探索多邊形內(nèi)角和教學(xué)設(shè)計

1、探索多邊形內(nèi)角和教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標】（1） 知識與技能：掌握多邊形內(nèi)角和概念及計算公式，并能利用其解決解決簡單問題及一些實際問題。（2） 過程與方法：讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、計算、猜想、探索、推理和歸納過程發(fā)展學(xué)生的幾何直觀合情推理能力。通過學(xué)生自主探索多邊內(nèi)角和的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷從不同的角度尋求分析問題和解決問題的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法。（3） 情感態(tài)度價值觀：通過學(xué)生的動手操作、交流合作能較好地較好地理解他人的思考方法和結(jié)論，能針對他人所提問題進行反思初步形成評價反思的意識。經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、探究問題和解決問題的過程，提高的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

2、信心。【教學(xué)重難點】：重點：多邊形內(nèi)角和定理及其應(yīng)用。難點：多邊形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)?！窘虒W(xué)方法】：類比、觀察、引導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)、教練結(jié)合。【教材分析】：多邊形的內(nèi)角和定理是滬科版八年級數(shù)學(xué)下冊第十九章第一節(jié)內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)和平行線的判定、三角形的內(nèi)角和、全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定之后又一新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是三角形內(nèi)角和的應(yīng)用的深化和拓展，也是以后學(xué)習(xí)正多邊形基礎(chǔ)?！緦W(xué)生分析】：本班學(xué)生四十人，學(xué)生學(xué)生的基礎(chǔ)中等，學(xué)生的年齡較小，思維較為活躍，發(fā)言較為積極。同時學(xué)生經(jīng)過平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用、三角形的內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程和三角形性質(zhì)與三角形全等判斷的應(yīng)用過程，學(xué)生的幾何直觀能

3、力、演繹推理能力有了一定積淀和提高，積累了一定的動手操作、觀察猜想、歸納證明完整的數(shù)學(xué)活動過程、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，為多邊形內(nèi)角和定理的探究發(fā)現(xiàn)、歸納證明提供了較為理想的知識生長點和數(shù)學(xué)思想方法?！窘虒W(xué)過程設(shè)計】：1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課（1） 看一看：多媒體展示水立方夜景圖圖片、中央電視臺圖片及一些生活中的圖片，讓學(xué)生觀察其中的圖片，類比三角形的概念，回答其中的多邊形有幾條邊？是幾變形？（2） 動手操作：讓學(xué)生畫多邊形并說出所畫的多邊形是幾邊形，也可手中的火柴桿搭建多邊形.師：你所畫的是幾邊形，有幾條邊？生：我畫的是三角形，三角形有三條邊.生：我畫的梯形有四條邊.生：我畫的正方形

4、、平行四邊形、長方形都有有四條邊.師：你能類比三角形的相關(guān)概念得到多邊形的相關(guān)概念嗎？學(xué)生類比得到四邊形的相關(guān)概念，強調(diào)四邊形的概念與三角形概念的不同之處：在同一平面內(nèi)。師：類比三角形形的內(nèi)角和探索途徑和證明方法及探索經(jīng)驗，你能求出你所畫的多邊形的內(nèi)角和嗎？你有哪些方法或途徑可以得到得到多邊形的內(nèi)角和.生：測量、拼角的方法.生：采取轉(zhuǎn)化的方法把多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)為我已解決的多邊形的內(nèi)角和.【評析】：通過課件展示生活中的多邊形實物圖片，再讓學(xué)生動手操作，引起學(xué)生的興趣，然后提出并引出課題，以這樣的問題情境作為開始，是學(xué)生進一步了解和學(xué)習(xí)新知識的有效切入點，通過動手操作和觀察思考，增加對多邊形的感性

5、認識，這樣的教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，又激發(fā)了學(xué)生進一步探究新知與學(xué)習(xí)新知的欲望.板書課題：多邊形的內(nèi)角和2:類比探究,探索新知問題1.師：同學(xué)們，多媒體顯示的美麗圖片中有多種多邊形，其中水立方圖片中有好多的多邊形能夠既不重疊又無縫的拼接，你想知道其中的道理嗎？生：拼在一起的幾個公共頂點的角的和等于一個周角的度數(shù).師：可見上面的問題與多邊形的內(nèi)角及內(nèi)角和有關(guān)，那么我們一起來研究多邊形的內(nèi)角和。我們已經(jīng)探究了三角形的內(nèi)角和等于180，那么四邊形的內(nèi)角有等于多少度呢？他和三角形的內(nèi)角和又存在怎樣的關(guān)系呢?生：我們已經(jīng)學(xué)過正方形、長方形、平行四邊形、梯形，因為它們至少都有一組對邊平行，利用兩直線

