常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及同步練習(xí)

1、選修2-1第一章 常用邏輯用語(yǔ)1.1命題及其關(guān)系1. 定義：一般地，我們用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題; 其中判斷為正確的命題，為真命題；判斷為不正確的命題，為假命題。2. 辨析：能夠分辨哪一個(gè)是命題及其真假。 判斷一個(gè)語(yǔ)句是否是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其真假。語(yǔ)句可分為疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句與陳述句。一般的，只有陳述句能分辨真假，其他類型的句子無(wú)所謂真假，我們把 每個(gè)能分辨真假的陳述句作為一個(gè)命題。太陽(yáng) 對(duì)于一個(gè)句子，有時(shí)我們可能無(wú)法判斷其真假，但對(duì)這個(gè)句子卻是有真假的，如：系外存在外星人”對(duì)于這個(gè)句子所描述的情形，目前確定其真假，但從事物的本質(zhì)而言,句子本身是可以判

2、斷其真假的。這類語(yǔ)句也稱為命題。語(yǔ)句是不是命題，關(guān)鍵在于能不 能判斷其真假，也就是判斷其是否成立。 不判斷真假的語(yǔ)句，就不能叫命題?！?Xv2；3. 原命題與逆命題即在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件（或題設(shè)）是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做 互逆命題；如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的 逆命題.4. 否命題與逆否命題即在兩個(gè)命題中，一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否 定，這樣的兩個(gè)命題就叫做 互否命題，若把其中一個(gè)命題叫做原命題，則另一個(gè)就叫做原 命題的否命題.5. 原命題與逆否命題即在兩個(gè)命題中，一個(gè)命題

3、的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否 定，這樣的兩個(gè)命題就叫做 互為逆否命題，若把其中一個(gè)命題叫做原命題，則另一個(gè)就叫 做原命題的否命題.6. 四種命題的形式一般到，我們用P和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用P和q分別表示P和q的否定，于是四種命題的形式就是:原命題:逆命題:若P則q；若q則P；若則q;逆否命題：若q則p.否命題:7. 四種命題的相互關(guān)系一般的，四種命題的真假性，有且僅有以下四種情況：(四種命題的真假性之間的關(guān)系)原命題逆命題否命題逆否命題直、直/、直/、真真假假真假直/、直/、假假假假假兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； 兩個(gè)命題為互逆或互否命題，它們的

4、真假性沒(méi)有關(guān)系欲證若P則q”為真命題，從否定其結(jié)論即 非q”出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而 非q”為假，即原命題為真，這樣的證明方法稱為反證法 其反證法的步驟：(1) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立;(2) 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理論證，得出矛盾;(3) 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確1.2充分條件與必要條件1. 充分條件的定義如果P成立時(shí)，q必然成立，即 片q,我們就說(shuō)，P是q成立的充分條件.（即為使q 成立，只需條件P就夠了）2. 必要條件的定義如果B成立時(shí)，a必然成立，即 gp,我們就說(shuō)，q是P成立的必要條件.（即為使q成立，就必須條件P成立） 3.若片

5、q,且q=p,則稱P是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件。P 說(shuō)明：充要條件是互為的； “I是q的充要條件”也說(shuō)成“與q等價(jià)”、 P當(dāng)且僅當(dāng)q”等.p= q，且時(shí)P，則P是q的充要條件；p=q，但P，則P是q的充分而不必要條件； qMp，但 尸q，則P是q的必要而不充分條件； pWq，且gp，則P是q的既不充分也不必要條件.1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞1. 或”與日常生活中的用語(yǔ) 或”的意義不同，在日常生活用語(yǔ)中的 或”帶有不可兼有的意 思，而邏輯用語(yǔ)中的 或”可以同時(shí)兼有。對(duì)于邏輯用語(yǔ) 或”的理解我們可以借助于集合中 的并集的概念：在aUb=x|x-A或X忘B中的 或”是指 X-A，”f“X-B ”中

