導(dǎo)數(shù)壓軸專治學(xué)霸

1、導(dǎo)數(shù)壓軸專治學(xué)霸.解答題(共20小題)1.已知函數(shù)f (x)= ex (1 + aInx),設(shè)f (x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù).(1 )設(shè)g (x)= exf (x) +x.設(shè)十曲.(1 )求證：當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 0恒成立;(2)討論關(guān)于x的K丄-f(K)二方程根的個(gè)數(shù).X- x在區(qū)間1 , 2上單調(diào)遞增，求 a的取值范圍;(2)若a2時(shí)，函數(shù)f (x)的零點(diǎn)為X0,函f( X)的極小值點(diǎn)為 X1,求證：xoxi.2 X+13.已知函數(shù) f (x)=- X +ax+a- e (a 駅).x(1 )當(dāng)a = 1時(shí)，判斷g (x)= e f (X)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f (X)無零點(diǎn)，求a的

2、取值范圍.4.已知函數(shù)迪沁亡*1也或.(1)求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在xl,使f(x)+x- 1 時(shí)，求證：f (x) 0.6已知函數(shù)x2f (x)= e - x - ax - 1.(I)若f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a的范圍;x3(n)設(shè)函數(shù)g (x) = xf (x)- e +x +x,若g (X)至多有一個(gè)極值點(diǎn)， 求a的取值集合.27.已知函數(shù) f (x)= X - 1 - lnx - a (x 1)(aR).(1 )討論函數(shù)f ( X)的單調(diào)性;(2)若對？x (0, +) , f (x) 0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.&設(shè)f ( x)是函數(shù)f (X)的導(dǎo)函數(shù)，我們把使

3、 f( x)= x的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y= f (x)1 2_.的好點(diǎn).已知函數(shù)f (幻=號嚴(yán)_仝七11尹(I)若0是函數(shù)f (X)的好點(diǎn)，求a;(n)若函數(shù)f (X)不存在好點(diǎn)，求a的取值范圍.29.已知函數(shù) f (x)= inx+ax + ( a+2) x+2 (a 為常數(shù)).(1 )討論函數(shù)f ( X)的單調(diào)性;(2)若a為整數(shù)，函數(shù)f (X)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a的值.210.已知函數(shù) f (x)= xinx - ax , a R.(1)若函數(shù)f(X)存在單調(diào)增區(qū)間，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;2- 1(2)若xi, X2為函數(shù)f (X)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，證明xi x2 e13211.已知函數(shù)

4、f (x)=x - a (x+1)3(1 )討論函數(shù)f ( X)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f (X)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.12.已知函數(shù) fG）二yZ+lnK-Hix.(1 )當(dāng)0 e2,證明：f (xo)w 1.2 X15.己知函數(shù) f(X) = ( X a) e +b在X= 0處的切線方程為 X+y 1 = 0,函數(shù)g (X)= X(1)求函數(shù)f(X)的解析式;(2)求函數(shù)g(X)的極值;(3)設(shè) F(X)=minf (x), g (x) ( minp, q表示p, q中的最小值)，若F (x)在(0, +S)上恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.16.已知函數(shù)-1 ,且y= X

5、 1是曲線y= f (X)的切線.(1)求實(shí)數(shù)a的值以及切點(diǎn)坐標(biāo);(2)求證：g (X) f (X).217.已知函數(shù) f (x)= X - X- ainx, aR.(1 )若不等式f (x)v 0無解，求a的值;f ( K )-f(V )(2)若函數(shù)f ( X)存在兩個(gè)極值點(diǎn) XI、X2，且X12時(shí)，函數(shù)f (x)的零點(diǎn)為xo,函f( X)的極小值點(diǎn)為 X1,求證：xoxi.【解答】(1)解：依題意，g (x)= e-xf (x) +x2- x= 1+alnx+x2-x, x0.故/嚴(yán)i X0.g (X)在1 , 2上單調(diào)遞增, g (x) 0 在1 , 2上恒成立，故-21：-10,即a