6、平行同旁內(nèi)角互補，可知的內(nèi)角和都等于360，所以我猜想四邊形的內(nèi)角和為360.師：你說的真好，能夠從特殊到一般進行猜想并且給予簡單證明，同學(xué)們給點掌聲。生：老師，我把一個四邊形四個內(nèi)角拼在一起得到一個周角，我也猜想四邊形的內(nèi)角和為360.圖1 圖2 圖3 圖4 圖5師：上面的兩位同學(xué)通過動手操作及特例猜想說理得道四邊形的內(nèi)角和等于360的猜想，你能給出證明嗎？給學(xué)生以充分的時間和空間，讓其思考，允許討論、交流、碰撞、吸納、反思。教師巡視給思考探究受阻的學(xué)生給予啟發(fā)或提示。幾分鐘后大部分學(xué)生已經(jīng)完成證明過程。師：請同學(xué)們展示你們的思路及證明過程.生：老師，我從四邊形的一個頂點引條對角線(如圖)，

7、把四邊形分成兩個三角形，兩個三角形的內(nèi)角和剛好是四邊形的內(nèi)角和，所以四邊形的內(nèi)角和為360.師：說得真好，通過轉(zhuǎn)化化歸的方法把四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和問題解決了四邊形的內(nèi)角和為360的問題，化未知為已知、化繁為簡，簡便快捷.生：老師，在四邊形內(nèi)部取一點如(圖),連接它與各個頂點得到四個三角形的內(nèi)角為720，這四個三角形的同一頂點的四個角恰好圍成一個周角，所以四邊形的內(nèi)角和為720360=360.生：老師，我在四邊形的邊上取一點(如圖)，向四邊形的四個頂點引線段得到三個三角形的內(nèi)角和為540，其中一邊上的點為頂點的三個角的和為180，所以四邊形的內(nèi)角和為540 180=360.生：老師

8、，我是通過添加平行線來考慮的（如圖），把四邊形的四個內(nèi)角的和轉(zhuǎn)化為兩對同旁內(nèi)角與一個三角形的三個內(nèi)角之和減去一個平角，即 1803180=360.生：我從特殊到一般思考通過添加輔助線，化成長方形證明長方形的四個角都為90，它們的和為90（如圖），再在里面“裝”一個四邊形就證明出來了.因為4=5+6，而6=7+8, 5+1=2+3,所以1+4=1+5+6=1+5+7+8=2+3+7+8,所以四邊形的內(nèi)角和就轉(zhuǎn)化為長方形的內(nèi)角和.生 ：老師，我通過加兩條輔助線（如圖 ） ，利用三角形的內(nèi)角和定理的推論及平行四邊形對邊平行同旁內(nèi)角互補把一般四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為平行四邊的內(nèi)角和等于360 .生 ：老師

9、我通過作兩條輔助線（如圖 ）利用平行線的性質(zhì)把平行四邊形的四個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個周角的度數(shù)，所以四邊形的內(nèi)角和為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），利用三角形內(nèi)角和的推論和平行線的性質(zhì)把四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為梯形的內(nèi)角和，所以三角形的外角和為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），利用三角形的內(nèi)角和的推論和兩直線平行同旁內(nèi)角互補得到四邊形的內(nèi)角和為360 。或通過作輔助線（如圖 ），把四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為一個梯形的內(nèi)角和加上兩個三角形的內(nèi)角和減去兩個平角，得到四邊形的內(nèi)角和為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），把四邊形的四個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平行線的兩對同旁內(nèi)角，得到四邊形的內(nèi)角