6、至少有一個(gè) 成立，可以是 X迂A且X芒B”，也可以是X芒A且xB ”，也可以是xA且x迂B ”，邏輯 用語(yǔ)中的 或”與并集中的 或”的含義是一樣的；2. 對(duì) 且”的理解，可以聯(lián)想到集合中的交集的概念： 在AnB=x|x亡A且X-B的 且”是指X-A ”、 X-B ”都要滿足的意思，即X既要屬于集合a，又要屬于集合B ；3. 對(duì) 非”的理解，可以聯(lián)想到集合中的補(bǔ)集的概念：非”有否定的意思，一個(gè)命題 P經(jīng)過(guò) 使用邏輯聯(lián)結(jié)詞 非”構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題 非P ”當(dāng)P為真時(shí)，非P為假，當(dāng)P為假時(shí)，非P 為真。若將命題P對(duì)應(yīng)集合P，則命題非P就對(duì)應(yīng)著集合P在全集U中的補(bǔ)集Cu P ;對(duì)于非的理解，還可以從字意

7、上來(lái)理解，非”本身就具有否定的意思，如 “0是非整數(shù)”是對(duì)命題“0.是整數(shù)”進(jìn)行否定而得出的新命題。一般地，寫(xiě)一個(gè)命題的否定，往往需要對(duì)正面敘 述的詞語(yǔ)進(jìn)行否定。4. 構(gòu)造復(fù)合命題的方式：簡(jiǎn)單命題+邏輯連結(jié)詞（或、且、非）+簡(jiǎn)單命題。5.復(fù)合命題的真假判斷:Pq非PP或qP且q直/、真假直/、真直/、假假直/、假假真真直/、假假假真假假注意：命題的否定”與 否命題”是兩個(gè)不同的概念：前者只否定結(jié)論，后者結(jié)論與條 件共同否定。1.4全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞、全稱命題定義:“”表示。（常見(jiàn)的全稱短語(yǔ) 所有的”任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào) 量詞還有一切”每一個(gè)”任給”所有的”等

8、。）含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。如: 全稱命題對(duì)M中任意一個(gè)x，有p（x）成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為:簡(jiǎn)記為M，P（x）,讀作對(duì)任意x屬于M，有P（X）成立”2. 存在量詞、特稱命題定義：短語(yǔ) 存在一個(gè)”至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)日”表示。(常見(jiàn)的存在量詞還有 有些”有一個(gè)”對(duì)某個(gè)”有的”等。) 含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。特稱命題 存在M中的一個(gè)xO,使p(xO)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為:3Xo- M，P(Xo),讀作存在一個(gè)xO屬于M，使p(xO)成立”3. 同一全稱命題、特稱命題，由于自然語(yǔ)言的不同，可能有不同的表述方法:命題全稱命魅P(巧所有的X層Mr Ex)成立

9、 對(duì)一切莫層驗(yàn)00威立 對(duì)毎一個(gè)基層p(x)立 任透一個(gè)POO成 立 凡篡都有Q00成立待稱命題玉口三”護(hù)(巧 存在使POO成立 至少有一個(gè)使 對(duì)有些立 對(duì)某個(gè)立 看一個(gè)立4. 全稱命題、特稱命題(含有全稱量詞的命題叫全稱命題，含有存在量詞的命題叫特稱 命題)(1) 關(guān)系：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。(2) 全稱量詞與存在量詞的否定。關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞都是不都是至少一個(gè)一個(gè)都沒(méi)有至多一個(gè)至少兩個(gè)屬于不屬于等于不等于大于不大于小于不小于不是不都是任意的某個(gè)任意兩個(gè)某兩個(gè)所有的某些能不能基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題下列語(yǔ)句中是命題的是（A.周期函數(shù)的

10、和是周期函數(shù)嗎?B.si n 4*512X2 +2x - 1 0D梯形是不是平面圖形呢?2、在命題 若拋物線y=ax2 +bx+c的開(kāi)口向下，貝U x| ax2+bx+c c0工 ”的逆命題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是（A都真B都假 C否命題真D逆否命題真3有下述說(shuō)法：ab0是的充要條件.ab0是的充要條件.ab：0是aS-b3的充要條件則其中正確的說(shuō)法有（A*下列說(shuō)法中正確的是（）一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真B.a Ab”與 “ a+cAb+c”不等價(jià)a2 + b2=0,則a,b全為0 ”的逆否命題是 若a,b全不為0 ,則a2+b2H0”5,一個(gè)命題的否命題為真，則它的

