。 求X （ n）的概率分布及增量 X（t+ ）X （ t）的概率分布。8.求隨機過程 X（t） = X sin t的一維概率密度，其中-為常數，X N（0,1）。n9.設復隨機過程z（t）=、 A孑二，0 -1，其中 Ak（ 1乞k乞n）是相互獨立且服kF2從N （0 ,二k）的隨機變量，二k（1乞k三n）是常數，試求復隨機過程 Z

6、（ t）的均值函數與自 相關函數。10.設 汶，t -0 ?為一個獨立增量過程，且X（ 0） =0，證明X（t）是個馬氏過程。11.設隨機過程X(t) = X。Vt , t T，其中Xo, V是相互獨立的標準正態(tài)分布變量，試證 X(t) 是- -個正態(tài)過程。212.設X(tS Vt At ，t - 0 ,其中SV、A為相互獨立的正態(tài)分布變量，試證X(t)是一個正態(tài)過程。習題二1. 一質點在區(qū)間0,4中的0,1,2,3,4上作隨機游動，移動的規(guī)則是：在0點以概率1向右移動一個單位，在1,2,3點上各以概率1/3向左，向右移動一個單位或留在原處，試求轉移概率矩陣2. 一個圓周上共有 N格(按順時針

7、排列)，一個質點在該圓周上作隨機游動，移動的規(guī)則 是：質點總是以概率 p順時針游動一格，以概率 q=1-p逆時針游動一格。試求移動概率 矩陣。3. 一個質點在全直線的整數點上作隨機游動，移動的規(guī)則是：以概率p從i移動到i-1,以概率q從i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，試求轉移概率矩陣。4.波利亞（polya）罐子模型波利亞（polya）罐子模型可描述如下：一個罐子裝有r格紅球，I個黑球，現隨機地從罐中取出一個球，記錄其顏色，然后將這個球放回罐中，并且再加進a個同顏色的球。持續(xù)地進行這一實驗過程，設Xn表示第n次試驗結束時罐中實有紅球的數目：Xn=i,日,I=0 , 1, 2,

8、不論在時刻n時如何轉移到i的，系統(tǒng)在時刻n+1時，必轉移到狀態(tài)i+a或i，因此， X n ,n -0是馬氏鏈。使求它的一步轉移概率，并說明此鏈不是時間齊次的馬氏鏈。5.設袋中有a個球，球為黑色的或白色的，今隨機地從袋中取一個球，然后放回一個不同 顏色的球。若在袋里有k個白球，則稱系統(tǒng)處于狀態(tài) k，試用馬爾可夫鏈描述這個模型 （稱 為愛倫菲斯特模型），并求轉移概率矩陣。1 , 2, 3。在不同季6 設水庫的蓄水情況分為三個狀態(tài)：空庫、半庫、蓄滿。并分別記為節(jié)水庫蓄水狀態(tài)可能轉變，設它為齊次馬氏鏈，其轉移矩陣為0.4 0.50.1R = 0.3 0.3 0.4.0.10.70.2一初始分布行矩陣為

9、P(0) = 0.10.10.8，試求P(2)并指出經過兩個季節(jié)水庫蓄滿的概率。7. 一個開關有兩個狀態(tài)：開、關，分別記為1 , 2。設Xn = *1, 在時刻n開關處于狀態(tài)12, 在時刻n開關處于狀態(tài)2又設開關現在開著時，經過單位時間后為開或閉的概率都是單位時間后，他仍然關著的概率是1/3,開著的概率為 2/3。(1) 試寫出馬氏鏈：Xn，n- 的一步轉移矩陣；1/2 ;而現在關著時，經過(2) 設開始時開關處于狀態(tài) 1,求經過二步轉移開關仍處于狀態(tài)1的概率。& 設馬氏鏈的狀態(tài)空間為1二1,2,3,其進一步轉移矩陣為試研究各狀態(tài)間的關系。13239 設馬氏鏈，Xn,n-O.的狀態(tài)空間,9,1

