南工大概率統(tǒng)計A卷B卷剖析

1、概率統(tǒng)計（A、閉） 3.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 1 f(x2 盂 .xS：4x_4 e ，則E 2 院（系）_ _班級 學(xué)號 = 姓名 題 - 二二 三 四 五 、. /六 七 八 九 總 分 分 一、填空題（每空2分，計18分） 1. 假設(shè)P（A）=0.4， P（A U B）=0.7，那么 若A與B互不相容，則 P（B）=_ ; 若A與B相互獨立，則 P（B）=。 2. 將英文字母 C,C,E,E,I,N,S 隨機(jī)地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概 率為。 第17頁共15頁 是二 的無偏估計量，則 c = 二、選擇題（每題3分，計9分） 1.當(dāng)事件A和B同時發(fā)生時，必然導(dǎo)致事

2、件 (A) P(C) P(A)+ P(B) -1 (C) P(C)=P(A B) 2. 設(shè)是一隨機(jī)變量，C為任意實數(shù), (A)E( C)2=E(- E )2 (C) E( C)2 E( E )2 (D) E( C) 2 = 0 X3)是來自總體X的樣本，則下列估計總體 X的均 1丄1丄1 (B) X X2X3 444 117 (D) X1 X2 X 3 4612 （10分）已知一批產(chǎn)品中有 90%是合格品，檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤 判為次品的概率為0.05, 一個次品被誤判為合格品的概率為0.04,求: （1）任意抽查一個產(chǎn)品，它被判為合格品的概率； （2）個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品確實是

3、合格品的概率。 四. （12分）設(shè)某顧客在銀行窗口等待服務(wù)的時間（單位：分鐘）的密度函數(shù)為: f (x) 1 e 3 _ e 和3 0, 若x 0, 若x乞0. 某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過 9分鐘，他就離開。（1）求該顧客未等到服務(wù)而離開窗 口的概率；（2）若該顧客一個月內(nèi)要去銀行 5次，以 表示他未等到服務(wù)而離開窗口的 次數(shù)，試求P= 0.；設(shè)=2,求的密度函數(shù)。 五（11分）設(shè) 和 是兩個獨立的隨機(jī)變量，在（0,1）上服從均勻分布，的概率 密度為: fy)=2 0, （1）求和的聯(lián)合概率密度; y 0, y 3 求關(guān)于x的二次方程為x2+2 x+ =0有實根的概率。 （已知彷11 = 0

4、.8413;門（0） = 0.5，其中叮J（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)） 六（8 分）計算機(jī)在進(jìn)行加法運(yùn)算時每個加數(shù)取整數(shù)（最為接近于它的整數(shù)），設(shè) 所有的取整誤差是獨立的，且它們都在（-0.5,0.5）上服從均勻分布。若將 1500個數(shù)相 加，問誤差總和的絕對值超過 15的概率為多少？ （已知庁（1.34 = 0.90/：J （1.645） = 0.95，其中；:J （x）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)） 七.(10分)設(shè)總體X的分布律為PX =x(1- p)x px =1,2, 其中p . 0是未知參數(shù)，X1,X2，Xn是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機(jī) 樣本。試分別求 p的矩估計量和極大似然估計量。

5、八.(10分)已知總體X N(二2)。試分別在下列條件下求指定參數(shù)的置信 區(qū)間： (1) 匚2未知，n=21，x=13.2，s2=5,=0.05。求的置信區(qū)間。 (2) 未知，n =12，s2=1.356， :- =0.02。求二2 的置信區(qū)間。 (已知 t.25( 20) =2.0 8 6，t.025( 21) =2.0796，監(jiān)(11) = 24.725 監(jiān)99(11) =3.053，尤爲(wèi)(12)=26.217,北爲(wèi)(12) =3.571) 九.(12 分)在針織品漂白工藝中，為了了解溫度對針織品的斷裂強(qiáng)度的影響?，F(xiàn) 在70 C及80 C兩種溫度下分別做 10次試驗，記： X: 70C時針