11、逆命題一定為真若A:R, a 1, B : x的二次方程X2 +(a + 1)x + a -2 = 0的一個(gè)根大于零,另一根小于零，則A是B的充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D既不充分也不必要條件A已知條件P： X +1條件q:5x-6ax2，則卩是q的（）充分不必要條件必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件、填空題1命題：若ab不為零,則a,b都不為零”的逆否命題是2、A: X!，x2 是方程 ax2 +bx+c = O(a 北0)的兩實(shí)數(shù)根；B : x0(a 0),若非p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍,3 若 a2+b2=c，求證：a,b, c不可能都是奇數(shù)4 求證：關(guān)

12、于x的一元二次不等式ax2-ax+10對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是0a4綜合訓(xùn)練B組一、選擇題若命題“PM”為假，且Jp ”為假，則（）下列命題中的真命題是（A 43是有理數(shù)D不能判斷q的真假x | X是小數(shù)& R有下列四個(gè)命題: 若x+y = O，則x,y互為相反數(shù)”的逆命題; 全等三角形的面積相等”的否命題; 若q 1 ,則X2 +2x+q =0有實(shí)根”的逆否命題; 不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”逆命題;其中真命題為（）A B C 4設(shè)a亡R，則a A1是一 1 B a1a 0. 5| Q.D5 b c-1二、填空題有下列四個(gè)命題:、命題若xy =1，則X，y互為倒數(shù)”的逆命題;、命題面

13、積相等的三角形全等”的否命題;、命題若m蘭1，則x2-2x+m=0有實(shí)根”的逆否命題;、命題若ABB，貝U AQB ”的逆否命題其中是真命題的是（填上你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)）2、已知P,q都是r的必要條件，s是r的充分條件,q是s的充分條件,條件，r是q的條件，P是s的條件。(1)(4)存在一個(gè)三角形沒(méi)有外接圓已知命題P:X2-X 6,q:x迂Z且“P且q”與非q ”同時(shí)為假命題，求x的值。已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根的充要條件.已知下列三個(gè)方程：X2 +4ax-4a +3 = 0,x2 +(a -1)x +a2 = 0,x2 +2ax-2a = 0 至

14、少有一個(gè)方 程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.提高練習(xí)C組、選擇題1有下列命題：2004年10月1日是國(guó)慶節(jié)，又是中秋節(jié)；10的倍數(shù)一定是5的倍數(shù);梯形不是矩形；方程x2=1的解x = 1 其中使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有(2,設(shè)原命題：若a+b2，則a,b中至少有一個(gè)不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是A充分不必要條件B必要不充分條件原命題假，逆命題真原命題與逆命題均為假命題A原命題真，逆命題假C 原命題與逆命題均為真命題1在 ABC 中，A 30 ”是 si nA1 ”的()C充要條件D既不充分也不必要條件一次函數(shù)y=-mx +丄的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的必要但不充分條件是(n nA.m

15、1，且 n C 1B. mn V 0C m0 且 n0 D m0 且 n2,P= x| X v3,那么 X亡 M，或 X 亡 P”是 x M n p ”的(A必要不充分條件B 充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件X-1 -2命題P :若a,b迂R ,則la +冋1是|a + b| :1的充分而不必要條件；命題q:函數(shù)y = J的定義域是(二,-1 U 3,丘)則( )A“P或q ”為假BP且q ”為真、填空題 1命題 若 ABC不是等腰三角形，則它的任何兩個(gè)內(nèi)角不相等 ”的逆否命題 2用充分、必要條件填空：XH1,且yH2是x + yH3的 XH1,或y H2是x + y H3的下列

16、四個(gè)命題中k =1 ”是 函數(shù)y =cos2kx-sin2kx的最小正周期為?！钡某湟獥l件;a =3”是 直線ax+2y+3a =0與直線3x+(a-1)y = a-7相互垂直”的充要條件;x2 + 4函數(shù)y =.的最小值為2Vx2+3其中假命題的為(將你認(rèn)為是假命題的序號(hào)都填上)條件5,已知 ab H0，貝U a -b =1 是 a3 -b3 - ab - a2 -b2 = 0 的若關(guān)于X的方程x2+2(a-1)x +2a+6=0，有一正一負(fù)兩實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a的取值范三、解答題 1寫(xiě)出下列命題的Ep ”命題:(1) 正方形的四邊相等.(2) 平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)都為0.(3) 若MBC是銳