10、2，其一步轉移矩陣為11。12 2 111R = 一|244L 120 _ _ -33 一試研究各狀態(tài)間的關系，并畫出狀態(tài)傳遞圖。10.設馬氏鏈Xn,n-0 的狀態(tài)空間I二9,1,2,3其一步轉移矩陣為12121400 00 01 18 80 1試研究各狀態(tài)間的關系，并畫出狀態(tài)傳遞圖。211 設馬氏鏈Xn, n _0的狀態(tài)空間I二0,1,2,其一步轉移矩陣為12I120122120試問此鏈是否具有遍歷性，若有，則求其平穩(wěn)分布。12 天氣預報問題若明天是否有雨僅與今天天氣有關，與過去無關。并設今日有雨、明日也有雨的概率為:，今日無雨、明日也有雨的概率為。試求：（1 ）一步轉移矩陣；（2）今日有雨

11、且第4日仍有雨的概率（設=.7, - =04）.。13 考慮一個通信系統(tǒng)，它通過幾個階段傳送數字0和1，設在每一階段被下一階段接受的數字仍與者階段相同的轉移概率為0.75.且記第n階段接受的數Xn，試求進入第1階段的數字是0，而且第5階段被接受到的也是 0的概率。按損害的程度分為 5種狀態(tài)：無損害稱為3，嚴重損害稱為狀態(tài) 4，全部倒塌稱為狀14.設建筑物受到地震的損害程度為齊次馬氏鏈， 狀態(tài)1,輕微損害稱為狀態(tài) 2，中等損害稱為狀態(tài) 態(tài)5。設一步轉移概率為-0.80.2000100.50.40.10R =000.40.50.10000.20.800001 一又設初始分布為Po(1) = 1,

12、po(2) = O,po(3) =0, po=0, Po(5) = 0 試求接連發(fā)生二次地震時，該建筑物出現各種狀態(tài)的概率是多少?15 設某河流每日的 BOD (生物耗氧量)濃度為齊次馬氏鏈Xn,n1，狀態(tài)空間1 =1,2,求河流再次到達污染的平均時間J4。,4是按BOD濃度極低、低、中、高分別表示為1, 2, 3, 4,其轉移矩陣為(以天為單位)-0.50.40.10 1D 一0.20.50.20.1p -0.050.250.60.100.20.40.4 一如果BOD濃度高，則稱河流處于污染狀態(tài)。(1) 說明此馬氏鏈為不可約非周期正常返鏈;(2) 求此鏈的平穩(wěn)分布；16.設馬氏鏈的狀態(tài)空間I

13、二123,4，其一步轉移矩陣為111301201 =1,2,3,4,5，其一步轉移矩陣為試對其狀態(tài)分類。00.50.500 10000.20.8R=0000.40.61000010000 一試研究各狀態(tài)的類及周期性。17.設馬氏鏈的狀態(tài)空間18.設馬氏鏈的狀態(tài)空間為I 珂1,2,3，其一步轉移矩陣為0.5 0.5 0、 R = 0.5 0.5 000b試研究各狀態(tài)的類，并討論各狀態(tài)的遍歷性。19.設馬氏鏈的狀態(tài)空間為1二1,2,3,4，其一步轉移矩陣為00101000P1 =0.30.7000.60.20.20試對各狀態(tài)進行分類。20.設X （t）,t _0為一個時間連續(xù)的馬氏鏈，其狀態(tài)空間1

14、二0,1。假定X（t）在時間段t 內改變一次狀態(tài)（從一個值跳到另一個值）的概率為：t 。（人t），未曾改變狀態(tài)的概率為。（八t）。試求時間t時的轉移概率1 - A oC ：t），而在這段時間內改變多于一次的概率為Rj(t)(i,j=0, 1 )。習題四試判斷其連續(xù)性和可微21.已知隨機過程 X(t)的自相關函數為 RX( - )=- exp - ?性。tp2.隨機初相信號 X(t)=Acos(t+ ),試中A和均為常數，已知 mX(t)=O,T2 RX( - )=A co t/2, =t s。信號 X(t)在時間 T 內的積分值為 Y(T)= 0 X(t)dt,試求 Y(T) 的均值和方差。2

15、r 23.討論隨機過程 X(t)=At +Bt+C,(其中A , B, C獨立同分布且服從N(0,、)的均方連續(xù)1 tX(s)ds的均值函數和相關函數。性、均方可微性和均方可積性。并求X / (t),Y(t)= t2 24.討論隨機過程X(t),(其中X(t)的均值為0，相關函數R(s,t)=1/a +(s t)的均方連續(xù)性、均方可微性1 t和均方可積性。并求 X / (t),Y(t)= t 0 X(s)ds的均值函數和相關函數。習題五1.設Z(t)=Xsint+Ycost,其中X,Y是相互獨立同分布的隨機變量，其分布列為爻、Y.、-12p2/31/3證明Z(t)是寬平穩(wěn)過程。2設X(t) =