6、織品的斷裂強(qiáng)度 Y: 80C時針織品的斷裂強(qiáng)度；測得試驗數(shù)據(jù)如下 x= 76.23, y = 79.43,s2 = 3.325,sf = 2.225 假定兩種溫度下針織品的斷裂強(qiáng)度X、Y依次服從N(U, F2)及N(2,二2),取顯著性 水平：=0.05。 (1) 檢驗假設(shè)H0 :時-；，H1 :二2廠鳥; (2) 若(1) H0成立，再檢驗 H0 :- J2, H； ”。 (F 0.025 (9,9) =4.03, F0.975 (9,9) - 0.248, t0.05 (18) - 1 .734,t0.025 (18) 2.101 概率統(tǒng)計(B、閉) 院(系)：_班級_ _ _ 學(xué)號_ 姓

7、名_ 題 分 -一- -二二 三 四 五 六 七 八 九 總 分 一、填空題(每空2分，計22分) 1.設(shè)代B為兩個隨機(jī)事件，已知 P(A) =1.2 P(B) =1 3，P(A_. B)=2 3,則: P(AB)=; P(A B)= 。 2x, 0 c x c 1,u 2. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為f(x) = 卄宀 ,以n表示對匕的三次獨立重 0其匕. 1 復(fù)觀察中事件 出現(xiàn)的次數(shù)，貝y PC1 = 2) =。 2 1 2 3. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為f(x)二1 e*，則E 。 1 4. 設(shè)隨機(jī)變量服從B(8,)(二項分布)， 服從區(qū)間1,7上的均勻分布，且與 2 獨立，則 E（2： 3耳

8、-4） =； D（2； 3口 -4） = 5.設(shè)總體X服從N(；2) , X1,X2,.Xn是樣本。X為樣本均值，S2為樣本方差, 則統(tǒng)計量 2 （n -1）S 服從 分布，統(tǒng)計量牟匸服從 s& n 分布。 6.設(shè)相互獨立的隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下表 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b 貝 H :a=, b =。 7.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(x)二一方差D(x) U2,則由切比曉夫不等式，有 P(jx_片啟3司)蘭。 3分，計9分) P(AB) =0 ,貝卩( (B) (D) 二、選擇題(每題 1. 設(shè)代B為兩個隨機(jī)事件，若 (A) A和B兩事件互不相容(互斥) (C

9、) AB未必是不可能事件 2. 設(shè)相互獨立的隨機(jī)變量 (A)0 f（x,y） = 、0, other （1）求：的邊際概率密度并考察 與 的獨立性； 求=4 的概率密度。 七.（10分）設(shè)總體X的分布律為P：X = X： = （1 p）X， p,x = 1,2, 其中p 0是未知參數(shù)，X1,X2，Xn是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機(jī) 樣本。試分別求 p的矩估計量和極大似然估計量。 八.（10分）已知總體XN（；2）。試分別在下列條件下求指定參數(shù)的置信區(qū)間： （1）二 2 未知，n=21，殳=13.2，s2=5, : =0.05。求的置信區(qū)間。 （2）未知，n =12，s2=1.356， :

10、- =0.02。求匚2的置信區(qū)間。 （已知 t.025（ 20） =2.0 8 6，t.025（ 21） =2.0796 ， 瞪（11） = 24.725 驚99（11） =3.053，/爲(wèi)1（12）=26.217,北磊（12） =3.571） 九.（9 分）在針織品漂白工藝中，為了了解溫度對針織品的斷裂強(qiáng)度的影響?，F(xiàn)在70C 及80 C兩種溫度下分別做 10次試驗， 記： X: 70C時針織品的斷裂強(qiáng)度Y: 80C時針織品的斷裂強(qiáng)度；測得試驗數(shù)據(jù)如下 x=76.23,y =79.43,s2 =3.325,s； =2.225 假定兩種溫度下針織品的斷裂強(qiáng)度X、Y依次服從N （叫，；擰）及N（2