6、X (1 - 2x)在1 , 2上恒成立,根據(jù)二次函數(shù)的知識，可知：X (1 - 2x)在1 , 2上的最大值為-1.- a的取值范圍為-1, + 8(2)證明：由題意，f( x)= ex (1 + Inx+ 旦)，x0, a2.a 2.X設(shè) h (x)= f( x)= ex (1 + Inx+旦),x0, X則 h ( X)= ex (1+aInx+互-弓).X 2再設(shè)H (x)= 1 + aInx+里-呂，貝U H (X)=J. 2a 丄 2a = aCx-2x+2) 二 7 7=.當(dāng)x0 時(shí)，y = X2 - 2x+2 =( X- 1) 2+1 0恒成立,當(dāng)x0時(shí)，H ( x) 0恒成立

7、. H(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增.又當(dāng) a2 時(shí)，H (1)= 1 + a0, H (丄)=1 - aln20, X0 X1 .故得證.(1 )求證：當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 0恒成立;(2)討論關(guān)于x的耳丄-f(Q二巴方程根的個(gè)數(shù).X【解答】解：(1)證明：丄-21T1X的定義域?yàn)?0, + 8XE+寺令*+13)22 -0, X f ( X)在1 , + 8)上是單調(diào)遞增函數(shù),恒成立.f (x) f (1)= 0 對于 x1 , + 8故當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 0恒成立得證.(2)化簡方程得 2lnx = X3- 2ex2+tx.注意到x0,則方程可變?yōu)?1門字二工2-2亡Z+t .K

8、令 H(5t)= x-2ex+t，X.更多資料加群：625972323X(0, e)時(shí)，L ( x) 0, L (乂)在(0, e)上為增函數(shù);(e, + S)時(shí)，L ( x)v 0, L (乂)在(e, +s)上為減函數(shù).9 當(dāng) X = e 時(shí)，LG)m/Lk)W.函數(shù)L(x)=. H(x)=s-2ex+t=Cx-e) +t-e在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象如圖X所示: 由圖象可知,當(dāng)22時(shí)，即t送時(shí)，方程無實(shí)根；ee當(dāng)二時(shí)，即t=e異時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根；ee當(dāng)2JU寸，即e時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根.x(1 )當(dāng)a = 1時(shí)，判斷g (X)=e f (X)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f (X)無零點(diǎn)，求a的取

9、值范圍. 更多資料加群：625972323【解答】解：(1)當(dāng)a = 1時(shí),/ 、X 、X /2,- x+1g (x)= e f (x)= e (- X +X+1 - e2=(-X +X+1)g( X)=(-2x+1)eX+ (-x2+x+1) eX=- ex (X- 1) (x+2),當(dāng) x-s,- 2)U( 1,+ S)時(shí)，g ( x)v 0,故 g (幻在(-s,- 2), (1,+ s)單調(diào)遞減;當(dāng) X (- 2, 1)時(shí)，g( X) 0,故 g (X)在(-2,1)單調(diào)遞增; f(x)=- 2x+a+e X+1(x)=- 2x+a+e X+1 h(x)=- 2 - e-X+1 0，函

10、數(shù) f當(dāng) x (X0, + s)時(shí)，h (x)= f( x) 0，函數(shù) f (X)單調(diào)遞減,- f ( X) max= f ( X0)=- Xo+axO+a- gF+l函數(shù)f (X)無零點(diǎn),- f ( x) max= f (xo)=- xo+axo+a - 十 0 在 R 上恒成立,又 h (X0)=- 2x0+a+g 孟D+1= 0,即 g 衍+ = 2x0 - a.2- f (X) max= f (xo)=- X0 + (a- 2) x0+2a0 在 R 上恒成立,2 2=( a- 2)- 4?2a = a2 - 12a+4 0,解得6 - 4近 a l,使f (工)成立，求整數(shù)a的最小值

11、.【解答】解:1 _ 2, _(1)由題意可知，x 0, f(x)二1 3 s X V2X X、 2方程-X +x- a = 0對應(yīng)的= 1 - 4a,當(dāng)= 1 - 4a 0,即巳逬_時(shí)，當(dāng) xC (0, + S)時(shí)，f (X) f (X)在(0, + 8)上單調(diào)遞減;當(dāng)0當(dāng)時(shí)，方程-x2+x - a = 0的兩根為一 4且 且 0 0,函數(shù)f ( x)0, f (X)單調(diào)遞增,當(dāng) 疋(1駕一4且，十8)時(shí)，f (X) 1,使過kI皿成立.x-l設(shè)呂二也吐g, x 1 ,(2)原式等價(jià)于(X- 1) axinx+2x- 1,x-1則gf(K)二旦土L,-( 9 分) Cx-1)2設(shè) h (x)