10、為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），把四邊形的四個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平行線的一對同旁內(nèi)與一個三角形的內(nèi)角和，得到四邊形的內(nèi)角和為360 ?；蛲ㄟ^作輔助線（如圖 ），把四邊形的四個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩個平角的和，得到四邊形內(nèi)角和為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），把四邊形的四個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩個平角，得到四邊形內(nèi)角和為360 .師：大家看看，這14幅有什么聯(lián)系與區(qū)別？試著將他們分類。其中那種轉(zhuǎn)化方法更便于操作求出四邊形的內(nèi)角和？生：按是否添平行線分類，可分為添已有線段的平行線或與已有線段不一定平行的線段。也可按轉(zhuǎn)化為何種圖形進行分類，可分為轉(zhuǎn)化為三角形、一般四邊形與三角形、平行四邊形與三

11、角形、梯形與三角形等情況。把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和更便于操作.圖6 圖7 圖8圖9 圖10 圖11圖12 圖13 圖14【評析】：先讓學(xué)生思考探究、交流討論、碰撞吸納、感悟反思，展示自己的探究過程，師生共同共同歸納總結(jié)，優(yōu)化思維這樣既確立了學(xué)生的主體地位，使他們的思維得到鍛煉發(fā)展，又分享了別人的思考方法。探究活動從學(xué)生的已有知識水平、思維水平、原有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、知識結(jié)構(gòu)上動手操作、展開聯(lián)想、類比轉(zhuǎn)化等途徑和方法自主探究，依靠思維定勢的趨向性，思維者將所面臨的問題情境迅速歸結(jié)為熟悉的情境找到解決問題的途徑，從而使問題得以解決。同時學(xué)生探究問題不同的方法途徑的展示，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，使

12、學(xué)生的思維得以拓展和優(yōu)化，及培養(yǎng)了學(xué)生的自主建構(gòu)知識的能力，也培養(yǎng)傾聽他人的思維方法從而使自己的思維得以優(yōu)化。問題2：填寫表格多邊形三角形四邊形五邊形六邊形n邊形從一個頂點發(fā)出的對角線的條數(shù)多邊形被分割成的三角的個數(shù)多邊形的內(nèi)角和師.問題3：從填寫表格過程中你發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)n存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？生：從n(n3且n為整數(shù))邊形的一個頂點可引n-3條對角線，把n變形分割成n-2個三角形，所以n邊形的內(nèi)角和為180（n-2）.師：板書n（n）邊形內(nèi)角和=180(n-2).師：說得真好，這位同學(xué)先由特殊的多邊形的內(nèi)角和猜想到一般多邊形的內(nèi)角和公式，體現(xiàn)了我們研究數(shù)學(xué)問題的思路和方法：

13、有特殊到一般，再進行演繹推理給予證明，同學(xué)們以后研究陌生的問題也可以采用這種方法?！驹u析】：有了探究四邊形內(nèi)角內(nèi)角和的經(jīng)驗和方法的積累，學(xué)生水到渠成的得到五邊形、六邊形.n邊形的內(nèi)角和公式。然后學(xué)生進行縝密的證明。教師在這里的設(shè)計體現(xiàn)了特殊到一般，具體到抽象，由易到難、由淺入深的認知規(guī)律。特別是教師最后總結(jié)，既總結(jié)了知識又滲透了發(fā)現(xiàn)、探究、分析問題、解決問題數(shù)學(xué)思想和方法，對學(xué)生學(xué)習(xí)有深層次的引導(dǎo)作用。例1. 已知兩個多邊形的內(nèi)角和為1980，且這兩個多邊形的變數(shù)之比為2:3，求這兩個多邊形的邊數(shù).例2. 一個多邊形的，除去一內(nèi)角，其余所有內(nèi)角之和為2200，求此多邊形的邊數(shù)和除去這個角的度數(shù)

14、. 分析:例1已知兩個多邊形的邊數(shù)之比為2:3,可設(shè)其中的一個多邊形的邊數(shù)為2n,則另一個多邊形的邊數(shù)為3n，可得方程180（2n-2）+180（3n-2）=1980,解得n=3，所2n=6,3n=9,所以這兩個多邊形的邊數(shù)分別為6和9.分析:例2因為凸多邊形的每一個內(nèi)角都大于0度小于180度，設(shè)此多邊形的邊數(shù)為n，則解得，14n15,因為n為整數(shù)，所以n=15，所以除去的這個角的度數(shù)為180（15-2）2200=140，所以這個多邊形的變形的變數(shù)為15，除去的這個角的度數(shù)為140.【評析】：課堂例題，重在引領(lǐng)示范，歷經(jīng)審題、分析的過程，為學(xué)生提供分析問題、解決問題的成功范例。實戰(zhàn)演練，鞏固技