11、, ；）,取顯著性 水平：=0.05。 2 2 2 2 （1）檢驗假設(shè) Ho：二1 -；2,H1：；1； 若（1） H0成立，再檢驗H。、, H；12。 （F.025（9,9） =4.03, F.975（9,9） =0.248, t.05（18） = 1.734禹。25（18） = 2.101） 概率統(tǒng)計課程考試試題(A)(江浦) 、填空題(每空 2分，計18分) o 9 n +1 1 3、一 a n ro c pna a7 4、U.525、 6、-514 /、 2 2 2( n1) 4 1、3 0.52、7!或 0.000794 二、選擇題(每題 3分，計9分) 1、 A 2、 B3、 C

12、解： 記A :任意抽查一個產(chǎn)品，它被判為合格品；B :任意抽查一個產(chǎn)品確實是合格品；則 P(A) =P(AB) P(AB) (1) P( B)P(A | B) P(B)P(A | B)二 0.9 0.950.1 0.04 二 0.859 即任意抽查一個產(chǎn)品，它被判為合格品的概率為0.859. 6 分 P(AB) 03 0.95 P(B | A)0.9953 P(A) 0.859 即一個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品確實是合格品的概率為0.9953. 10 分 四、 I.八 解：(1) P=-e 3dx 二 e. 9 3 即該顧客未等到服務(wù)而離開窗口的概率為e 分 由題意知 B(5,e”), 則 =o丄

13、C?(e冷0 (1 -e冷5 二(1 -e冷5。 分 f (y) =y ； = P2 乞 y x -3 dx, y _o 故的密度函數(shù)為 d f (八押(y)二 6 . y I 0, y 2分 五、 解：(1)因在(0, 1)上服從均勻分布, f g(x) = 10cx1 0其它， f (y) 1 j-e 2 0 y 2 0。又和相互獨立，所 0，為f(x,y)的非零區(qū)域，因而所求概率 六、解：設(shè)每個加數(shù)的誤差為 Xi ( i =1,2,1500),由題設(shè)知 Xj獨立且都服從 (-0.5,0.5)上 的 均 勻 分 布，所 以 1 EXi 0, DXi 。3 分 12 1500 記X 八 Xi

14、，由獨立同分布的中心極限定理知 i =0 PX 15丄 1-PX 乞 15二1-pf-15 EX 乞151 =2 -2門 1.34=0.1802 誤差總和的絕對值超過15的概率為0.1802 。 分 七、解：總體 x1 X的數(shù)學(xué)期望EX=v xPXxl八 X(1-p) p x4 由矩估計法知, 1 1 = X ,從而得未知參數(shù) p的矩估計量為 P In Xn是X1, X2,，Xn相應(yīng)于的樣本值，則似然函數(shù)為 n n * 芻 _o L(p)利I PXj =人.；=pn (1-p)v i 二 n Xj i生 X1,X2,， L( p)二 nln p C Xjn)ln(1p),令 d ln L( p

15、) = n 1 C p 1 一 P iT dp Xjn)二 0, 解得p的極大似然估計值為 A 1 p ，從而 x p的極大似然估計量也為 10分 八、解: t-./2(n -1) 由于 x =13.2， s=一5 , n=21, 2 . S 的置信區(qū)間為 (1)在二未知時，二的置信區(qū)間為(x二 t0025( 20) =2.0860。因此，的以 95%為置信度 V5 13.22.0860 =13.2 1.02 421 即)的置信度為95%的置信區(qū)間為(12.18 , 14.22) 分 2 在未知時，二2的置信度為1 的置信區(qū)間為(一(n 1)s 又，s2 -1.356, 亠，11 1.356

