第三章向量解答10.8.3

1、For pers onal use only in study and research; not for commercial use 第三章向量組的線性相關(guān)性 歷年試題分類統(tǒng)計(jì)及考點(diǎn)分布 分 值 、 年份 1 向量組的 線性組合 與線性表 示 線性相 關(guān)、無(wú) 關(guān)的定 義性質(zhì) 及判別 向量組 的極大 無(wú)關(guān)組 與向量 組的秩 等價(jià)向 量組、 向量的 秩與矩 陣的秩 向量空 間、基 變換、 坐標(biāo)變 換、過(guò) 渡矩陣 標(biāo)準(zhǔn)正交 基，正交 矩陣 其他 合計(jì) 87 3 3 88 3 3 89 3 3 90 3 3 91 92 7 3 10 93 6 6 94 3 3 95 96 3 3 97 5 5 9

2、8 4 3 7 99 3 3 00 3 3 01 4 4 8 02 03 4 4 8 04 4 4 05 06 4 4 07 4 4 08 10 10 09 3 4 7 10 4 4 合計(jì) 4 48 3 22 15 5 4 本章知識(shí)脈絡(luò)圖 概念一運(yùn)算一加法，數(shù)乘，內(nèi)積 (:T ）正交; 概念 l =K、； 1kS*-s 線性表出 xM +xsGS = B方程組有解 表出條件何，化）J 0） 、，、 S無(wú)關(guān)，d S，卜相關(guān)（表示法唯一） 概念一若（不）存在不全為零的數(shù) 匕，ks，使得十 ksas = 0 稱CC4,a s線性相關(guān)（無(wú)關(guān)） 二含零向量，成比例向量，s大于向量的維數(shù) .二部分相關(guān)；有

3、一個(gè)可由其余表出 。4,，0（s線性相關(guān)以少表多，多的相關(guān) n維向量線性相關(guān)性 判別 u方程組 1,，-g x = 0有非零解 r（： 1, ,： s） ： s -1,S,S+1線性無(wú)關(guān) ：、，S線性無(wú)關(guān)1- /- s x = 0只有零解 心1,，打二0 二-i不能由其余的線性表出 概念一求法 廣 極大線性無(wú)關(guān)組向量組的秩關(guān)系求法 抽象 矩陣的秩I抽象 等價(jià)向量組關(guān)系充要條件 等價(jià)矩陣 _丄概念一基，維數(shù)，坐標(biāo) 一子空間一解空間 向量空間基變換過(guò)渡矩陣 坐標(biāo)變換 I內(nèi)積一標(biāo)準(zhǔn)正交化，正交矩陣 考點(diǎn)分析 1. 向量組線性相關(guān)性的概念、性質(zhì)及判別，考過(guò)9次，是重點(diǎn)。 2. 矩陣的秩（其中有一道是關(guān)

4、于空間解析幾何的應(yīng)用題）及其與向量組的秩的關(guān)系考過(guò) 4次。 3. 滿秩方陣（既可逆方陣，或非奇異方陣）是一類重要的方陣。如果A為n階方陣，則下列 條件相互等價(jià)： 1）|A|=0（ A為非奇異方陣） 2）A可逆（A為可逆矩陣） 3）r（A）二n （ A為滿秩方陣） 4）A與同階單位矩陣E行（列）等價(jià) 5）A可以表示成若干個(gè)初等方陣的乘積 6）齊次線性方程Ax =0只有零解 7）對(duì)任意n維列向量b，非齊此線性方程組 Ax =b有唯一解 8）A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān). 利用這些等價(jià)條件， 就可以將其中某個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題進(jìn)行處理，（可將m階方陣 AB的行列式是否為零的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m階方陣AB

5、的秩是否小于 m的問(wèn)題，或轉(zhuǎn)化為齊此線 性方程組ABx =0是否有非零解的問(wèn)題）。特別地，由1）與8）的等價(jià)性，提供了 n個(gè)n維向量 是否線性相關(guān)的判別方法一一歸結(jié)為由這n個(gè)n維向量所組成的方陣的行列式是否為零的問(wèn) 題。 大綱要求 向量的概念向量的線性組合和線性表示 向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 向量組的極 大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)向量組 向量組的秩 向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系向量空 間及其相關(guān)概念n維向量空間的基變換和 坐標(biāo)變換 過(guò)渡矩陣向量的內(nèi)積 線性無(wú) 關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法規(guī)范正交基 正交矩陣及其性質(zhì) 考試內(nèi)容與要求 1. 理解n維向量、向量的線性組合與線性 表示的概念。 2. 理解向量組

