光柵衍射實(shí)驗(yàn)的誤差分析及改進(jìn)途徑

1、.光柵衍射實(shí)驗(yàn)的誤差分析及改進(jìn)途徑 摘要：平行光未能嚴(yán)格垂直人射光柵將形成誤差，常用的對(duì)稱測(cè)盤法只能消除誤差的一階修正項(xiàng)，仍存在二階修正項(xiàng)誤差。采用測(cè)t最小衍射角的方法能有效地消除一階、二階修正項(xiàng)的誤差，而且能觀測(cè)到更高級(jí)次的衍射條紋，從而減少讀數(shù)誤差，提高實(shí)驗(yàn)精度。1光柵放置誤差的理論分析當(dāng)平行光與光柵平面法線成a角斜入射時(shí)的光柵方程為或 上兩式中k，k的物理意義如下圖所示。因此，如果光柵放置得不嚴(yán)格垂直于人射光，而實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)仍用公式(1) 進(jìn)行波長(zhǎng)、分辨率等物理量的計(jì)算，將造成實(shí)驗(yàn)誤差。不失一般性，就方程(2)考慮人射角對(duì)測(cè)量結(jié)果的影。圖1 平行光斜入射光柵將方程(2)展開(kāi)并整理，得 （4

2、）與(1)式比較可知，由于人射角不等于零而產(chǎn)生了兩項(xiàng)誤差，如果很小，第一項(xiàng)tan(k/2)sintan(k/2) x 可視為一階小量，第二項(xiàng)2sin2/22/2可視為二階小量，為方便計(jì)，稱第一項(xiàng)為誤差的一階修正項(xiàng)，第二項(xiàng)為誤差的二階修正項(xiàng)。如果較大，則引起的誤差不能忽略。進(jìn)一步分析表明，在相同人射角的條件下，當(dāng)衍射級(jí)次k增加時(shí)，k增加，由于tank是遞增函數(shù)，因此一階修正項(xiàng)增大，測(cè)量高級(jí)次的光譜會(huì)使實(shí)驗(yàn)誤差增大;而誤差的二階修正項(xiàng)與衍射級(jí)次k和衍射角k無(wú)關(guān)。從測(cè)量理論來(lái)看，衍射級(jí)次k越高，衍射角k越大，估讀k引起sink的相對(duì)誤差越小，因?yàn)閟ink/sink = ctgkk，而ctgk是遞減函

3、數(shù)。另外角色散率dk /d= tank/因正比于tank而增大;角分辨率因正比于衍射級(jí)次k而增加。因此測(cè)量高次的光譜非但不增大二階修正項(xiàng)的相對(duì)誤差，反而能減小其它物理量的測(cè)量誤差，而誤差的一級(jí)修正項(xiàng)則與此矛盾。2減少誤差的途徑如果能測(cè)出值代入(4)進(jìn)行計(jì)算，理論上能對(duì)光柵放置不精確而引起的誤差進(jìn)行修正。但作為教學(xué)型實(shí)驗(yàn)，人射角的測(cè)量有一定難度，而且從測(cè)量理論上考慮，應(yīng)盡可能減少直接測(cè)量量的數(shù)目?？紤]到第一修正項(xiàng)系數(shù)為奇函數(shù)，因此可以用對(duì)稱測(cè)量的方法來(lái)消除，這也是通常實(shí)驗(yàn)所采用的。為此將(2)式和(3)式相加并兩邊同除2，得可見(jiàn)第一修正項(xiàng)已消除，但第二修正項(xiàng)仍然存在。如按對(duì)稱測(cè)量方法，取左右兩個(gè)

4、衍射角的平均值，計(jì)算波長(zhǎng)等物理量應(yīng)該用公式(5)，而不能簡(jiǎn)單地把(k+k)當(dāng)作k代人(1)式計(jì)算。比如波長(zhǎng)幾的計(jì)算，若不計(jì)第二修正項(xiàng)，則有因此，平行光不垂直入射引起波長(zhǎng)測(cè)量的相對(duì)誤差為其相對(duì)誤差完全由人射角決定，與衍射級(jí)次k和衍射角k無(wú)關(guān)，而且對(duì)不同光柵，第二修正項(xiàng)誤差都一樣。其誤差隨人射角改變的理論計(jì)算結(jié)果如圖2所示。圖2 光柵放置未能使平行光垂直入射引起的誤差我們?cè)贘JY型(測(cè)量精度為=1，光柵常數(shù)d = 1/300mm，待測(cè)光波長(zhǎng)= 589.3nm)分光計(jì)上進(jìn)行了測(cè)量，測(cè)量結(jié)果以散點(diǎn)形式在圖2上標(biāo)出，測(cè)量誤差與理論計(jì)算誤差相一致。當(dāng)人射角=2時(shí)，理論計(jì)算誤差為0.061%，實(shí)驗(yàn)測(cè)定誤差為

