2020-2021學(xué)年北師大版初一數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破22 一元一次方程的應(yīng)用（一）

1、專題22 一元一次方程的應(yīng)用（一）【專題說明】1.熟練掌握分析解決實(shí)際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題方程解答由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答 要點(diǎn)詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”

2、就是解方程，求出未知數(shù)的值（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型（待續(xù)）1和、差、倍、分問題 （1）基本量及關(guān)系：增長量原有量增長率，現(xiàn)有量原有量+增長量，現(xiàn)有量原有量降低量（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等2行程問題 （1）三個(gè)基本量間的關(guān)系： 路程=速度時(shí)間 （2）基本類型有： 相遇問題（或相向問題）：基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和相遇時(shí)間 尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程兩地距離追及問題：基本量及關(guān)系

3、：追及路程=速度差追及時(shí)間尋找相等關(guān)系：第一， 同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程追者走的路程；第二， 第二，同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離追者走的路程航行問題：基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度水流速度，順?biāo)俣饶嫠俣?水速；尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析3工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率工作時(shí)間；（2）總工作量=各單位工作量之和4調(diào)配問題 尋找相等關(guān)系的方法

4、：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮【精典例題】一、和差倍分問題1、2011年北京市生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運(yùn)營用水的3倍還多0.6億立方米，問生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水各多少億立方米?【答案與解析】設(shè)生產(chǎn)運(yùn)營用水x億立方米，則居民家庭用水(5.8x)億立方米 依題意，得5.8x3x+0.6 解得x1.3 5.8x5.81.34.5（億立方米）答：生產(chǎn)運(yùn)營用水1.3億立方米，居民家庭用水4.5億立方米【總結(jié)升華】本題要求兩個(gè)未知數(shù)，不妨設(shè)其中一個(gè)未知數(shù)為x，另外一個(gè)用含x的式子表示本題的相等關(guān)系是生產(chǎn)運(yùn)營用水量+居民家庭用水總量5.8

5、億立方米2、旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案與解析】解：設(shè)油箱里原有汽油x公斤，由題意得：x(125%)(140%)+1=25%x+(125%)x40% 解得：x=10 答：油箱里原有汽油10公斤.【點(diǎn)評(píng)】等量關(guān)系為：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 二、行程問題1.一般問題小山娃要到城里參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，如果每小時(shí)走4千米，那么走完預(yù)訂時(shí)間離縣城還有0.5千米，如果他每小時(shí)走5千米，那么比預(yù)訂時(shí)間早半小時(shí)就可到達(dá)縣城試問學(xué)校到縣城的距離是多少千米?【答案與解析】 解

6、：設(shè)小山娃預(yù)訂的時(shí)間為x小時(shí)，由題意得： 4x+0.55(x0.5)，解得x3 所以4x+0.543+0.512.5(千米) 答：學(xué)校到縣城的距離是12.5千米【總結(jié)升華】當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)有困難時(shí)，可采用間接設(shè)的方法即所設(shè)的不是最后所求的，而是通過求其它的數(shù)量間接地求最后的未知量2.相遇問題（相向問題） A、B兩地相距100km，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲騎了1h后，乙從B地出發(fā)，問甲經(jīng)過多少時(shí)間與乙相遇？【答案與解析】解:設(shè)甲經(jīng)過x小時(shí)與乙相遇. 由題意得： 解得，x=2.75答：甲經(jīng)過2.75小時(shí)與乙相遇【總結(jié)升華】等量

7、關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=100km3.追及問題（同向問題）一隊(duì)學(xué)生去校外進(jìn)行軍事野營訓(xùn)練，他們以5千米/時(shí)的速度行進(jìn)，走了18分鐘時(shí)，學(xué)校要將一緊急通知傳給隊(duì)長，通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車以14千米/時(shí)的速度按原路追上去，通訊員用多少分鐘可以追上學(xué)生隊(duì)伍?【答案與解析】解：設(shè)通訊員x小時(shí)可以追上學(xué)生隊(duì)伍，則根據(jù)題意，得，得：， 小時(shí)=10分鐘答：通訊員用10分鐘可以追上學(xué)生隊(duì)伍【總結(jié)升華】追及問題：路程差=速度差時(shí)間，此外注意：方程中x表示小時(shí)，18表示分鐘，兩邊單位不一致，應(yīng)先統(tǒng)一單位4.航行問題（順逆風(fēng)問題） 一艘船航行于A、B兩個(gè)碼頭之間，輪船順?biāo)叫行?小時(shí)，逆水航行需5小時(shí)，已

