(完整版)解線性方程組的消元法及其應(yīng)用

1、解線性方程組的消元法及其應(yīng)用 朱立平 曲小剛 ) 教學(xué)目標(biāo)與要求 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)， 使學(xué)生熟練掌握一種求解方程組的比較簡(jiǎn)便且實(shí)用的方法高斯消元 法，并能夠熟練應(yīng)用消元法將矩陣化為階梯形矩陣和求矩陣的逆矩陣 . 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)： 解線性方程組的高斯消元法，利用消元法求逆矩陣 教學(xué)難點(diǎn)： 高斯消元法，利用消元法求逆矩陣 . 教學(xué)方法與建議 先向?qū)W生說(shuō)明由于運(yùn)算量的龐大， 克萊姆法則在實(shí)際應(yīng)用中是很麻煩的， 然后通過(guò)解具 體的方程組， 讓學(xué)生自己歸納出在解方程組的時(shí)候需要做的三種變換， 從而引出解高階方程 組比較簡(jiǎn)便的一種方法高斯消元法， 其三種變換的實(shí)質(zhì)就是對(duì)增廣矩陣的初等行變換， 最

2、后介紹利用消元法可以將矩陣化為階梯形矩陣以及求矩陣的逆。 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1. 問(wèn)題的提出 由前面第二章的知識(shí)， 我們知道當(dāng)方程組的解唯一的時(shí)候， 可以利用克萊姆法則求出方 程組的解， 但隨著方程組階數(shù)的增高， 需要計(jì)算的行列式的階數(shù)和個(gè)數(shù)也增多， 從而運(yùn)算量 也越來(lái)越大，因此在實(shí)際求解中該方法是很麻煩的 . 引例 解線性方程組 4x1 2x2 5x3 4 (1) x1 2x2 7 (2) 2x1 x2 3x3 1 (3) x1 2x2 7 (1) (1) ( 4) (2) x1 2x2 7 (1) 解 ( 1) (1) (2) 4x1 2x2 5x3 4 (2) (1) ( 2) (3) 6x

3、2 5x3 24 (2) 2x1 x2 3x3 1 (3) 5x2 3x3 13 (3) (1) (3) 5 Xi 2x27 （2）（ ）（3） 6 6x2 5x324 7 X37 6 用回代的方法求出解即可. 問(wèn)題：觀察解此方程組的過(guò)程，我們總共作了三種變換：（1 ）交換方程次序，（2）以不 等于零的數(shù)乘某個(gè)方程，（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍.那么對(duì)于高階方程組來(lái)說(shuō)， 是否也可以考慮用此方法. 2. 矩陣的初等變換 定義1階梯形矩陣是指每一非零行第一個(gè)非零元素前的零元素個(gè)數(shù)隨行序數(shù)的增加 而增加的矩陣. 定義2下面的三種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換： i. 互換矩陣的兩行（例如第i行與第

4、j行，記作rirj）， ii. 用數(shù)k 0乘矩陣的某行的所有元素（例如第i行乘k，記作kri）， iii. 把矩陣某行的所有元素的k倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去（例如第j行的k倍加 到第i行上，記作ri krj）. 同理可以定義矩陣的初等列變換. 定義3如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變?yōu)榫仃?B ，則稱矩陣 A與B等價(jià)，記作 AB. 注：任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過(guò)初等變換化為階梯形矩陣 3.咼斯消兀法 對(duì)般口丁 II階線性方程組 a1 X1 812X2 a1nXn b (1) a21 X1 a22X2 a2n Xn b2 (2) (3.1) an 1 X1 an2X2 ann Xn bn (n) 若系

5、數(shù)行列式detA 0,即方程組有唯一解，則其消元過(guò)程如下: 第一步，設(shè)方程（1）中Xi的系數(shù)aM 0將方程（I）與（1）對(duì)調(diào)，使對(duì)調(diào)后的第一個(gè)方程 Xi 的系數(shù)不為零.作i 並(D(i 2,3, a11 n），得到同解方程組 (0) an X1 (0) a12 X2 (0) a1 n Xn b1(0) (1) a?2 X2 (1) a2n Xn by (1) an2X2 (1) annXn (3.2) 第二步，設(shè)a22）0，保留第二個(gè)方程，消去它以下方程中的含X2的項(xiàng)，得 (0) 耳1 X1 ax2 a22)x2 (0) b）對(duì)A施行初等行變換， 目標(biāo)是將 A變換成 I ; c）當(dāng)A變換為時(shí)， 原來(lái)的 I變換成A 1 ，即（A, 1） (I, A1) 主：若將A, I拼成 A ，只能施行初等列變換， I 即 A I I A 1 求矩陣A的逆矩陣 1 1 1 A 1 0 2 . 1 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 （ 1）1 解(A, 1)=1 0 2 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 1 1 0 0 1 31 0 1 1 2 1 0 “32 1 1 1 1 i 1 0 01 2 31 3