16、Acost - Bsint，其中是常數，A,B是相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0f2)的隨機變量，試證明 Z(t)是平穩(wěn)過程。3設隨機過程 X(t) =cos t，其中是在0,2二上均勻分布的隨機變量，試證(1) Xn =X(n) =cos, n =0, 一1,_2， 是一個平穩(wěn)序列。(2) X(t),，不是一個平穩(wěn)過程。4 設隨機過程 X(t)=f(t ；)其中f(t)是周期為T的波形，；在區(qū)間內為均勻分布的隨 機變量，證明 X(t)是平穩(wěn)過程。5設隨機過程X(t)由下列三個樣本函數組成，且等概率發(fā)生，X(t,e-i) =1， X (t, e2si nt， X (t, e3cost問：(1

17、)計算均值mx(t)和自相關函數Rx(t1,t2)；(2)該隨機過程 X(t)是否平穩(wěn)。6設隨機過程 X(t)=Asin(2兀t+ 62)其中A為常數，91和62為相互獨立的隨機變量。01的概率密度為偶函數，62在L.二二1內均勻分布。證明：(1) X(t)為平穩(wěn)過程；(2) X(t)是均值遍歷的習題六1.設Yn (n = 0,12)為獨立隨機序列，且Yo =0,EYn二令nXn時，Xn 關于Yn 是下鞅；當 ： 0時，Xn，關于；Yn 是上鞅。2.設Yn (n =，1,2，)為獨立隨機序列，且丫0 二 0, EYn，令Xn八Yk:Xn;關于丫;是鞅。2.設Yn (n =，1,2，)表示生滅過

18、程各代的個體數，且丫0，任意一個個體生育后代的分布為均值”，證明Xn =Yn是一個關于 % 的鞅。1X X P(Xi =1) = P(Xi =1)= 4.(公平博弈的問題)設X1，X2，獨立同分布，分布函數為2，于是，可以將 Xi看作一個投硬幣的游戲的結果：如果出現正面就贏1元，出現反面則輸1元：假設我們按以下的規(guī)則來賭博， 每次投硬幣之前的賭注都比上一次翻一倍，直到贏了賭 博即停，令Wn表示第n次賭博后所輸(或贏)的總錢數，Wo = 0，則Wn是關于Xl，X2，Xn 的鞅。5.設B(t)是布朗運動，則2(1) B (t) -t 是鞅；2expuB(t) -中(2) 對任何的實數u ,2 是鞅

19、。習題七1. 通常假設股票價格服從馬爾科夫過程，是什么含義?2. 假設某股票的價格變化遵循維那過程，其初始價值為20元，估算的時間為一年。在一年結束時，若資產價值按正態(tài)分布， 其期望值為10,標準差為1,那么在兩年期結束時, 資產價值的期望值和標準差是多少？3.假定有一支股票價格 S遵循一般維那過程，即dS= dr -dW ,在第一年中，=2，二=3，若股票價格的初始值為 30，則在第二年末股票價格的分布概率為多少?4.考慮一種無紅利支付的股票，假定價格S遵循過程：S 二 .：t其中每年預期收益率為 - 0.1 （以連續(xù)復利計），漂移率為-0.3，若初始值為S=20元,試分別解釋當時間間隔為一

20、周、一月和一季度時，股票的價格變化規(guī)律？習題八1.求隨機微分d（eB）.2.利用伊托公式證明0B2(S)dB(s)8B3(t)-.0B(s)ds,k_23.設B（ t）是標準布朗運動，證明(s)ds,k -2并求出E B4（t）,，E B6（t的值。4.設B(t)是標準布朗運動，It =1 (B(u),0豈U乞t)，利用伊托公式證明下列隨機過程是關于It的連續(xù)鞅。t(1) X (t) = e2 cos B(t)；t(2) X(t)二 esin B(t)習題九1. 若某種股票的初始價格為 30美元，年預期收益為15%，年波動性為25%，問在六個月后，該股票價格的概率分布是什么？并判斷在置信度為95%時股票價格的變化范圍。2. 假設某種股