有趣的追及問題

1、有趣的追及問題數學廣角同學們，龜兔賽跑的故事一定聽說過吧，實際上龜兔賽跑是 行程問題中的另一種情況，它是一種同向行程問題，我們把它叫 做追及問題。兩個運動物體同向前進，有一個運動物體速度較快，另一個 運動物體速度較慢。如果慢的走在前，快的就能追上慢的，這就 產生了追及問題。 求追及時間的關系式是： 追及時間 =追及距離 速度差。智慧密碼例 1 小明步行上學，每分行 75 米，小明離家 12 分后，爸爸發(fā)現(xiàn) 小明忘帶了書包騎自行車去追，每分行 375 米，爸爸出發(fā)多少分 后能追上小明分析畫出線段圖小明上學離家走了 12 分后，他爸爸才去追，由于爸爸速度比較 快，最后一定會追上小明。算術方法：從圖

2、中，可以看出，當爸爸出發(fā)時，小明已經行了 7512900 米，這實際上就是爸爸追小明的路程即路程差，而每經過1分，爸爸要追上小明 37575300 米，這實際上就是速度差， 因此爸爸要追上小明，只要看這 900 米里包含有幾個 300 米，就 是爸爸追上小明需要幾分。解爸爸出發(fā)距小明的米數 7512900（米） 爸爸每分鐘比小明多行的米數 375 75300（米） 爸爸出發(fā)后追上小明的時間 9003003（分） 追及問題的基本關系式：路程差速度差 追及時間 速度差路程差 追及時間 追及時間路程差 速度差 方程方法 ：用方程思想來解決這一類問題，關鍵之處是要找到等 量關系，觀察線段圖即可發(fā)現(xiàn)在爸

3、爸追上小明的時刻，小明和爸 爸所行的路程相等。解：設爸爸 x 分鐘可以追上小明。7512 + 75x = 375x375x 75x = 900300x = 900X = 3答：爸爸 3 分鐘可以追上小明。多長時間追上環(huán)行路上的行程問題，有著它獨特的方面，由 于環(huán)行的道路是封閉的，因此，環(huán)行路上的運動，計算行程時， 通常與環(huán)行道路的周長有關。例 2 在 400 米的環(huán)行跑道上， A、B兩點相距 100 米，甲、乙兩 人分別從 A、B 兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，他們每人跑 100 米，都要停 10 秒鐘。求甲 追上乙需要多少秒分析： 這道題初看時，由于他們

4、每人跑 100 米，都要停 10 秒鐘。似乎不太好解決。但如果將二人看成不停的跑，就很容易 算出甲追上乙的時間，這時再考慮在這期間所停留的時間，問題 的解決就比較簡單了。解答： 如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需： 100（ 5 4）=100（秒），甲在 100 秒中共跑： 5100=500（米），而甲在 跑 100 米、 200 米、 300 米、 400 米時共停留了 4 次，到了 500 米處恰好追上乙。不必計算停留的時間。所以，甲追上乙所需的 時間是： 100410=140（秒）說明：甲跑到 500米處時，正好是乙跑完 400 米，并且休息 完 10 秒時。當甲跑到時，乙恰好要出發(fā)，他

5、們兩個在這一瞬間 正好相遇。例 3 如圖， A、B 是圓直徑的兩個端點，小華在點 A，小明 在點 B，他們同時出發(fā)，反向而行。他們在 C 點第一次相遇， C 點離 A點 100米；在 D點第二次相遇， D點離 B點 80米。求這 個圓的周長分析： 第一次相遇，兩人合起來走了半圈，第二次相遇，兩 人合起來走了一圈，因此，從開始出發(fā)到第二次相遇，兩人合起 來走了一圈半。也就是說，第二次相遇時兩人合起來走的路程是 第一次相遇時合起來所走路程的 3 倍，因此，不難看出 AD 的距 離是 AC距離的 3 倍，所以再求圓周的長度就比較簡單了。解答：因為 AC=100米，AD的長度是 AC長度的 3 倍。A

