小學(xué)奧數(shù)習(xí)題教案-5-3-5 分解質(zhì)因數(shù)（二）.教師版

1、5-3-4.分解質(zhì)因數(shù)教學(xué)目標(biāo)1. 能夠利用短除法分解2. 整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個(gè)數(shù)字都可以表示為的結(jié)構(gòu)，而且表達(dá)形式唯一”知識(shí)點(diǎn)撥一、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)（1）.質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù).（2）.互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).（3）.分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù).例如：.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如，2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)，其中后一個(gè)式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個(gè)數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)和約數(shù)的和的時(shí)候都要用到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)式.分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因?yàn)檫@樣可以幫

2、助我們分析數(shù)字的特征.（4）.分解質(zhì)因數(shù)的方法：短除法例如：，（是短除法的符號(hào)） 所以；二、唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：其中為質(zhì)數(shù)，為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.例如：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù).分析：210=2357，可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7.三、部分特殊數(shù)的分解；.例題精講模塊一、分?jǐn)?shù)的拆分【例 1】 算式“1”中，不同的漢字表示不同的自然數(shù)，則“希望杯” ?！究键c(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第19題，6分【解析】 三個(gè)分?jǐn)?shù)中一定有大于三分之一的，那個(gè)數(shù)是二分之一，剩下

3、的兩個(gè)數(shù)必有一個(gè)大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】【例 2】 個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是，則這個(gè)質(zhì)數(shù)之和為多少【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)這個(gè)質(zhì)數(shù)從小到大為、，它們的倒數(shù)分別為、，計(jì)算它們的和時(shí)需通分，且通分后的分母為，求和得到的分?jǐn)?shù)為,如果這個(gè)分?jǐn)?shù)能夠約分，那么得到的分?jǐn)?shù)的分母為、或它們之間的積.現(xiàn)在和為，分母，所以一定是，檢驗(yàn)滿足.所以這個(gè)質(zhì)數(shù)的和為【答案】【例 3】 一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母是，分子是一個(gè)質(zhì)數(shù)現(xiàn)在有下面兩種方法： 分子和分母各加一個(gè)相同的一位數(shù)； 分子和分母各減一個(gè)相同的一位數(shù)用其中一種方法組成一個(gè)新分?jǐn)?shù)

4、，新分?jǐn)?shù)約分后是那么原來(lái)分?jǐn)?shù)的分子是多少 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】3星 【題型】解答【解析】 因?yàn)樾路謹(jǐn)?shù)約分后分母是，而原分母為，由于，所以分母是加上或者減去若是前者則原來(lái)分?jǐn)?shù)分子為，但，不是質(zhì)數(shù)；若是后者則原來(lái)分?jǐn)?shù)分子是，而是質(zhì)數(shù)所以原來(lái)分?jǐn)?shù)分子為【答案】【例 4】 將1到9這9個(gè)數(shù)字在算式的每一個(gè)括號(hào)內(nèi)各填入一個(gè)數(shù)字，使得算式成立，并且要求所填每一個(gè)括號(hào)內(nèi)數(shù)字均為質(zhì)數(shù)? 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空【解析】 本題中括號(hào)內(nèi)所填的數(shù)字要求為個(gè)位質(zhì)數(shù)，那么只能是2，3，5，7.將原始代入字母分析有，即有，那么很容易發(fā)現(xiàn)只有35-27=1。符合原式的填法為?！敬鸢浮俊纠?5】

5、 求滿足條件的a、b的值(a、b都是四位數(shù)) 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】解答【解析】 取1001的兩個(gè)不同約數(shù)x、，得到：，因?yàn)閤、y都是1001的約數(shù)，所以、都是整數(shù)所以只需令，就可以了而a、b都要大于1001，要保證a、b都是四位數(shù)，所以a、b的比值都要小于10，即x、y的比值小于10而1001的兩個(gè)互質(zhì)且比值小于10的約數(shù)有以下幾組：、所以我們依次取x、y為上面所列的數(shù)對(duì)中的數(shù)，代入a、b的表達(dá)式，得到本題的答案：【答案】【鞏固】 若，其中a、b都是四位數(shù)，且ab，那么滿足上述條件的所有數(shù)對(duì)（a,b）是 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空 【解析】 2004的

6、約數(shù)有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，滿足題意的分拆有：【答案】【例 6】 在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立（1）；（2）【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空【解析】 單位分?jǐn)?shù)的拆分，主要方法是從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)數(shù)和，有： ，從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)和 ()，有：1 本題的約數(shù)有：，10，2，5例如：選1和2，有：；從上面變化的過程可以看出，如果取出的兩組不同的和，它們的數(shù)值雖然不同，但是如果和的比值相同，那么最后得到的和也是相同的本題中，從10的約數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)， 共有種，但是其中比值不同的只有5組：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1