12、= X- lnx - 2,則h（D二1_1二疋1 0，二h （x）在（1, + s）上單調(diào)遞增. X X=4 - ln4 - 2= 2 - 2ln2 0,又 h (3)= 3 - ln3 - 2 = 1 - ln3 xo+1，又xo （3, 4）, a包, a的最小值為5.-（ 12分）更多資料加群：6259723235.已知函數(shù)Xf (x)= e - Inx+ax ( aR).(I)當(dāng)a=- e+1時(shí)，求函數(shù)f （X）的單調(diào)區(qū)間;(n)當(dāng)a- 1 時(shí)，求證：f (x) 0.【解答】(I)解：f (X)= ex- lnx+ (- e+1) x;令F（山/三弋+口，得x=1 ；當(dāng) x (0, 1

13、)時(shí)，f ( x)v 0, f (X)單調(diào)遞減;當(dāng) X (1, + s)時(shí)，F(xiàn)( x) 0, f (X)單調(diào)遞增;X(n)證明：當(dāng) a =- 1 時(shí)，f (x)= e - lnx - x (x 0);令皿)m g：。; h (力在(0, + 8)上單調(diào)遞增;又hCy)=V-30; ?旺 1),使得 h(葢0)二已-一 -1=0，即戶二;U20北 0函數(shù)f (乂)在(0, xo)上單調(diào)遞減，在(xo, + s)上單調(diào)遞增；函數(shù) f (X)的最小值為 f(= -Inxg-ZQ=-l-lnKg- Xq;又函數(shù)y=l-lnz-x是單調(diào)減函數(shù); f (xo) 1+1 - In1 - 1 = 1 0,即卩

14、 ex Tnx - x 0 恒成立;又 ex x Inx;x e - Inx 0;又 a - 1, x 0; ax- x; f (x)= ex- Inx+ax ex- Inx - x 0,得證.x 26.已知函數(shù) f (x)= e - x - ax - 1.(I)若f (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍;x 3求a的取值集合.x= In2 時(shí)，h ( x)(n)設(shè)函數(shù)g (x) = xf (x)- e +x +x,若g (X)至多有一個(gè)極值點(diǎn),【解答】解：(1)由條件得，f (x)= ex- 2x- a 0,得 awex - 2x,令 h (x)= ex- 2x, h (x)= ex-

15、2 = 0.得 x = In2,當(dāng) XV In2 時(shí)，h (x)v 0，當(dāng) x In2 時(shí)，h (x) 0.故當(dāng)min= h (In2)= 2-2ln2.7.已知函數(shù) f (x)= x- 1 - Inx- a (x- 1)2 (aR). aw 2- 2In2.更多資料加群:625972323(2) g (x)= xex- ax2 - ex,g(x)= x (ex- 2a).當(dāng) aw 0 時(shí)，由 x 0, g (x)0 且 xv 0, g (x)v 0，故 0 是 g (x)唯一的極小值點(diǎn);(2a).令 g (x)= 0 得 xi= 0, X2= In當(dāng)a專時(shí)，x1=x2, g(x)0恒成立,g

16、 (x)無極值點(diǎn).(1 )討論函數(shù)f ( X)的單調(diào)性;(2)若對？x (0, +8), f (x) 0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解：(1)由題意知，f (X)的定義域?yàn)?0, + 8由函數(shù) f ( x)= X- 1 - Inx - a (X- 1) 2 ( a R)得 f (x)= 1 -丄2a (x- 1 )=X 當(dāng)aw 0時(shí)，令f (x) 0,可得x 1,令f (X) 0，可得OvXV 1;故函數(shù)f (x)的增區(qū)間為(1, + 8),減區(qū)間為(0,1). 當(dāng)0 a 1,令f (X)2 2a丄，故f (X)的增區(qū)間為(2a0,可得W右令f(x) 0,可得0評,0 4r0,可得命V令f(

