2020-2021學年北師大版初一數(shù)學上冊難點突破22 一元一次方程的應用（一）

1、專題22 一元一次方程的應用（一）【專題說明】1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路【知識點總結(jié)】一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗、答 要點詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”

2、就是解方程，求出未知數(shù)的值（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚二、常見列方程解應用題的幾種類型（待續(xù)）1和、差、倍、分問題 （1）基本量及關(guān)系：增長量原有量增長率，現(xiàn)有量原有量+增長量，現(xiàn)有量原有量降低量（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等2行程問題 （1）三個基本量間的關(guān)系： 路程=速度時間 （2）基本類型有： 相遇問題（或相向問題）：基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和相遇時間 尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程兩地距離追及問題：基本量及關(guān)系

3、：追及路程=速度差追及時間尋找相等關(guān)系：第一， 同地不同時出發(fā)：前者走的路程追者走的路程；第二， 第二，同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離追者走的路程航行問題：基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度水流速度，順水速度逆水速度2水速；尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析3工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和4調(diào)配問題 尋找相等關(guān)系的方法

4、：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮【精典例題】一、和差倍分問題1、2011年北京市生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運營用水的3倍還多0.6億立方米，問生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水各多少億立方米?【答案與解析】設(shè)生產(chǎn)運營用水x億立方米，則居民家庭用水(5.8x)億立方米 依題意，得5.8x3x+0.6 解得x1.3 5.8x5.81.34.5（億立方米）答：生產(chǎn)運營用水1.3億立方米，居民家庭用水4.5億立方米【總結(jié)升華】本題要求兩個未知數(shù)，不妨設(shè)其中一個未知數(shù)為x，另外一個用含x的式子表示本題的相等關(guān)系是生產(chǎn)運營用水量+居民家庭用水總量5.8

5、億立方米2、旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案與解析】解：設(shè)油箱里原有汽油x公斤，由題意得：x(125%)(140%)+1=25%x+(125%)x40% 解得：x=10 答：油箱里原有汽油10公斤.【點評】等量關(guān)系為：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 二、行程問題1.一般問題小山娃要到城里參加運動會，如果每小時走4千米，那么走完預訂時間離縣城還有0.5千米，如果他每小時走5千米，那么比預訂時間早半小時就可到達縣城試問學校到縣城的距離是多少千米?【答案與解析】 解

6、：設(shè)小山娃預訂的時間為x小時，由題意得： 4x+0.55(x0.5)，解得x3 所以4x+0.543+0.512.5(千米) 答：學校到縣城的距離是12.5千米【總結(jié)升華】當直接設(shè)未知數(shù)有困難時，可采用間接設(shè)的方法即所設(shè)的不是最后所求的，而是通過求其它的數(shù)量間接地求最后的未知量2.相遇問題（相向問題） A、B兩地相距100km，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲騎了1h后，乙從B地出發(fā)，問甲經(jīng)過多少時間與乙相遇？【答案與解析】解:設(shè)甲經(jīng)過x小時與乙相遇. 由題意得： 解得，x=2.75答：甲經(jīng)過2.75小時與乙相遇【總結(jié)升華】等量

7、關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=100km3.追及問題（同向問題）一隊學生去校外進行軍事野營訓練，他們以5千米/時的速度行進，走了18分鐘時，學校要將一緊急通知傳給隊長，通訊員從學校出發(fā)，騎自行車以14千米/時的速度按原路追上去，通訊員用多少分鐘可以追上學生隊伍?【答案與解析】解：設(shè)通訊員x小時可以追上學生隊伍，則根據(jù)題意，得，得：， 小時=10分鐘答：通訊員用10分鐘可以追上學生隊伍【總結(jié)升華】追及問題：路程差=速度差時間，此外注意：方程中x表示小時，18表示分鐘，兩邊單位不一致，應先統(tǒng)一單位4.航行問題（順逆風問題） 一艘船航行于A、B兩個碼頭之間，輪船順水航行需3小時，逆水航行需5小時，已