5、0.11%;人射角=4時(shí)理論計(jì)算誤差為0.24%，實(shí)驗(yàn)測(cè)定誤差為0.26%；人射角=30時(shí)，理論計(jì)算誤差為15%，實(shí)驗(yàn)測(cè)定誤差為14%；理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果都表明，當(dāng)不垂直而偏離的角度較小時(shí)( 0，因此存在一個(gè)最小衍射角kmin ，此時(shí)光柵方程簡(jiǎn)化為正如找三棱鏡最小偏向角一樣，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)方便地測(cè)量出這一最小衍射角。即首先把望遠(yuǎn)鏡的十字叉絲對(duì)準(zhǔn)某一衍射級(jí)次的譜線，轉(zhuǎn)動(dòng)載物臺(tái)帶動(dòng)光柵作微小轉(zhuǎn)動(dòng)，在望遠(yuǎn)鏡中可見(jiàn)到光譜線跟隨著光柵轉(zhuǎn)動(dòng)而移動(dòng)，由此可確定最小衍射角的截止位置，記下此時(shí)的讀數(shù)1，然后取走光柵，將望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)平行光管，記下此時(shí)的讀數(shù)2，則kmin=|2-1|。與通常的測(cè)量方法一樣，只需兩次

6、讀數(shù)就能測(cè)出波長(zhǎng)等物理量，而且消除了第一、第二修正項(xiàng)引起的誤差。因此，測(cè)量光柵最小衍射角，由方程(8)進(jìn)行波長(zhǎng)、分辨率等物理量的計(jì)算，不僅消除了一階、二階修正項(xiàng)引起的誤差，而且還有另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，即增加光柵的衍射級(jí)次k，如實(shí)驗(yàn)室常用光柵，用對(duì)稱測(cè)量法一般只能觀測(cè)到二級(jí)衍射條紋，采用最小衍射角法，則能方便地觀則到四級(jí)衍射條紋，因而增加kmin值，減少讀數(shù)引起的相對(duì)誤差，從而有效地提高測(cè)量精度。圖3 最小衍射的測(cè)量3結(jié)束語(yǔ) 光柵衍射實(shí)驗(yàn)是測(cè)量精度比較高的普通物理實(shí)驗(yàn)，以波長(zhǎng)測(cè)量為例，如果分光計(jì)的調(diào)整和光柵放置精確，則測(cè)量最大誤差可由下式進(jìn)行估算。取分光計(jì)的儀器誤差作為測(cè)量角度的誤差，光柵常數(shù)d通過(guò)測(cè)

7、量某一標(biāo)準(zhǔn)波長(zhǎng)為0的入射光的衍射角求得，則測(cè)量光柵常數(shù)d的誤差為d/d二ctgk*k，所以可見(jiàn)，測(cè)量波長(zhǎng)的相對(duì)誤差隨衍射角的增加而快速減小。以對(duì)汞燈光譜的綠光波長(zhǎng)測(cè)量為例，對(duì)一、二級(jí)譜線，其衍射角分別約為933，和1923，取k =1，則/分別為0.24%和0.12%，但學(xué)生測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差大多超過(guò)1.0%，其主要原因在于分光計(jì)的調(diào)整和光柵放置不精確。我們將其改為測(cè)量三階最小衍射角，結(jié)果實(shí)驗(yàn)精度在1.0%以內(nèi)。因此測(cè)量最小衍射角法可以在學(xué)生實(shí)驗(yàn)推廣使用。4討論測(cè)量誤差這種方法的主要誤差在于用光強(qiáng)來(lái)判斷兩套莫爾條紋重合的光強(qiáng)測(cè)量精度。因此，提高測(cè)量精度的主要方法是提高光強(qiáng)測(cè)量精度或增加z2- z1之值。設(shè)由光強(qiáng)測(cè)量誤差引起的位置誤差為z ，則當(dāng)光強(qiáng)測(cè)量精度為0.5%，則z=1.16mm，按照（15）式計(jì)算的值為0.28%。實(shí)際測(cè)量中常用不同K時(shí)的位