17、X)0，可得E僉故f ( X)的增區(qū)間為(丄，1),減區(qū)間為(0,2a護(hù)，(1 , + 8綜上所述:當(dāng)a w 0時(shí)，f (X)在(0, 1)上為減函數(shù)，在(1 , + 8)上為增函數(shù);當(dāng)0 a丄時(shí)，f (X)在2在( 0,7 +P上為減函數(shù)，在(1,護(hù)上為增函數(shù);(0,(0,+ S)上為減函數(shù);)(1 , + 8)上為減函數(shù).在(_JL2a2a1)上為增函數(shù).由(1)可知:當(dāng)aW 0 時(shí)，f (x) min= f (1 )= 0,此時(shí)，f (x)0；1 n+10a 0, ax a+1,2 a可得 f (x)= X- 1 - Inx - a (X - 1) 2 x- 1 - a (x- 1) 2

18、=( x- 1) ( a+1 - ax) 0,不合題意；更多資料加群：625972323 當(dāng)a=4時(shí)，f (1 )= 0,由f (X)的單調(diào)性可知，當(dāng) x (1 , +S)時(shí)，f (X)時(shí)，f (1 )= 0，由f (X)的單調(diào)性可知，當(dāng)2噲，1 時(shí)，f( X) 0, g (x)無零點(diǎn)，f (x)無好點(diǎn);若 a0，則由 g( x)= 0 得 x= Ina ;易知 S仗)rnm二g(lnd)二-al口已;2當(dāng)且僅當(dāng)-a 1 na 0，即 0 v a 0; g (X)無零點(diǎn)，f (X)無好點(diǎn);若a0 ,即 _2匕47 0; g (X)無零點(diǎn)，f (X)無好點(diǎn)； 更多資料加群：625972323合題

19、意.2綜上，a的取值范圍是(-2d 1).29.已知函數(shù) f (x)= Inx+ax + ( a+2) x+2 (a 為常數(shù)).(1 )討論函數(shù)f ( X)的單調(diào)性;(2)若a為整數(shù)，函數(shù)f (X)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a的值.【解答】解(1)由題意x 0, f(刈=少2.廉+我=4如)(力切若a0,對 x0, f(X ) 0恒成立,f (幻在(0, +s)單調(diào)遞增;若av0,則-土 0,a當(dāng) 0v xv- 土?xí)r,af( x) 0, x 丄時(shí)，f( x)v 0,a所以f (x)在(0,-丄)單調(diào)遞增，在(-+ s)單調(diào)遞減,(2 )由(1)知，若函數(shù)f (X)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則a v 0,且f

20、(x)在x=丄處有極大a值，也是最大值;f (X) f (丄)=Inamax= f (丄) 0,更多資料加群：625972323 a12 11+ a (- )+ (a+2)()+2 = In ()+aaa+1,又 a為整數(shù)且av 0,當(dāng)a=- 1時(shí)，且a =- 2時(shí)，且a =- 3時(shí)，且f (X) max= f (一) a(丄)a(丄)a=0+2 = 2 0,(X)(X)max= fmax= f1嶺號+ 1 0, 44+1 0,a =- 4時(shí)，且(X)max= f(丄)a故a的值為：-1,-2,- 3.a R.當(dāng) X (1, + s)時(shí) g( x)v 0當(dāng)x = 1時(shí)g ( X)有最大值，g

21、( 1 ) = 1 .故 2av g (1 )= 1 a e- S即證明2lnX1+|nx2- 1,X X 2/ f( x)= 1 + 1 nx - 2ax,.xi, X2是方程Inx = 2ax- 1的兩個(gè)根,即，Inxi = 2axi 1，InX2= 2ax2 1，即證明 2a ( 2xi+x2) 2.Inxn-Ins 1-，得：2a=t，即證(2xi+x2) 2,不妨設(shè)X1X2,貝U t=!- 1,更多資料加群：6259723237則證旦_ ( 2t+1 ) 2, I nt - t-1設(shè) g (t)= lnt 備則 g，( t)_- f ( X)在(-8a - Ua(宜+2)遞增,63Q