15、能1.過四邊形的一個頂點有幾條對角線？四邊形共有幾條對角線？2.過五變形的一個頂點有幾條對角線？五邊形共有幾條對角線？3.過n邊形的一個頂點有幾條對角線？共有幾條對角線4.一個多邊形的內(nèi)角和是1440這個多邊形的對角線共有多少條？5.若一個多邊形的內(nèi)角的度數(shù)從小到大排列時，恰好增加相同的度數(shù)，其中最小的較為100最大的角為140，求這個多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和。讓五名學(xué)生板演，提示學(xué)生規(guī)范解題，其余學(xué)生自主思考解答，并相互交流，優(yōu)化思維。學(xué)生解答完畢后，教師給予點評和補充，過程略。歸納小結(jié)，提升思維，師生共同歸納小結(jié)：1. 知識小結(jié)：多邊形相關(guān)概念及多邊形內(nèi)角和定理及其應(yīng)用。2. 數(shù)學(xué)思想及方法：

16、轉(zhuǎn)化化歸思想、聯(lián)想類比思想、特殊與一般思想、方程思想、優(yōu)化思想。分析法、綜合法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法。3. 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗：在探究活動中獲得的根據(jù)條件預(yù)測結(jié)果的經(jīng)驗、根據(jù)特例概括一般結(jié)果的經(jīng)驗、在論證活動中依據(jù)目標特征探究成因的經(jīng)驗?！驹u析】：課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生自己梳理知識，養(yǎng)成反思的習(xí)慣，充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念，讓學(xué)生展示自我，增強學(xué)習(xí)信心。分層作業(yè)，鞏固提高A組1. 一個多邊形的內(nèi)角和為1800，求此多邊形的邊數(shù)。2. 已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都相等且都等于120，求此多邊形的邊數(shù)。3. 如一個多邊形的每個內(nèi)角都相等且等于其相鄰?fù)饨堑亩?，求此對角線的條數(shù)。B

17、組1有兩個多邊形邊數(shù)之比為1:2,內(nèi)角和之比為1:4你能確定它們各是及邊形嗎2一個多邊形截去一個角后形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為720,試求這個多邊形的邊數(shù)。C組：數(shù)學(xué)活動各邊都相等，各角都相等相等的多邊形叫正多邊形。用形狀相同或形狀不同平面封閉圖形，覆蓋平面區(qū)域，使圖形間既無縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里面叫做平面鑲嵌。1. 能夠進行平面鑲嵌的同一種多邊形有幾種？2. 能夠進行平面鑲嵌的同一種正多邊形有幾種？3能夠進行平面鑲嵌的兩種正多邊形組合有幾種？4能夠進行平面鑲嵌的三種正多邊形組合有幾種5能夠用四種或四種以上的正多邊形組合進行平面鑲嵌嗎？【評析】：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）定

18、位了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教育的基本目的數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)得到不同的發(fā)展。教師的布置分層作業(yè)，很好地體現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）的理念，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。C組數(shù)學(xué)活動的設(shè)計對學(xué)生的動手操作能力、發(fā)散思維能力、演繹推理能力、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累起到積極引導(dǎo)和強化作用，同時也是新知的強化、鞏固、應(yīng)用、拓展，使課內(nèi)的數(shù)學(xué)教學(xué)與課外的數(shù)學(xué)活動構(gòu)成一個有機的整體。教學(xué)反思：教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)在課堂教學(xué)中的作用和地位越來越重要，特別是實施新的的課程標準以后，不僅促使教師對課堂教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變，還關(guān)系到學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的高低、學(xué)習(xí)積極性的調(diào)動，直接影響到教學(xué)效果的好壞，而且它還影響到學(xué)生是否能夠主動、靈活學(xué)習(xí)的態(tài)度和習(xí)慣。因此本節(jié)課注重情境的創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生的心理特征、知識水平、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，緊扣本堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容激發(fā)學(xué)生的興趣、導(dǎo)入對本課知識的探究，且延伸至數(shù)學(xué)課外活動，使課內(nèi)知識的學(xué)習(xí)與課外知識的應(yīng)用有機的結(jié)合起來，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、解決問題能力。本節(jié)課貫徹以學(xué)生為主體