6、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念， 掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān) 性質(zhì)及判別法。 3. 理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組 的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú) 關(guān)組及秩。 4. 理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩 與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系。 5. 了解n維向量空間、子空間、基底、維 數(shù)、坐標(biāo)等概念。 6. 了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡 矩陣。 7. 了解內(nèi)積的概念，掌握線性無(wú)關(guān)向量組 正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法。 8. 了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及 它們的性質(zhì)。 基本內(nèi)容 一、向量的線性關(guān)系 1. 線性組合 定義若？二睛扁，則稱： 可由12,線性表示，或稱1是向

7、量 組1,2,m的線性組合. 注意：零向量是任意向量組的線性組合. 定理：可由宀，2廠，：*線性表示 二非齊次方程組 X占1 - X2 2打打m =:有解 Rl；1 -2 J|L：m 二 R：U 2，川，：m，: 2. 線性相關(guān)性 定義設(shè)：1/-2/ m是m個(gè)n維向量，若 有不全為零的數(shù)k1,k2,|,km使 k 1 k 2 2km 0 則稱1,2,m線性相關(guān)，否則稱 12,/ m線性無(wú)關(guān). 注意：（1）無(wú)論1,2，m線性相關(guān)，還 是線性無(wú)關(guān)，當(dāng)匕=k2 =| =km =0時(shí)，都有 kr 1 k JIL kmm =0 （2）1,2,m線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)除去全 為零的k1,k2H,km以外，還有一

8、組不全為零 的k1,k2H,km使 k/1 k-ir kmm =0 （3 ）而12,im線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) k1 = k2 = | | | = km = 0 時(shí) 匕1 k2 -2 * H 丨kmm = 0 （4）充要條件是只要k1,k2,km不全為0， m 則 7 kF j = 0 i m 性質(zhì)與判別法 （1廠12,/ m線性相關(guān) U 齊次組 Xr1 - X22Xmm 二 0 有非零解 二 R :2 川 I，mm =：1,2，m中至少有一個(gè)向量可由其 余m_1個(gè)向量線性表示. 1,2,Cm線性無(wú)關(guān) 二齊次組為冷X2： 2亠亠Xmm =0 只有非零解. ：=R :.2川1,m i=m =:6 2,

9、，m中任一向量都不能由其余 m -1個(gè)向量線性表示 (3) 只有一個(gè)向量組成的向量組：， - =0=向量組二線性相關(guān)； :-0 =向量組線性無(wú)關(guān). 兩個(gè)向量組成的向量組，：，其中 :=印耳,am， : = bi,D, ,bm 線性相關(guān)二 am bm (5)若向量組中含有零向量，則向量組必線性 相關(guān) 若向量組線性無(wú)關(guān)，則該向量組的部分組 必線性無(wú)關(guān)； 若向量組部分組線性相關(guān)，則向量組線性 相關(guān) (7)設(shè) M/-2, 冋1 則 / m是s維向量 ,-m是t維向量 2也，rkj 是s t維向量， 若1,2,m線性無(wú)關(guān)，則1,0,rm線 性無(wú)關(guān)； 若也,，*線性相關(guān),則1,2，m線 性相關(guān) (8) 若

10、向量組中向量的個(gè)數(shù) 向量的維數(shù)，貝U 向量組線性相關(guān). (9) n個(gè)n維向量訂2,m線性無(wú)(相)關(guān) 二矩陣AF：；12,，m的 A = 0 A = (10) 正交的非零向量組，必線性無(wú)關(guān) 3. 線性表示與線性相關(guān)性的關(guān)系 (1) 若1,2,Cm線性無(wú)關(guān)， ：-1/2/ ,m線性相關(guān)，貝：可由 1,2，m線性表示，而且表法唯一 設(shè)(I )1,2,，:s , ( n 廠12,-t, 若s t，且(I)可由(n熾性表示，則向量 組(I )線性相關(guān) (3)若(I )1,2廠，：飛線性無(wú)關(guān)，且向量組 (n ) -1, -2/ , -t可線性表出(I)，則st . 二、極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩 1. 向量組

