完整版二次函數知識點與題型總結

1、二次函數知識點一、平面直角坐標系1、平面直角坐標系在平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。注意： x 軸和 y 軸上的點，不屬于任何象限。2、點的坐標的概念點的坐標用a, b 表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當ab 時， a,b 和 b, a 是兩個不同點的坐標。知識點二、函數及其相關概念1 、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量x 與 y ，如果對于 x 的每一個值， y 都有唯一確定的值與它對應，那么就說 x

2、 是自變量，y 是 x 的函數。2、函數解析式用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數的三種表示法及其優(yōu)缺點（ 1）解析法兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自變量 x 的一系列值和函數y 的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。（3）圖像法用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟（ 1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值（ 2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點（ 3）

3、連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。知識點三、概念總結及基本性質1、二次函數的概念：一般地，形如yax2bxc（ a ，b ，c 是常數， a0 ）的函數，叫做二次函數。二次函數的定義域是全體實數2. 、二次函數yax2bxc 的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量a ，b ，c 是常數， a 是二次項系數，x 的二次式，x 的最高次數是b 是一次項系數，c 是常數項23、二次函數的基本形式（平移規(guī)律：左加右減，上加下減）（1） yax2 的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質x0 時， y 隨 x 的增大而增大；

4、 x0 時， y 隨a0向上0 ，0y 軸x 的增大而減小；x 0 時， y 有最小值 0 x0 時， y 隨 x 的增大而減??； x0 時， y 隨a0向下0 ，0y 軸x 的增大而增大；x 0 時， y 有最大值 0 （2） yax2c 的性質：上加下減。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質0 ，cx0 時， y 隨 x 的增大而增大； x0 時， y 隨a0向上y 軸x 的增大而減??；x 0 時， y 有最小值 c x0 時， y 隨 x 的增大而減??； x0 時， y 隨a0向下0 ，cy 軸x 的增大而增大；x 0 時， y 有最大值 c （3） ya x2h 的性質：左加右減。（4

5、） y a x h2k 的性質：4、二次函數 y ax2bx c 圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數yax2bx c 化為頂點式 ya( xh) 2k ，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y 軸的交點0 ，c、以及 0 ，c關于對稱軸對稱的點2h ，c 、與 x 軸的交點 x1 ，0 ， x2，0 （若與 x 軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y 軸的交點 .5、二次函數 y ax2bx c 的性質1. 當 a 0 時，拋物線開口向上，對稱軸為x

6、b ，頂點坐標為b ，4acb 22a2a4a當 xb時，y 隨 x 的增大而減小； 當 xb時，y 隨 x 的增大而增大； 當 xb時，y 有最小值 4ac b 22a2a2a4a2.當 a0 時，拋物線開口向下， 對稱軸為 xb ，頂點坐標為b ，4acb 2當 xb 時， y 隨 x2a2a4a2ab 時， y 隨 x 的增大而減小；當2的增大而增大；當xxb時， y 有最大值 4ac b2a2a4 a6、二次函數解析式的表示方法1.一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 為常數， a0 ）；2.頂點式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 為常數， a0 ）；3.兩根

7、式： ya( xx1 )( x x2 ) （ a0 ， x1， x2 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標） .知識點四、二次函數、二次方程、二次不等式相同：(1)表達它們的都是式子：函數式、方程式、不等式；(2)它們都含有類似的代數式：ax2bx c ；(3) 它們的代數式都只含有一個未知數( 一元 ) ；(4) 它們的代數式中的未知數的最高次數都是二次。區(qū)別：(1) 二次函數、一元二次方程、一元二次不等式的概念范疇分別是函數、方程、不等式；(2) 二次函數中，代數式ax2bxc 等于因變量y；一元二次方程中，代數式ax 2bxc等于零；一元二次不等式中，代數式ax 2bxc 大于或小于零；(3