17、角三角形， 則AABC的任何一個(gè)內(nèi)角是銳角.(4)若abc=O，貝U a,b,c中至少有一個(gè)為0.x 12 已知 P :1-3(5)若(x-1)(x-2)工0,則XH1 且xh2.2 ； q: X2-2x+1-m2 0= a2 Ab2，僅僅是充分條件1 1a b 0= - b0= a3 * Ab3，僅僅是充分條件a b否命題和逆命題是互為逆否命題，有著一致的真假性A:a亡R, a cin a2c0，充分，反之不行p: x+1 2,3x1， q:5x-60,x3,或x10,或X V -2, A = x I X aIO,或x0, X 1 + a,或x 1 + a,或x -2而一p= q,”.ab，

18、即1+a10 ,”. 0 ca 03證明：假設(shè)a,b,c都是奇數(shù)，則a2,b2,c2都是奇數(shù)得a2 +b2為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，即a2 +b2 HC2，與a2 +b2 =c2矛盾所以假設(shè)不成立，原命題成立4 證明：ax2-ax+1 0(a kO)恒成立 u O2A = a 4a 0 L.（數(shù)學(xué)選修2-1）第一章常用邏輯用語(yǔ)參考答案綜合訓(xùn)練B組、選擇題1 B Jp ”為假，則P為真，而pq （且）為假，得q為假2 B 2應(yīng)屬于無(wú)理數(shù)指數(shù)幕，結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)； 73和e都是無(wú)理數(shù)；x|x是小數(shù)= R3 C 若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)，為真命題，則逆否命題也為真;全等三角形的面積相等”的否命題為

19、不全等三角形的面積不相等相等”為假命題;若 q0,即 A =4-4q0,貝 U x2+2x+ q = 0 有實(shí)根，為真命題a - X2不成立(3)為真命題，因?yàn)閙 1 = V=4-4m cO=無(wú)實(shí)數(shù)根(4) 為假命題，因?yàn)槊總€(gè)三角形都有唯一的外接圓解：非q為假命題，則q為真命題；P且q為假命題，則P為假命題，即P- Q2口/口！ X X 6v0X2 X v6,且X亡 Z，得彳 2,-2 cx 0X = 1, 0，或，2解：令f(x) =x2+(2k -1)x + k2，方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根rA =(2k-1)2 -4k2 0 JT12f (1)0即 0kW所以其充要條件為0 k蘭丄4解：假

20、設(shè)三個(gè)方程:X2 +4ax-4a+3 = 0,x2 +(a-)x + a2 =0,x2 +2ax-2a = 0 都沒(méi)有實(shí)數(shù)根,& =(4a)2 - 4( -4a+3) C0貝y * 也2 =(aT)24&2 0 ，即*d =(2a)2 - 4(-2a) C031 a 2 2a一,或 a -1 ，得一 3 -13 22 a V 0提高練習(xí)C組1 C 中有且”；中沒(méi)有；中有 非”；中有或”2 A因?yàn)樵}若a+bX2，則a, b中至少有一個(gè)不小于1的逆否命題為，若a, b都小于1， 則a+b2，則a,b中至少有一個(gè)不小于1的逆 命題為，若a,b中至少有一個(gè)不小于1，則a+ b2，是假命題，反例為a

21、=12b=0.3當(dāng)A=1700時(shí)，si n1700 =si n100 5= 30 A 30，即 回得來(lái)” 一次函數(shù)y=-mx+丄的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限n nm1,二0,且一m0,且n c0= mn c 0，但是mnv0不能推導(dǎo)回來(lái)nnx1不能推出|a + b| :1，所以p假，q顯然為真若 ABC的兩個(gè)內(nèi)角相等，則它是等腰三角形既不充分也不必要，必要若x=1.5,且y=1.5= x + y=3，1+ 4工3,而x=1 X H1,或y工2不能推出x + yH3的反例為若x=1.5,且y=1.島 x + y=3，x + yH3= X H1,或yH2的證明可以通過(guò)證明其逆否命題x = 1,且y = 2= x + y = 33 ，k =1 ”可以推出 函數(shù)y = cos2kx-sin2 kx的最小正周期為兀”但是函數(shù)y=cos2kx-sin2 k