8、知水流速度是4千米/時(shí)，求這兩個(gè)碼頭之間的距離【答案與解析】解法1：設(shè)船在靜水中速度為x千米/時(shí)，則船順?biāo)叫械乃俣葹?x+4)千米/時(shí)，逆水航行的速度為(x4)千米/時(shí)，由兩碼頭的距離不變得方程：3(x+4)5(x4)，解得：x=16，（16+4）3=60（千米） 答：兩碼頭之間的距離為60千米解法2：設(shè)A、B兩碼頭之間的距離為x千米，則船順?biāo)叫袝r(shí)速度為千米/時(shí)，逆水航行時(shí)速度為千米/時(shí)，由船在靜水中的速度不變得方程：，解得：答：兩碼頭之間的距離為60千米【總結(jié)升華】順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度=靜水速度水流速度，根據(jù)兩個(gè)碼頭的距離不變或船在靜水中的速度不變列方程5.車過橋問題某

9、橋長1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測(cè)得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個(gè)火車在橋上的時(shí)間是30s，求火車的長度和速度【思路點(diǎn)撥】正確理解火車“完全過橋”和“完全在橋上”的不同含義【答案與解析】解：設(shè)火車車身長為xm，根據(jù)題意，得：，解得：x300， 所以答：火車的長度是300m，車速是30m/s【點(diǎn)評(píng)】火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點(diǎn)表示火車頭)： (1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時(shí)火車走的路程是橋長+車長(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時(shí)火車走的路程是橋長車長由于火車是勻速行駛的，所以等量關(guān)系是火車從上橋到

10、完全過橋的速度整個(gè)火車在橋上的速度 6.相遇問題（相向問題） 小李騎自行車從A地到B地，小明騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進(jìn).已知兩人在上午8時(shí)同時(shí)出發(fā)，到上午10時(shí)，兩人還相距36千米，到中午12點(diǎn)，兩人又相距36千米.求A、B兩地間的路程.【答案與解析】解：設(shè)A、B兩地間的路程為x千米，由題意得：解得：108答：A、B兩地間的路程為108千米.【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)“勻速前進(jìn)”可知A、B的速度不變，進(jìn)而A、B的速度和不變.利用速度和=小李和小明前進(jìn)的路程和時(shí)間可得方程三、工程問題1、一個(gè)水池有兩個(gè)注水管，兩個(gè)水管同時(shí)注水，10小時(shí)可以注滿水池；甲管單獨(dú)開15小時(shí)可以注滿水池，現(xiàn)兩管同時(shí)注水7小時(shí)

11、，關(guān)掉甲管，單獨(dú)開乙管注水，還需要幾小時(shí)能注滿水池?【思路點(diǎn)撥】視水管的蓄水量為“1”，設(shè)乙管還需x小時(shí)可以注滿水池；那么甲乙合注1小時(shí)注水池的，甲管單獨(dú)注水每小時(shí)注水池的，合注7小時(shí)注水池的，乙管每小時(shí)注水池的【答案與解析】 解：設(shè)乙管還需x小時(shí)才能注滿水池 由題意得方程： 解此方程得：x9 答：單獨(dú)開乙管，還需9小時(shí)可以注滿水池【總結(jié)升華】工作效率工作時(shí)間=工作量，如果沒有具體的工作量，一般視總的工作量為“1” 2、一個(gè)蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)丙排水管，單獨(dú)開甲管6小時(shí)可注滿水池；單獨(dú)開乙管8小時(shí)可注滿水池，單獨(dú)開丙管9小時(shí)可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時(shí)開放2小時(shí)，然后打開丙管，

12、問打開丙管后幾小時(shí)可注滿水池?【答案與解析】解：設(shè)再過x小時(shí)可把水注滿由題意得：解得：答：打開丙管后小時(shí)可把水放滿【點(diǎn)評(píng)】相等關(guān)系：甲、乙開2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1四、調(diào)配問題（比例問題、勞動(dòng)力調(diào)配問題）1、星光服裝廠接受生產(chǎn)某種型號(hào)的學(xué)生服的任務(wù)，已知每3m長的某種布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計(jì)劃用750m長的這種布料生產(chǎn)學(xué)生服，應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套?共能生產(chǎn)多少套?【思路點(diǎn)撥】每3米布料可做上衣2件或褲子3條，意思是每1米布料可做上衣 件，或做褲子1條，此外恰好配套說明褲子的數(shù)量應(yīng)該等于上衣的數(shù)量【答案與解析】解：設(shè)做上衣需要xm，則做褲子為(750x)m，做上衣的件數(shù)為件，做褲子的件數(shù)為，則有：解得：x450， 750x750450300(m)， （套） 答：用450m做上衣，300m做褲子恰好配套，共能生產(chǎn)300套【總結(jié)升華】用參數(shù)表示上衣總件數(shù)與褲子的總件數(shù)，等量關(guān)系：上