22、+刃-a+Va(a+2)遞減， t 1 4 (t+丄)2- 642(1+丄)= 4a +8a= 4a (a+2), - 6 = 3 0 , g (X) 0; 2 g (在(1, + 8)單調(diào)遞增，g (t) g (1)= 0,故 3t I 2 J1 3 211.已知函數(shù) f (x)=x - a (x+1)0(1 )討論函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f (X)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.2 2【解答】 解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?R, f (x)= X - 2a (x+1 )= X - 2ax- 2a,w 0 時(shí)，-2w aw 0 時(shí)，f (x) 0, 2)當(dāng) 0時(shí)，即av- 2或a

23、0時(shí)，令 f (X)在R上遞增( 1分)f (x)= 0, X2- 2ax- 2a= 0,解得疋 1 二，七二(已+2)；WaCa+2)* +8)遞增;（2）由（1）知0時(shí)，-2W a 0;3存在唯一零點(diǎn) xo （- 1, 1）；當(dāng)av- 2或a 0時(shí),1) av- 2 時(shí)，乜二= a+j6+l )2-1 va+|a+1|;av- 2, a+|a+1|=- 1，即，X2v- 1 , X1 vX2v- 1 ； f (- 1)=丄v 0, f (0)=- a0，存在零點(diǎn) Xo (- 1, 0).3又 f （幻在（-3, X1）遞增，（X1, X2）遞減，（X2, + 3）遞增; f (X)在 x=

24、 X1 處有極大值， f (X1)v 0,丄gLg&i + l) 20, (*)3又且二 0，將 a （X1+1）=W 代入（*）得專一 （工+1）- 3,且 X1M0;- 3v X1 v- 1，即-3 v a - U刊3+ 2)v- 1;,解得 色 0 時(shí)， x1?x2=- 2av 0, X1 v 0v x2；2v 0,（X2, + 3）遞增;當(dāng) XC (-3,0)時(shí)，又丄 3；0,- a (X+1)3-f (x)=號乂2已(沈+1) 2 2,而 f (3a+2) = (30+ 2 )匚宜(3a+ 3 嚴(yán)=3a+| 0, 存在零點(diǎn)xqE (X2,0 03a+2);綜上，a V.12.已知函數(shù)

25、fG）二豆（1 ）當(dāng)0 v mv 2時(shí)，證明：f （X）只有1個(gè)零點(diǎn);(2)證明：曲線f (X)沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線.【解答】(1 (證明：f ( X)的定義域?yàn)?0, +8);F衛(wèi)遲；XX2 2令 g (x)= X - mx+1，則= m 4;/ 0 0 在 X (0, + s)上恒成立; f (X)在(0, +上單調(diào)遞增; f (X)至多有一個(gè)零點(diǎn); f(X)=*x) + Inx；當(dāng) 0 X 2m 且 x 1 時(shí)，f (x) 2m 且 x 1 時(shí)，f (x) 0; f (x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)0 m0)處的切線經(jīng)過原點(diǎn),即 二X -HI申，化簡得寺F+1址+1二0；XX2令h(x)=vx+lm+

26、l，則 h，(X)二X丄 J；2X X令 h(X)= 0，解得 x= 1;(x) 0, h (X)單調(diào)當(dāng) 0x 1 時(shí)，h( x) 1 時(shí)，h遞增;h二hd)二豆；與 y it+Inx+l=0 矛盾;曲線y= f (X)沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線.213.已知函數(shù) f (x)= 4lnx+x - 2mx (m R).(1 (求函數(shù)f (X)的單調(diào)區(qū)間；(2)若直線 2 2=21n2-mx 2 -*2( + 七 F為曲線普的切線，求證：直線1與曲線尸譽(yù)不可能有2個(gè)切點(diǎn).2【解答】解：（1）由題意，X玄XX令 y = X1 2- mx+2，則= m2-8,若-2V2n 0,故函數(shù)f （乂）在（0, +8）

27、上單調(diào)遞增;若衣一2邁或iti2/2, y= X2 - mx+2有兩個(gè)零點(diǎn)xi,X2,則 X1X2= 20,其中皿q血7応； 2 2 2若 *一2 近，則 X1 0, X2 0,故函數(shù)f （乂）在（0, +s）上單調(diào)遞增;(ii)若曲劉豆 則 X1 0 ,X20,此時(shí)當(dāng) x (0, X1)時(shí)，f (X) 0,當(dāng) x (X1, X2)時(shí),f (x) 0,故函數(shù)f （乂）在（0, xiMH（ X2, + s）上單調(diào)遞增，在（X1, X2）上單調(diào)遞減;綜上所述，可知:當(dāng)時(shí)，函數(shù)f （X）在（0, +s）上單調(diào)遞增;當(dāng)iti2V2時(shí)，函數(shù)f （X）在（0, X1）和（X2, + s）上單調(diào)遞增，在（X