11、的等價(jià) 定義 若向量組(I)和向量組(n )可以相互線 性表示，則稱向量組(I)和(n)等價(jià). 性質(zhì) (1) 向量組等價(jià)具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性. (2) 兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組所含向量的 個(gè)數(shù)相同 2極大無(wú)關(guān)組 定義在向量組中若存在r個(gè)向量 12,/ r線性無(wú)關(guān)，且向量組中任意 r1個(gè)向量都線性相關(guān)，則稱12,r 為向量組的極大無(wú)關(guān)組 性質(zhì) (1) 向量組中任一向量都可由極大線性無(wú)關(guān)組 表出 (2) 含有非零向量的向量組必存在極大無(wú)關(guān) 組. (3) 線性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組就是向量 組本身. (4) 向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià). (5) 向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià) (6) 向量

12、組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù) 相同 (7) 兩個(gè)等價(jià)的向量組的極大無(wú)關(guān)組必等價(jià) 3. 向量組的秩 =向量組的極大無(wú)關(guān)組中向量 個(gè)數(shù) 性質(zhì) (1)等價(jià)的向量組的秩相等 向量組A: r,2,，：線性無(wú)關(guān) =R Aj= m 向量組A: :宀,線性相關(guān) u R A ： m 設(shè)向量組(I )/ s 向量組(n )匚2,-t 若(I)可由(n )線性表出，則r I 1,2,HI,m均為n維向量，那么, 下列結(jié)論正確的是. (A)若 kv 1 k 2 川 km m = 0，則 1,2,IH,m線性相關(guān) 3.2設(shè)向量組 冷2,3線性無(wú)關(guān)，則下列向 量組中，線性無(wú)關(guān)的是(973) (A) 1 *22 *33

13、- 1 (B) 1 *22 *3,：2 *3 (C) ： 12 2,2 23 3 ,3： 1 _bj Tb2 (ct, B ) = a P = 包,川，a.】： + A j 二 aQ a?b2 川 and 若:；,：=0，則稱：與I是正交的. a的長(zhǎng)度為|叫=Ja： +a； +川+a； 8. 施密特正交規(guī)范化方法 9. 規(guī)范正交基：若1 , 2,川，n是Rn的一組 基，且滿足 i，j =0, 2 j , 叫|=1,i =1,2，川,n，則稱n 1,一,川幾 為規(guī)范正交基. 若Q - i 1, 2,111, n 1,貝U Q是正交矩陣. 典型例題 一線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)的定義，性質(zhì)及判別 (注意：

14、線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)的內(nèi)容是非常 豐富的，此部分內(nèi)容有時(shí)與方程組的內(nèi)容 (B) 若對(duì)任意一組不全為零的數(shù) K,k2,川,km，都有 k22 川-gm =0，則 1,2,川,:m線性無(wú)關(guān) (C) 若：仆2,川，：韋線性相關(guān)，則對(duì)任意一 組不全為零的數(shù)K,k2,川，km，都有 (D) 若 0 ：1 0 II，0 ：m =0 ,則 1,HIm線性無(wú)關(guān).(923) (D)： 1 ： q ： 3,2 22 3,3：j5 匕-5 3 3.3設(shè)有任意兩個(gè) n維向量組r,HI,m和 ：lJH，：m，若存在兩組不全為零的數(shù) 1,川,m和人,川,匕使 ki ： 1川 m km ： m * 1一匕IH 皿一心 F =

15、0 則 (A) Ml/m和：1,川，：m都線性相關(guān) (B) ：i JH/m和iJH, m都線性無(wú)關(guān) (C) M -lJIL：m -m, 5ll|,m- m 線性 無(wú)關(guān) (D) 務(wù)+打IWm+爲(wèi),碼-Bi川,Pm線性 相關(guān).(964) 解由題意知，,2,lH,m和 K,IH,km是兩組不全為零的數(shù)，將已知等式 整理得 1川 mm m： ki mJU kmm - m =0 由向量組的線性相關(guān)性定義知 :：1,l|hm ：m,1- ：1,|H，m - m 線性相關(guān) 故(D)為正確選項(xiàng). 3.4設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù)k，使線 性方程組Akx=0有解向量：，且 k 1 A : -0，證明：向量組