7、，10)；(2，5)，所以本題共可拆分成5組具體的解如下： 10的約數(shù)有1、2、5、10，我們可選2和5： 另外的解讓學(xué)生去嘗試練習(xí)【答案】（1） （2）【例 7】 如果，均為正整數(shù)，則最大是多少？【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】101中學(xué)，分班考試【解析】 從前面的例題我們知道，要將按照如下規(guī)則寫成的形式：，其中和都是的約數(shù)。 如果要讓盡可能地大，實(shí)際上就是讓上面的式子中的盡可能地小而盡可能地大，因此應(yīng)當(dāng) 取最大的約數(shù)，而應(yīng)取最小的約數(shù)，因此，所以.【答案】【鞏固】【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空【解析】【答案】【例 8】 在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)

8、，使等式成立【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空【解析】 先選10的三個(gè)約數(shù)，比如5、2和1，表示成連減式和連加式則：如果選10、5、2，那么有：另外，對(duì)于這類題還有個(gè)方法，就是先將單位分?jǐn)?shù)拆分，拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差，再將其中的一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差，這樣就將原來(lái)的單位分?jǐn)?shù)拆成了3個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差了比如，要得到，根據(jù)前面的拆分隨意選取一組，比如，再選擇其中的一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分，比如，所以【答案】【例 9】 已知等式其中a，b是非零自然數(shù)，求a+b的最大值?！究键c(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第13題【解析】 易知，令（m，n）為互質(zhì)

9、的一對(duì)數(shù)，現(xiàn)在要讓分母為1，只需m，n是15的一對(duì)互質(zhì)的約數(shù)即可。當(dāng)(m，n)=（1，1）時(shí)，此時(shí)，a+b=60；當(dāng)(m，n)=（1，3）時(shí)，此時(shí)，a+b=80；當(dāng)(m，n)=（1，5）時(shí)，此時(shí)，a+b=108；當(dāng)(m，n)=（1，15）時(shí)，此時(shí)，a+b=256；當(dāng)(m，n)=（3，5）時(shí)，此時(shí)，a+b=64；所以，a+b的最大值為256?！敬鸢浮磕K四、分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用【例 10】 ，都是整數(shù)，大于，且,那么的最大值為 ，最小值為 ?！究键c(diǎn)】 【難度】 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽【解析】最大值為最小值為【答案】最大為，最小為【例 11】 寫出所有數(shù)字和為11，數(shù)字乘積為2

10、0的四位偶數(shù)：_【考點(diǎn)】 【難度】 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽【解析】 本題屬于數(shù)字拆分，目的就是講11拆成四個(gè)數(shù)字和，20拆成4個(gè)數(shù)字的乘積，需要確定的是個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)。根據(jù)拆分的特點(diǎn)應(yīng)該從20開始拆分。先將20分解質(zhì)因數(shù)為：，所以各個(gè)數(shù)位數(shù)字乘積為20的數(shù)字有：2、2、5、1；4、5、1、1；數(shù)字和分別為10和11，符合條件的是4、5、1、1這四個(gè)數(shù)字組成的四位偶數(shù)，所以答案為1154、1514、5114這3個(gè)答案?！敬鸢浮?154、1514、5114【例 12】 在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時(shí)，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5看成8，由此得乘積為1872那么原來(lái)的乘積是多少?

11、 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 1872=22223313=口口口口，其中某個(gè)口為8，一一驗(yàn)證只有：1872=4839，1872=7824滿足當(dāng)為1872=4839時(shí)，小馬虎錯(cuò)把5看成8，也就是錯(cuò)把45看成48，所以正確的乘積應(yīng)該是4539=1755當(dāng)為1872=7824時(shí)，小馬虎錯(cuò)把5看成8，也就是錯(cuò)把75看成78，所以正確的乘積應(yīng)該是7524=1800所以原來(lái)的積為1755或1800【答案】1755或1800【例 13】 兩個(gè)學(xué)生抄寫同一個(gè)乘法算式，兩個(gè)乘數(shù)都是兩位數(shù)，他們各抄錯(cuò)了一個(gè)數(shù)字，于是得到兩個(gè)不同的算式，但巧合的是，他們計(jì)算的結(jié)果都是936.如