28、1, X2）上單調(diào)遞減.（2）證明：（反證法）假設(shè)存在一條直線與函數(shù)占的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)T（ X1,-Xyi), T2 (X2, y2),不妨令0 X1 X2,則T1處切線11的方程為:丄筍筈丄（）,T2處切線12的方程為：丄許X#厶 切線ll, 12為同一直線,所以有*f (X|)=f(七)f(X| )-K(X i)=f ( 2)工22 . _2 .+ K 1 -+ Kn -mst 1 Xz 212 2即21nx J +y X -mx j -x j ( + x)-in整理得*XI2=221nx J 令x*21.n x 2 氣送2 2消去X2得，21+=0.X 12令宀，由 0 X1 X2

29、 與 X1X2= 2，得 t S 0, 1),2記p(t)=21nt+v-t，則y二一為-1二-上匕孕一 P (1)= 0.從而式不可能成立，所以假設(shè)不成立,即若直線1為曲線的切線，則直線1與曲線 占不可能有2個(gè)切點(diǎn).X 114.已知函數(shù) f (x) = ( x+1) e+思 X +2ax, a 駅 (1 )討論f (X)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)(2)若X0 (xoM- 2)是f (X)的一個(gè)極值點(diǎn)，且 f ( - 2)-2 e ，證明：f (xo)w 1.【解答】(1)解：f (X)的定義域?yàn)?R, f( x) = ( x+2)/ X 、(e +a);當(dāng) x(-s,- 2)時(shí)，f( x) 0, f (X

30、)單調(diào)遞增; x=- 2是f ( X)唯一的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，故此時(shí)f ( x)有1個(gè)極值點(diǎn);若 a0,令 f( x) = ( x+2) (ex+a)= 0,貝 U X1 =- 2,X2= In (- a);_2當(dāng) a- e 時(shí)，X1 0;當(dāng)x(X1, X2)時(shí)，f( x)v 0；二X1 , X2分別是f( X)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),故此時(shí) f(X)有2個(gè)極值點(diǎn);當(dāng) a =- e-2 時(shí)，x1 = X2, f ( x) 0,此時(shí)f ( X)在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn);_ 2當(dāng)-e aX2,同理可知，f(X)有2個(gè)極值點(diǎn);綜上，當(dāng)a=- e-2時(shí)，f (X)無極值點(diǎn)；當(dāng)a 0時(shí)，f (x)有1

31、個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a- e-2或-e 2 a e 22);貝U xo= In ( a); f &0)二f in(-a)今3.F(-a) + 21n(-q)-2;令 t = ln ( a) ( 2, + 8)，貝a = e飛(t)二 fln(p)=-p呂(t+4)吐;又/ t ( 2, + 8 t+4 0;令 g g (t)= 0,得t= 0;當(dāng) t ( 2, 0)時(shí), 0, g (t)單調(diào)遞增; 0, g (t)單調(diào)遞減; t= 0是g (t)唯一得極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即 g (t) 0在(0, + 8)上恒成立,所以g (x)在(0, +8)上單調(diào)遞增，無極值.若k0時(shí)，則當(dāng)0 XV k時(shí)，g

32、 (x) k時(shí)，g (x) 0, g (x)在(k, +8)上單調(diào)遞增;所以當(dāng)x= k時(shí)，g (X)有極小值2k- kink,無極大值.(3)因?yàn)閒 (x)= 0僅有一個(gè)零點(diǎn)1,且f (x) 0恒成立，所以g (x)在(0, +S)上有僅兩個(gè)不等于1的零點(diǎn).當(dāng)kw 0時(shí)，由(2)知，g (力在(0,+ 8)上單調(diào)遞增，g ( x)在(0, + 8)上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去,當(dāng) 0 k 0, g (x)在(0, + 8)無零點(diǎn),2F面證明，當(dāng)xe時(shí)，h (x)上單調(diào)遞增h (x) h (e2)2=e2- 30,2 2 當(dāng)k= e時(shí)，g (X) 0,當(dāng)且僅當(dāng)x= e等號成立，g(幻在(0 ,