8、) 圖像：二次函數的圖像是一條曲線：拋物線；一元二次方程的解是點：二個點或一個點或無點；一元二次不等式的解集是線段或射線。聯系：(1) 一元二次方程的知識是研究二次函數和一元二次不等式的基礎知識。(2) 令二次函數y ax 2bxc 的 y 0 ，則原式變?yōu)橐辉畏匠蘟x2bx c =0，令一元二次不等式 ax2bxc 0 的不等號變?yōu)榈忍?，則原式變?yōu)橐辉畏匠蘟x 2bxc =0 。(3)二次函數 yax 2bx c 拋物線與x 軸的兩交點的橫坐標x1 、 x2（ x1 x2），即為一元二次方程ax 2bxc =0 的兩根。（拋物線與 x 軸有一個交點，即方程有二個相同的根；沒有交點，即

9、方程無解。）一元二次不等式 ax2bxc 0 解集是： x x1或 x x2 ；對于 ax2bxc 0，解集是： x1 x x2 。 當b 24ac 0 時，圖象與 x 軸交于兩點 a x1 ，0，b x2 ，0( x1 x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程24ac .ax2bxc0 a0 的兩根這兩點間的距離abx2 x1ba 當0時，圖象與 x 軸只有一個交點； 當0 時，圖象與 x 軸沒有交點 .1當 a0 時，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實數，都有y0；2當 a0 時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數，都有y0 8、兩點間距離公式點 a 坐標為（ x1，y1

10、）點 b坐標為（ x2，y2）。則 ab間的距離，即線段ab的長度為x1x22y1 y22【題型總結】題型一：考查二次函數的定義、性質1、已知以 x 為自變量的二次函數 y( m 2)x 2m2m 2 的圖像經過原點，則 m 的值是2、當 m _時，函數 y =(m 2 + m )x m 2 - 2m - 1 是關于 x 的二次函數 .3、下列函數：22221y = 3x ；y = x - x (1 + x ) ； y = x (x + x )- 4 ； y =x 2 + x ； y = x (1 - x ) ，其中是二次函數的是題型二：綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像3、如圖

11、，如果函數ykxb 的圖像在第一、 二、三象限內，那么函數 ykx 2bx1 的圖像大致是（）yyyy110 xo-1 x0 x0 -1 xabcd4、在同一直角坐標系中， 函數y mx m和ymx22x20 ）的圖象可能是 （）y（ m 是常數，且 myyyoxoxoxoxabcd題型三：考察圖像平移5、把拋物線 yx2向左平移1 個單位，然后向上平移3 個單位 ，則平移后拋物線的解析式為 （）a y( x 1)23b y(x 1)23 c y( x 1)23d y( x 1)236、拋物線 y1 x2向左平移8 個單位，再向下平移9 個單位后，所得拋物線的表達式是（）2a. y=2-9b.

12、 y=2c. y=1 (x-8)221 (x+8)1 (x-8) +9-9 d. y=1 (x+8) +92222題型四：由拋物線的位置確定系數的符號7、二次函數 yax2bxc 的圖像如圖 1，則點 m (b, c ) 在（）aa第一象限b第二象限c 第三象限d 第四象限8、已知二次函數 y2bxc（ a 0）的圖象如圖2 所示， ?則下列結論： a 、b 同號； 當 x =1 和 x =3ax時，函數值相等；4 a + b =0；當 y=-2時， x 的值只能取0. 其中正確的個數是（）a 1 個 b2 個 c 3 個 d 4 個(1)(2)題型五：考查用待定系數法求二次函數的解析式9、已

13、知：關于 x 的一元二次方程 ax2bxc3 的一個根為 x2 ，且二次函數 y ax2bx c 的對稱軸是直線 x 2，則拋物線的頂點坐標為( )a(2 ， -3)b.(2， 1) c(2 ，3)d(3 ， 2)10、已知一條拋物線經過(0,3) ， (4,6)兩點，對稱軸為 x5，求這條拋物線的解析式。3題型六：考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值11、已知拋物線2y3。y ax bx c（ a ）與 x 軸的兩個交點的橫坐標是、 ，與軸交點的縱坐標是01 32（1）確定拋物線的解析式； （2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.【過手訓練】1、當 m_時，函