16、11 1.356、加 為(，)，即 24.7253.053 (0.603,4.86) (n -1)S2 ) ) 9( n-1) 0.01(11) =24.725，北爲(wèi)(11)=3.053，。所以，口2 的置信區(qū)間 2/2( n-1) 10分 九、解： S2 因為F 乏 F （門勺-1, n2 -1）由樣本觀察值計算得 S2 2 Si 3.325 2.225 = 1.49 因為0.248 :：: 1.49 :：: 4.03。故應(yīng)接受H。，即認(rèn)為兩種溫度下的方差無顯著差異，可 認(rèn)為相等。 2 2 1 2 其次，在打二二:的前提下，檢驗假設(shè)日0：丄1：丄2， H1：丄1 :：2 因為T X 一丫 t

17、(n1 n2 -2) 由樣本觀察值計算得 s. , 2.775， t =% 一 y 二_4.295 70 C有明顯提高。 12分 因為一4.295V-1.734,拒絕H。，即認(rèn)為80C時針織品的斷裂強(qiáng)度較 概率統(tǒng)計（B、閉） 一、填空題(每空2分，計22分)： 2 1、1/6 1/32、9/643、9/24、-8 355、 (n 1), t(n1) 6、2/9 1/9 7、1/9 二、選擇題(每題3分，計9分) 1、C 2、B 3、D4、A 三、解：B:從全廠產(chǎn)品中任意抽出一個螺釘是次品 A,A2,A3分別表示抽出的一個螺釘是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的2分 3 則 P(B) -P(AjB) =25

18、% 5%35% 4%40% 2% =0.0345 6 分 i 4 P(ABP=?5%5%= 0.362 P(B) 0.0345 10分 x 四、解： P 9edx 9 3 即該顧客未等到服務(wù)而離開窗口的概率為 分 J3 二 e 由題意知 B(5,e), 則 =0 :吃宦)0 (1 _e：) 分 ；5 (1-e；)5。 F (y)乞 y ； = P2 乞 y，= y 1- -嚴(yán) 0 , 故的密度函數(shù)為 f：(y)=dy)6ir I 0 二 _3 y乞0 0分 五、 解：以表示同時使用的機(jī)器數(shù)，則 設(shè)本車間至少要供應(yīng)x Q ( B(400, 3/4), 瓦)的電功率， 則有P乞xl-99% ,或

19、4003/4 v x4003/4 400 3/4 1/4400 3/4 1/4 -0.99。 由中心極限定理知，lxo.99 , 查表得，x30%2.33 ,解得 I廂丿V75 x _320.18。 即本車間至少要供應(yīng) 321 Q (瓦)的電功率才能以不低于99%的概率保證有足夠的電 力。 8 分 六、解：(1)關(guān)于的邊際概率密度為 f (x) -he fj(x,y)dy 4 0, 0乞x豈1 其他 5 分 第13頁共15頁 關(guān)于的邊際概率密度為 f (y) 4分 顯然有 分 (x, y)dx = * 0, y 0 y乞0 f(x,y)= f (x) f (y)，故與 相互獨立。 0,z zZ

20、x (2) Fg(z) = PEz = J f (x, y)dxdy = 1 分 易得 1 -e,0 1 、0,z W0 2分 七、解： X 41 總體X的數(shù)學(xué)期望EX八 X PXV X (1 - P)= x dx=1P 1 A 1 由矩估計法知，-=X ,從而得未知參數(shù) p的矩估計量為p=。 PX 設(shè)Xi, X2,，Xn是Xi, X2,，Xn相應(yīng)于的樣本值，則似然函數(shù)為 n L( P)： 1 丨 PXi = Xi , p i 4 n ln L( p)二 nln p ( xi i 4 n)l n(1 解得p的極大似然估計值為 10分 八、解: (1)在二2未知時，的置信區(qū)間為 n (1 - p)i- -p),令 dlnL(p) dp =-1 (J Xi _ n) = 0, p 1 - p id