8、知水流速度是4千米/時，求這兩個碼頭之間的距離【答案與解析】解法1：設(shè)船在靜水中速度為x千米/時，則船順水航行的速度為(x+4)千米/時，逆水航行的速度為(x4)千米/時，由兩碼頭的距離不變得方程：3(x+4)5(x4)，解得：x=16，（16+4）3=60（千米） 答：兩碼頭之間的距離為60千米解法2：設(shè)A、B兩碼頭之間的距離為x千米，則船順水航行時速度為千米/時，逆水航行時速度為千米/時，由船在靜水中的速度不變得方程：，解得：答：兩碼頭之間的距離為60千米【總結(jié)升華】順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度=靜水速度水流速度，根據(jù)兩個碼頭的距離不變或船在靜水中的速度不變列方程5.車過橋問題某

9、橋長1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個火車在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度【思路點撥】正確理解火車“完全過橋”和“完全在橋上”的不同含義【答案與解析】解：設(shè)火車車身長為xm，根據(jù)題意，得：，解得：x300， 所以答：火車的長度是300m，車速是30m/s【點評】火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點表示火車頭)： (1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時火車走的路程是橋長+車長(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時火車走的路程是橋長車長由于火車是勻速行駛的，所以等量關(guān)系是火車從上橋到

10、完全過橋的速度整個火車在橋上的速度 6.相遇問題（相向問題） 小李騎自行車從A地到B地，小明騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進.已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12點，兩人又相距36千米.求A、B兩地間的路程.【答案與解析】解：設(shè)A、B兩地間的路程為x千米，由題意得：解得：108答：A、B兩地間的路程為108千米.【點評】根據(jù)“勻速前進”可知A、B的速度不變，進而A、B的速度和不變.利用速度和=小李和小明前進的路程和時間可得方程三、工程問題1、一個水池有兩個注水管，兩個水管同時注水，10小時可以注滿水池；甲管單獨開15小時可以注滿水池，現(xiàn)兩管同時注水7小時

11、，關(guān)掉甲管，單獨開乙管注水，還需要幾小時能注滿水池?【思路點撥】視水管的蓄水量為“1”，設(shè)乙管還需x小時可以注滿水池；那么甲乙合注1小時注水池的，甲管單獨注水每小時注水池的，合注7小時注水池的，乙管每小時注水池的【答案與解析】 解：設(shè)乙管還需x小時才能注滿水池 由題意得方程： 解此方程得：x9 答：單獨開乙管，還需9小時可以注滿水池【總結(jié)升華】工作效率工作時間=工作量，如果沒有具體的工作量，一般視總的工作量為“1” 2、一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，

12、問打開丙管后幾小時可注滿水池?【答案與解析】解：設(shè)再過x小時可把水注滿由題意得：解得：答：打開丙管后小時可把水放滿【點評】相等關(guān)系：甲、乙開2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1四、調(diào)配問題（比例問題、勞動力調(diào)配問題）1、星光服裝廠接受生產(chǎn)某種型號的學生服的任務(wù)，已知每3m長的某種布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計劃用750m長的這種布料生產(chǎn)學生服，應分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套?共能生產(chǎn)多少套?【思路點撥】每3米布料可做上衣2件或褲子3條，意思是每1米布料可做上衣 件，或做褲子1條，此外恰好配套說明褲子的數(shù)量應該等于上衣的數(shù)量【答案與解析】解：設(shè)做上衣需要xm，則做褲子為(750x)m，做上衣的件數(shù)為件，做褲子的件數(shù)為，則有：解得：x450， 750x750450300(m)， （套） 答：用450m做上衣，300m做褲子恰好配套，共能生產(chǎn)300套【總結(jié)升華】用參數(shù)表示上衣總件數(shù)與褲子的總件數(shù)，等量關(guān)系：上