16、:,A |AkJ?是線性無(wú)關(guān)的.(981) 解設(shè)有常數(shù) 1, 2川，k,使得 ?護(hù) +A +川 + 扎 kAk =0 則有 Ak_l (砧+ 扎2Aa +川 + 入 kAk_1a )= 0 從而有V -0. .k 1 由于A 篇嚴(yán)0 ,所以=0 類似可證得 2 = 3 = k = 0 因此向量組，A|lAk是線性無(wú)關(guān)的 3.5設(shè)A是m n矩陣，B是n m矩陣，E 是n階單位矩陣 m n，已知BA = E，試 判斷A的列向量組是否線性相關(guān)？為什么？ (934) 解1設(shè)A2,1丨1,其中 仆:匕川，*為m維列向量，設(shè)存在數(shù) K,k2,lH,kn，使得 k1： 1 k ：22 川 kn： n =0

17、ki 丨ki Ik,ks = 0 k1 k2 = 0 k2 k3 = 0 口 t k2k2 即 2=(0,1,0)；3=(0,0,1)；4 =(1,1,1) 線性無(wú)關(guān)，但去掉任意一個(gè)向量后剩余的向 量組線性無(wú)關(guān) 由于初等變換不改變向量組的秩及向量 組的線性相關(guān)性，(D)相當(dāng)于 g JLs作 初等變換，故應(yīng)選(D). 3.16設(shè)矩陣A = ：1,2,llhn經(jīng)過(guò)若干次初等 列變換后變成了矩陣 B珂訂1, 2,3, ：4的線性組合？ (2) a, b為何值時(shí)，有冷，2,：3為的唯一 的線性表示式？并寫(xiě)出該表示式.(911) 解設(shè)：=X1X2： 2 X3 3X4 4，則 捲 +x2 +x3 +滄=1

18、 x2 _x3 +2x4 =1 2x-| 3x2 a 2 x3 4x4 二 b 3 3x1 5x2 x3 亠 i a 8 x4 =5 因?yàn)?b+ 3 51 a+ 85 一 能表示為_(kāi)門(mén)，二2,二3,二4的線性組合 當(dāng)a = 一1時(shí)，表示式唯一，且 空冷.02,2,3 0.,4 a -1 a 1 a 1 TT 3.18 設(shè)向量組： ua,2,10 =2 - -2,1,5 T 小T ：3- -1,1,4,：；=i1,b,c 試問(wèn)：當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)， (1) 可由r,：,線性表示，且表示式唯 一? (2) 一：不能由亠，：,線性表示？ (3) -可由一:, _：2,二3線性表示，但表示不唯 一

19、？并求出一般表達(dá)式.(003) 解1設(shè)有一組數(shù)匕飛2*3，使得 k2： 2 k3： 3八 該方程組的系數(shù)行 列式 a21 A =211=a 4 11111 01-12 1 0 1 a2b+1 衛(wèi) 2 -2a+b2 一 11111 01-121 00a+10b .000a+10 一 所以當(dāng)a = -1,b =0時(shí)，系數(shù)矩陣的秩為 2， 而增廣矩陣的秩為3，方程組無(wú)解，故：不 (1) 當(dāng)a = -4時(shí)，A = 0，方程組有唯一解, 1可由12,3線性表示，且表示式唯一 (2) 當(dāng)a - -4時(shí)，對(duì)增廣矩陣作初等行變換， 有 -4 -2 _1 11 A = 2 1 1 b - 10 5 4 1054

20、 2 10-b -1 t 0 0 12b+1 00 0 3bc-1 若3b-c=1，則秩A =秩A，方程組無(wú) 解，1不能由宀，2,3線性表示 當(dāng)a = V時(shí)，且3b -c =1 , 秩 A -秩 A = 2 ： 3，方程組有無(wú)窮多 解，-可由 冷，,線性表示，但表示式不 唯一解得： k = t,k _ -2t - b -1,= 2b 1 (t為任意常數(shù)).因此有： :=t_” 一2t b 1 _：込 2b 1 ：-3 解2設(shè)有一組數(shù)k1,k2,k3，使得 k1：1 k2： 2 k3： 3八對(duì)方程組的增廣矩 陣A作初等行變換，有： 1 a211I A= 211b 1054c_ 2 11b aaa