6、D=AC 3=1003=300（米）半個圓的周長： 30080=220（米） 整個圓的周長： 2202=440（米） 說明：這道題還可以從另一個角度進行考慮。由于 C到 D兩 人共走了一個圓周，由 A、B到 C兩人共走了半個圓周，所以， CD的長度是 AC長度的 2 倍。因此，同樣可以判斷出 AD 的距離 是 AC 距離的 3 倍。例 4 如圖，沿邊長為 90 米的正方形，按逆時針的方向，甲 從 A出發(fā)，每分鐘走 65 米，乙從 B出發(fā)，每分鐘走 72 米，當乙 第一次追上甲時是在正方形的哪一條邊上分析：這是一道環(huán)行追及問題， 這類問題可以先看成 “直線” 的追及問題，求出乙追上甲所用的時間，

7、再回到環(huán)行路上的追及 問題，根據乙這段時間所走的路程，推算出應在正方形的哪一條 邊上。解答： 先求追上甲時乙所用的時間：270903（ 7265）= 7 （分） 再求這段時間乙所走的路程：270 1277772 7 =7 （米）由于，正方形每邊長 90 米，因此：112777 777 =（472） 90 777 這樣不難看出，乙走的比 7 圈零兩條邊還多 7 米，所以， 當乙第一次追上甲時，甲和乙應在正方形的 AD 邊上。說明：如何將直線上的追及問題， 與環(huán)行道路的特點相結合， 是這道題得以解決的關鍵。 牛刀小試 1、一輛面包車的速度是每小時 60千米，在面包車開出 30 分鐘 后，一輛小轎車

8、以每小時 84 千米的速度從同一地點出發(fā)沿著 同一行駛路線去追趕面包車，多少時間后追上2、姐姐步行的速度是每分鐘 75 米，妹妹步行的速度是每分鐘65 米，在妹妹先出發(fā) 20分鐘后姐姐去追趕妹妹， 問姐姐多少 分鐘后追上妹妹這時離出發(fā)地多少米3、實驗小學組織學生排隊步行去郊游，步行速度是每秒 1 米， 排頭的王老師以每秒米的速度趕到排尾，然后立即返回排頭，共 用 10 分鐘，求隊伍的長度。4、兄妹兩人同時從家出發(fā)去 1080 米遠的學校上學，哥哥騎車每 分鐘走 360 米，妹妹步行每分鐘走 60 米，哥哥到校門口時，發(fā) 現(xiàn)忘帶課本，立即原路返回，問哥哥再次由家出發(fā)在離學校多遠 處追上妹妹5、有

9、甲、乙、丙三輛汽車，各以一定的速度從 A 地開往 B 地。 乙比丙晚出發(fā) 10 分鐘，經 40 分鐘追上丙；甲比乙晚出發(fā) 20 分 鐘，經 50 分鐘追上乙，那么甲出發(fā)后多長時間追上丙 俱樂部陳景潤不愛玩公園，不愛逛馬路，就愛學習。學習起來，常 常忘記了吃飯睡覺。有一天，陳景潤吃中飯的時候，摸摸腦袋，哎呀，頭發(fā) 太長了，應該快去理一理，要不，人家看見了，還當他是個姑娘 呢。于是，他放下飯碗，就跑到理發(fā)店去了。理發(fā)店里人很多，大家挨著次序理發(fā)。陳景潤拿的牌子 是三十八號的小牌子。他想：輪到我還早著哩。時間是多么寶貴 啊，我可不能白白浪費掉。他趕忙走出理發(fā)店，找了個安靜的地 方坐下來，然后從口袋里掏出個小本子，背起外文生字來。他背 了一會，忽然想起上午讀外文的時候，有個地方沒看懂。不懂的 東西，一定要把它弄懂，這是陳景潤的脾氣。他看了看手表，才 十二點半。他想：先到圖書館去查一查，再回來理發(fā)還來得及， 站起來就走了。誰知道，他走了不多久，就輪到他理發(fā)了。理發(fā) 員叔叔大聲地叫： “三十八號！誰是三十八號快來理發(fā)！ ”你想想， 陳景潤正在圖書館里看書，他能聽見理發(fā)員叔叔喊三十八號嗎