33、+ 8)僅一個(gè)零點(diǎn),當(dāng) ke=X- 2lnx+1 %丿(X)二0, h (x)在(e2, + 8 X時(shí)，g (k)= k (2 - lnk) 0，所以 g (k)?g ( e) 0, g ( k)?g (k2) f (x).alnxnalnxn a(l-lnxr)【解答】解:(1)設(shè)切點(diǎn)為(X0,),則切線為y-尸一(X-a(l-InxQ) 2alnxn-ax0),即 y=mx+=1所以*2，消去 a 得：X0 - 1 + Inx。- 2x01nx0= 0, 2aln Xq -a記 m( t)= t- 1 + 1 nt - 2tlnt (t 0),則m( t)=丄_21訊-1，顯然m( t)單

34、調(diào)遞減，且 m ( 1) = 0,所以 t (0, 1)時(shí)，m( t) 0, m (t)單調(diào)遞增，t (1, + 時(shí)，m( t)0)，貝U F /X-1.(x)= e - 1,當(dāng) X (1, + 8)時(shí)，F(xiàn) ( x) 0,F (X)單調(diào)遞增;當(dāng) X (0, 1)時(shí)，F(xiàn) ( x)v 0, F(X)單調(diào)遞減,所以 F (x) F (1)= 1 - 1 = 0,所以 eT 1 X,即卩 g (x) X- 1，2記 G (x)= X - X - inx (x 0),則 G( x)= 2x- 1 -X= 2/-玄-1 =(a-l)(2x+l)所以x (0, 1)時(shí)，G( x)v 0, G (X)單調(diào)遞減

35、,x (1 , + S)時(shí),G ( X ) 0, G (X)單調(diào)遞增,所以G (x) G(1 )= 0，即 X2- x Inx,所以 X - 111,即卩 X- 1 f (x)，X由得g (x)17. 已知函數(shù)f (x)=X2 - X- alnx, aR.X(1 )若不等式f (x) 0無解，求a的值;(2)若函數(shù)f ( x)存在兩個(gè)極值點(diǎn) X1、X2,且X10),貝y f (x)=-x-a , f (1)= 0,T不等式f (X ) 0無解， f ( X)極小值= f (1)= 2 - 1 - a= 0,.a= 1;(2 )函數(shù)f (X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)XI、X2,且X1 X2,X1、X2是方

36、程2x2 - x- a = 0的兩個(gè)不 f (幻在(0, + 8)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即相等的正實(shí)根,令一二 t，貝y 0 t0,(0=丄讓丄)kt (0 t 1),則 g (t)2 t(t)在(0,1)上單調(diào)遞增， g (t)g(,在(-g=0.0, 1)上恒成立,X- m g (1)= 0,實(shí)數(shù)m的最小值為0.218. 設(shè)a, bR，已知函數(shù)f (x)= alnx+x +bx存在極大值.(I)若a= 1,求b的取值范圍;(n)求a的最大值，使得對于 b的一切可能值，f (X)的極大值恒小于 0.2【解答】解：(I)當(dāng)a= 1時(shí)，f (X)=2x +bx+l (X0),由f(X)存在極大值，可2知方程2x +bx+1 = 0有兩個(gè)不等的正根,A=b-S0,b、解得b 0).由 f( X)存在極大值，可知方程：2x2+bx+a = 0X有兩個(gè)不等的正根，設(shè)為 X1 v X2,由X1x2y 0,可得：0 0, g (X)在X(0，吾上單調(diào)遞增.可得：g ( X1)V g)=旦(In 旦-3).當(dāng) Ov aw 2e3 時(shí), 2 f (X)極大=f ( X1)= g ( X1)v g 需)w 0.3當(dāng) a 2e3 時(shí)，取 b =- 2(扛-),即卩 X1=匕2 , X2=|匕 2=-e3 0,2不符合題意.二a的最大值為2e3.19. 已知函數(shù) f (X)= X- 1nx(1)