21、b to2旦1旦1- 222 (1)當(dāng)一2 -旦0 ,即卩a -4時(shí), 2 001c 5b 秩 A二秩 A =3，方程組有唯一解，一：可 由:- 1,2,3線性表示，且表示式唯一 (1)當(dāng) 一2 一空=0 , 2 即a - _4時(shí)，對(duì)增廣矩陣作初等變換，有 2 1 0-b-1 at 0 0 12b+1 0 0 0 1-3b + c一 當(dāng)3b - c = 1，則秩 A ：二秩A，方程組無(wú) 解，:不能由忙七，線性表示 (3) 同解法一 TT 3.19 設(shè)：1= 1,2,0 ,：2=1,a 2,_3a ， T 任T ：3 二-1,-b-2,a 2b，一 1,3,-3 試討論當(dāng)a，b為何值時(shí)， (I

22、) 1不能由1,23線性表示； (n)可由123唯一地線性表示，并求 出表示式； (川)可由12,3線性表示，但表示式不 唯一，并求出表示式.(043) 解設(shè)有數(shù)k1,k2,k3，使得 G 廠 k22 k 33 () 記A -2 / 3 .對(duì)矩陣 A,：施以初等 行變換有 1 -11 a+2 -b-23 1 (A,0 )= 2 -3a a 2b -3 0 :不能由M, 2, 3線性表示 (n)當(dāng) a = 0，且 a = b 時(shí)， r A二r A=3，故方程組(“)有唯一解 則：可由：1, ：2, ：3唯一地線性表示，其表示 (川)當(dāng)a=b = 0時(shí)，對(duì)施以初等行變 換，有 - 1 0 0 1一

23、 a (A 0 1 -1 1 a 0 0 0 0 - 一 (B) 必可由:,線性表示 (C) 、：必可由：,-,線性表示 (D) 必不可由：；-,線性表示.(984) 解，線性無(wú)關(guān)，則也線性無(wú) 關(guān)，而，：，：線性相關(guān)，因此：可由:-線 性表示，從而更可由Ji. ,1；-” ,線性表示，故選 (C) 3.21設(shè)向量組1,2,3線性相關(guān)，向量組 234線性無(wú)關(guān)，問(wèn) (1) ： 1能否由23線性表示？證明你的結(jié) 論 (2廠4能否由12,3線性表示？證明你的 結(jié)論.(921) 解1 ： 1能由2, 3線性表示 因?yàn)橐阎?3,4線性無(wú)關(guān)，所以2,3線 可知r A二r A, ：=2 ,故方程組(”)有無(wú)

24、窮多解，其全部解為 性無(wú)關(guān).又因?yàn)?123線性相關(guān)，故1能 11-11 t 0 a b 1 00 a -b 0 (i )當(dāng)a = 0 , b為任意常數(shù)時(shí)，有 11-1111-11 (A 目戸 D041 卜 0。 1 0 0 4 0一 p 0 0 -1一 可知r A =r A，故方程組(“)無(wú)解, 11-1) =1 ,k?=l + c 1, k , ala丿 其中C為任意常數(shù)：可由仆：七，3線性表 示，但表示式不唯一，其表示式為： f1 p = i1 l a丿 I 十 |+ C 0( 2十5 3 3.20若向量組 G, B,Y線性無(wú)關(guān)；G ,B,6線 性相關(guān)，則 (A) :必可由I,：線性表示

25、由：-23線性表示 解2 ?i能由:J, 3線性表示 因?yàn)橐阎?, : 2, ：-3線性相關(guān)，故存在不全為 零的匕*2*3，使 K ： 4 k2 ： 2 k3 ： 3 = 0 其中匕=0。因?yàn)槿糌?0，貝y k2,k3不全為 零，使 k 2 k 3 30 即：2/3線性相關(guān)，從而2,3,4線性相 關(guān)，這和已知矛盾，故匕=o k2 ki ：2 k3 . W3 ：4不能用：-4/- 2,3線性表示用反證法. 設(shè)4可由1,23線性表示，即 二4 = 1 -叫亠2 二2， 3 ： 由(1)可知，設(shè)：i “2：2心3，代入上式得 4 二22 23 上：3 即：4可由：2/3表出，從而234線性 相關(guān)，這

