絕對值三角不等式

1、1.4 絕對值三角不等式 教案 1 （新人教選修 4-5）教學(xué)目標(biāo)：1：了解絕對值三角不等式的含義， 理解絕對值三角不等式公式及推導(dǎo)方法， 會進行簡 單的應(yīng)用。2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué) 思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。教學(xué)重點： 絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。教學(xué)難點： 絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。教學(xué)過程 ： 一、復(fù)習(xí)引入：關(guān)于含有絕對值的不等式的問題， 主要包括兩類： 一類是解不等式， 另一類是證明不等 式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。1請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。x，如果 x

2、0x0，如果 x 0 。x，如果 x 0幾何意義：在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。2證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：1） a a ，當(dāng)且僅當(dāng) a 0時等號成立， aa.當(dāng)且僅當(dāng) a 0時等號成立。2） aa2 ， （ 3）bab，aabb4）(b 0)那么 a b a b ? a二、講解新課：結(jié)論：a b a b （當(dāng)且僅當(dāng) ab 0時，等號成立 .）探究:a,b,a b , a b之間的什么關(guān)系 ?已知a,b是實數(shù)，試證明： a b a b （當(dāng)且僅當(dāng) ab 0時，等號成立 .）方法一

3、：證明 :10 .當(dāng) ab0 時,20. 當(dāng) ab0 時 ,ab |ab|,|a b| (a b)2a2 2ab b2|a |2 2| ab| |b|2|a |2 2|a |b | |b|2(|a | |b|)2|a | |b|ab |ab|,|a b| (a b)2 a2 2ab b2|a|2 2|a|b| |b|2 (|a| |b|)2|a| |b|綜合 10, 20知定理成立 .b (當(dāng)且僅當(dāng) ab 0 時，等號成立 .)方法二：分析法，兩邊平方(略)定理 1 如果 a,b是實數(shù)，則 a b a如果 a,b 是實數(shù)，則 a b a b a b注：當(dāng) a,b 為復(fù)數(shù)或向量時結(jié)論也成立推論

4、1： a1 a2an a1 a2an推論 2：如果 a、b、c是實數(shù) ,那么 a c a b b c ,當(dāng)且僅當(dāng) (a b)(b c) 0 時, 等號成立 .思考： 如何利用數(shù)軸給出推論 2 的幾何解釋？(設(shè) A，B，C為數(shù)軸上的 3 個點，分別表示數(shù) a，b，c，則線段 AB AC CB.當(dāng)且 僅當(dāng)C在A，B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取 c0(即 C為原點)，就得到例 2 的后半部分。 )三、典型例題例 1 、已知x a c, y b c ，求證 (x y) (a b) c.證明 (x y) (a b) (x a) (y b) x a y bx a 2c, y b c2x

5、a y b c c c221)2)由( 1)，( 2)得： (x y) (a b) c證明2x 3y 2x 3y由例 1 及上式，aa。2注意 ：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用2例 2、已知 x a4, y a . 求證： 2x 3y a 。于不等號方向相同的不等式。例 3 兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工, 這兩個地點分別位于公路路碑的第 10公里和第 20 公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處 ?解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第 x km 處，兩施工隊每天往返的路程之和為 S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)10 x 20四、課堂練習(xí)1.(課本 P20 習(xí)題 1.2 第 1 題 )求證: a b a b2a ;a b a b2b2. (課本 P19習(xí)題 1.2 第 3題)求證: x a x b a b ; x a x b a b3( 1)、已知 A ac2, B b c2.求證：(A B) (a b) c 。2)、已知 x a c , y b c.求證： 2x 3y 2a 3b c。46五、課堂小結(jié)1實數(shù) a 的絕對值的