14、數 y =(m -4) x m 2- 5m + 6+3x 是關于 x 的二次函數。2、拋物線 yx2 不具有的性質是（）a、開口向下b、對稱軸是y 軸c、與 y軸不相交d 、最高點是原點3、蘋果熟了，從樹上落下所經過的路程s 與下落時間 t滿足 s 1 gt 2（ g 9.8 ），則 s 與 t的函數圖像大2致是（）sssstootototabcd4、函數 yax2 與 yax b的圖象可能是（）ab c d 5、二次函數 y3 x2 ，當 x1x2 0 時，求 y1 與 y2 的大小關系 .26、函數 y1x3 22的圖象可由函數y1x2 的圖象向平移 3 個單位，再向平移 222個單位得到

15、 .7、拋物線 yx 26x16 與 x 軸交點的坐標為 _8、二次函數 yx 22x1的圖象在 x 軸上截得的線段長為（）a、 2 2b 、 3 2c 、 2 3d 、 3 39、二次函數 y = mx 2+ 2x + m -4m 2 的圖象經過原點，則此拋物線的頂點坐標是10、已知二次函數y4x 22mxm2 與反比例函數 y2m 4的圖象在第二象限內的一個交點的橫坐x標是 -2，則 m =11、二次函數 yax 2bxc( a0) 的圖象如圖所示，對稱軸是直線x1 ，則下列四個結論錯誤的是a c 0b 2ab0c b24ac0 d a bc 012、已知二次函數 yax2bxc 的圖象如

16、圖所示，有以下結論：ab c 0 ； a b c1； abc0 ； 4a2b c0 ； c a1 其中所有正確結論的序號是（）abcd13、二次函數yax 2bxc(a0) 的圖象如圖，下列判斷錯誤的是（）a a 0b b 0c c 0d b24ac014 、 二次函數 yax2bx c 的圖象如圖所示，則下列關系式中錯誤的是（）a a 0b c0c b2 4ac 0 d a bc 0y111ox（11 題）（ 12 題）（ 13 題）（ 14 題）15ykx27 x7與x 軸有交點，則k的取值范圍是.、已知二次函數16、關于 x 的一元二次方程x 2xn0 沒有實數根，則拋物線 yx 2x

17、n 的頂點在第 _象限；17yx22kx2與 x 軸交點的個數為（）、拋物線a 、 0b 、1c、 2d 、以上都不對18、二次函數 yax 2bxc 對于 x 的任何值都恒為負值的條件是（）a 、 a 0,0b、 a0,0c、 a 0,0d、 a 0,019、 yx 2kx1與 yx 2xk 的圖象相交，若有一個交點在x 軸上，則 k 為（）a、 0b 、 -1c、 2d 、 1420、若一次函數y(m1)xm 的圖象過第一、三、四象限，則函數ymx2mx （）a有最大值 mb有最大值mc有最小值 md有最小值m444421、已知拋物線yx22 x 3 ，若點 p （2 ， 5 ）與點 q

18、關于該拋物線的對稱軸對稱，則點q 的坐標是22、拋物線 yax 2bxc( a0) 的對稱軸是直線x1 ，且經過點 p（ 3，0），則 abc 的值為（）a. 0b. 1c. 1d. 223、二次函數 yax2bxc 的圖象過 a (-3,0),b (1,0),c (0,3),點 d 在函數圖象上，點 c, d 是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數圖象過點b, d求（ 1）一次函數和二次函數的解析式；（ 2）寫出使一次函數值大于二次函數值的x 的取值范圍 .24、已知二次函數的圖象經過點a （ -3,0 ）， b （ 0,3 ）， c （ 2, 5），且另與 x 軸交于 d 點。（1）試確定此二次函數的解析式；（2）判斷點 p （ 2,3 ）是否在這個二次函數的圖象上？如果在，請求出 pad 的面積；如果不在，試說明理由25