26、和已知矛盾因此，J不能由 123線性表示 3.22已知A是n階非零矩陣，且 A中各行元 素對(duì)應(yīng)成比例，：】，t是Ax =0的基 礎(chǔ)解系，1不是Ax =0的解，證明：任一 n 維向量均可由 宀，_：辺，,一“，：線性表出。 證法1因?yàn)榫仃?A中各行元素對(duì)應(yīng)成比 例，故r(A) =1，基礎(chǔ)解系為n_1個(gè)，因此 t = n1 若 Kg + kg 才+心_5_+沖=0, (1) 用A左乘，并把A、=0(i =1,2,n-1)代 入，得 IA1 = 0, 由于- 0，故1=0，于是(1)式為 1 k2： 2n=0 因?yàn)椋?,2,，n_是基礎(chǔ)解系，知 12,n線性無(wú)關(guān)， 從而由(2 )知 k, = 0,

27、k2 = 0, ”, knj = 0,因 此1,-，,n線性無(wú)關(guān)。對(duì)任一 n維 向量，由于任意n1個(gè)n維向量 ：1, 2,，:n_1廠必線性相關(guān)，那么必 可由1, 2,nd,：線性表出。 證法 2已經(jīng)證出t = n -1, 即 ：1, 2,n：_線性無(wú)關(guān)，又因?yàn)?不是 AX =0的解，即不能由仆一，,nd線 性 表 出， 即 方 程 組 X|r X22_XnFnJ 二：無(wú)解，故 r(：1,：2,： n_1)=r(：1,： 2,： Q 1二n 即：、，,：人線性無(wú)關(guān) 證法3-不是Ax = 0的解，故1不能由 基礎(chǔ)解系線性表示，所以，宀，2 ,n二，- 線性無(wú)關(guān)。 3.23設(shè)n維列向量:-1 J1

28、1, . m(m n)線性無(wú) 關(guān)，則n維列向量組一：1,|),二線性無(wú)關(guān)的充 要條件為 (A) 向量組:1,川,冷可由向量組：1,川，：m線 性表示 (B) 向量組：1,|, ：m可由向量組1,川，冷線 性表示 (C) 向量組()J川，m ,與向量組 川m等價(jià) (D) 矩陣 A= 1,1 11m 與 B 11, m 等 價(jià).(001) 分析記():1，HIm C) ：1 川:m 則()線性無(wú)關(guān)二r( 11) =m (A) 若()可由(.)線性表出，則 r()乞r(.)，又因?yàn)?)線性無(wú)關(guān)，所以 m 二 r( ) _ r( 11) _ m ， 從 而 r( H) =m，即、川1, :m線性無(wú)關(guān)充

29、分性成 下看必要性：當(dāng) m：n時(shí)，()，()均 無(wú)關(guān)，不能保證()可(.)由線性表出，例如 1, ：2線性表出，所以(A )不是必要條件 (B) 若(11)可由(J線性表出，則 r_ r( ) =m，所以 r(r,IHm) - m , 所以，川，G的線性無(wú)關(guān)不能確定，(B) 不是充分條件，(A )中的反例也說(shuō)明不是必 要條件，所以(B)既不充分也不必要。 (C) 若()與(ii)等價(jià)，即 ( )與()可互相 線性表出，由(A)( B )知(C)只是 充分條件 (D) 矩陣A與B等價(jià)是指經(jīng)初等變換 A可 轉(zhuǎn)化為矩陣B o A與B等價(jià)二r(A) = r(B) 若r(A) = r ：1l/m與B=匚

30、川，十 等價(jià)，則 r(A) =r ： 1,|,： m i=r -1|, Y-r(B) 因?yàn)?,川m線性無(wú)關(guān)， r ：5,川,m = m ,從而 r -11, -m = m. 因此，向量組S,HIm線性無(wú)關(guān)，充分性成 立。 反之，若1,川m與11, ：m均線性無(wú)關(guān)， 則 r 1JIL m 二 r r,HIm 二 m 從而r(A) =r(B)，即矩陣A與B等價(jià)，必 要性成立.所以選(D) 注：兩個(gè)向量組向量個(gè)數(shù)相同且等價(jià)，則可 推出兩個(gè)矩陣等價(jià)， 即1,川,與匚川，冷等價(jià) -(：dm 與-1,)1, m 等價(jià) 但是：1,川，：s與1,川，等價(jià)時(shí)，矩陣 j 0 10 -13-24 2 1 4 3 0