12、果正確的乘積不能被6整除，那么它等于多少？ 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】4星 【題型】解答【解析】 注意936中有質(zhì)因數(shù)13，故易見將其分解成兩個(gè)兩位數(shù)相乘的形式有，這5種可能，由于兩人各抄錯(cuò)了一個(gè)數(shù)字，因此兩人的算式中應(yīng)有兩個(gè)位置上的數(shù)字相同.經(jīng)枚舉可知，他們所抄錯(cuò)的算式可能是(，)，(，)，(，)或(，).對(duì)于第一種情況，兩人抄錯(cuò)的是第一個(gè)乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字和第二個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字，正確的算式應(yīng)是或，后者乘積是6的倍數(shù)，與題意不符，故原算式應(yīng)為前者，正確的乘法算式是.對(duì)后三種情況作類似分析，可得出種可能的原乘法算式，但它們的結(jié)果都是6的倍數(shù)，不合題意.因此676即為所求.【答案】676

13、【例 14】 在射箭運(yùn)動(dòng)中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”(脫靶)，或者是不超過10的自然數(shù)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少？ 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】4星 【題型】解答【解析】 應(yīng)對(duì)應(yīng)為5個(gè)小于10的自然數(shù)乘積通常我們會(huì)考慮將1764的6個(gè)質(zhì)因數(shù)組合為5個(gè)因數(shù)，從而這5個(gè)因數(shù)一定都是大于1的，于是得到了如下幾種分解情況1764=43377 =26377=22977但是發(fā)現(xiàn)其中任何兩組的和的差均不是4.原因是我們忽略了在題目敘述實(shí)際環(huán)境中還會(huì)有1環(huán)存在，從而要考慮含有因數(shù)1的另外2種情況1784=16

14、677=14977所以總的情況對(duì)應(yīng)的和依次為4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28對(duì)應(yīng)的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭環(huán)數(shù)為4、3、3、7、7，乙的5箭環(huán)數(shù)為1、4、9、7、7所以甲的總環(huán)數(shù)為24，乙的總環(huán)數(shù)為28?！敬鸢浮考椎目偔h(huán)數(shù)為24，乙的總環(huán)數(shù)為28【例 15】 某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元這個(gè)學(xué)校共有35名教師，14個(gè)教學(xué)班各班學(xué)生人數(shù)相同且多于30人不超過45人如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元? 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】解答【解析】

15、這個(gè)學(xué)校最少有35+1430=455名師生，最多有35+1445=665名師生，并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除19951995=35133，在455665之間的約數(shù)只有5133=665，所以師生總數(shù)為665人，則平均每人捐款1995665=3元【答案】3【例 16】 張老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)シN樹，學(xué)生的人數(shù)恰好等分成三組.已知老師和學(xué)生共種樹312棵，老師與學(xué)生每人種的樹一樣多，并且不超過10棵.問：一共有多少學(xué)生？每人種了幾棵樹？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 因?yàn)榭偪脭?shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)乘積，而每個(gè)人種的棵數(shù)又不超過10所以通過枚舉法來(lái)解(注意人數(shù)是減去1后是3的倍數(shù))

16、：，不是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；，是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；共有51個(gè)學(xué)生，每個(gè)人種了6棵樹.【答案】共有51個(gè)學(xué)生，每個(gè)人種了6棵樹【鞏固】 某班同學(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹，學(xué)生恰好平均分成三組，如果老師與學(xué)生每人種樹一樣多，共種了1073棵，那么平均每人種了棵樹？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 因?yàn)榭偪脭?shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)的乘積，所以首先想到的是把1073數(shù)相乘，一個(gè)數(shù)為人數(shù)一個(gè)數(shù)為每人種的棵數(shù)，注意到人數(shù)是減去1是3倍數(shù)，所以人數(shù)是37均每人種了29棵?！敬鸢浮?9【例 17】 幼兒園里給小朋友分蘋果，420個(gè)蘋果

17、正好均分。但今天剛好又新人園一位小朋友，這樣每個(gè)小朋友就要少分2個(gè)蘋果。原來(lái)有 個(gè)小朋友?！究键c(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽，第8題，10分【解析】上式中只有1430=(14+1)(30-2)=1528符合題意，所以原有14個(gè)小朋友?！敬鸢浮俊纠?18】 2006個(gè)彈珠，平均分給若干個(gè)人，正好分完若有1人退出，不參加分球，并且彈珠增加10個(gè)，則每人可以多分8個(gè)原來(lái)有 人 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級(jí)，決賽，第4題，8分【解析】 對(duì)2006進(jìn)行分解質(zhì)因式，得到2006=21759；對(duì)2016進(jìn)行分解質(zhì)因式得到， 2016=，發(fā)現(xiàn)只有16到17相差1人。經(jīng)驗(yàn)證符合條件，所以原來(lái)有17人。【答