31、 1 0 1 00 p2/p C i,IH, ： s)與、，川，u不等價(jià). 條件(C)比(D)強(qiáng) 3.24設(shè)向量組 、：3 = 3,2, 1,p 2 丨,如=2, -6,10, p 丨, (1) 當(dāng)P=2時(shí)，向量組1,2,3, 4線性無(wú) (1) p為何值時(shí)，該向量組線性無(wú)關(guān)？并在 此時(shí)將向量:-14,1,6,10用冷，2,3, 4 線性表示 (2) p為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在 此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān) 組.(992) 分析:.可由：23, ： 4線性表示，即 1為 ：遼乂2 =：UX3有解 解對(duì)氣23, 4, J作初等行變換： 1-13-24 1-32-61 )15- 1106

32、 .31 p + 2 p 10 一 關(guān)此時(shí)設(shè) -X|_：屜一：匚2 X3-S X4 4 解得: -2 1 -1 0 -2 0 6 】04 3 -2 4 -1 -4 - -3 -4 1 2 2 p - 7 p6 - 2 X2 二沁，X3=1,X4 p-2 當(dāng)p = 2時(shí)，向量組r,：,：/, 4線性相 關(guān).此時(shí)向量組的秩等于 彳匸仆：匕，：/ (或 1-13- 24 0 -2- 1- 4 - 3 00- 70-7 00 p 9p 2 8_ 1,3,4)為其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組 三兩組向量間的線性表示和相關(guān)性 常用方法： 1、利用向量組相關(guān)定義判別 2、利用矩陣的秩判別， A = (： 1,： 2,

33、： s),r(A) ： s相關(guān), r (A)二s無(wú)關(guān) P2P 3、利用行列式，個(gè)數(shù)=維數(shù)時(shí)，A=0時(shí)， 相關(guān)，A工0無(wú)關(guān) 4、利用性質(zhì) 向量組PiJILPt可由1,川心線性表示 = 方程組 xa+X2O2+兀叫=昇=12譏 均有解 二 1川I,%） =（務(wù)川|,%,耳）i =1,2 r（ai,|,as）=r（%H|,as,Pi川 |,弭） 二 r（H=r（AB）其中=0,|,冬）3=代|,片） 二 AX =B有解,其中X為s矩陣 5、向量組川衛(wèi)可由,川,叫線性表出 二 riJH, ）蘭r（%川I%） 6、兩個(gè)向量組等價(jià)： （1）向量組,川,與耳,川厲等價(jià) 二（氐川厲）=r（W川I,%），逆 不

34、成立 （2）注意向量組等價(jià)與矩陣等價(jià)的區(qū)別 3.25設(shè)向量B可由向量組a12Lm線性 表示，但不能由向量組（I ） :1a2LamJ 線性表示，記向量組（n ） 口1,。2,川，亠0 , 則 （A）m不能由（I）線性表示，也不能由（n ） 線性表示 （B）m不能由（I）線性表示，但可由（n ）線 性表示 （C）m可由（I ）線性表示，也可由（n）線性 表示 （D）m可由（I ）線性表示，但不可由（n ）線 性表示.（993） 解若m能由（I ）線性表示，則能由（I ） 線性表示，與題設(shè)矛盾，故=m不能由（I ） 線性表示. |l,t 由于可由向量組：1,2川1,線性 表示，不能由（I ）線性表示，故在用 忙七川匕心線性表示：，m的系數(shù)不為 0,故：-m可由1,2川1,：*即（n ）線 性表示.故選（B）. 3.26設(shè)向量組（I ） :1,2,l|lr可由向量 組（n ） :川s線性表示，則 （A）當(dāng)r s時(shí)，向量組n必線性相關(guān). （B）當(dāng)r s時(shí)，向量組n必線性相關(guān). （C）當(dāng)r s時(shí)，向量組I必線性相關(guān). （D）當(dāng)r s時(shí)，向量組I必線性相關(guān).（031） 解由相關(guān)的定理，（D）入選. 3.27設(shè)A是m n矩陣，對(duì)矩陣 A作初等行 變換得到矩陣B，證明：矩陣 A的列向量與 矩陣B的相應(yīng)的列向量有相同的線性相關(guān) 性.