中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)--知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、I-1 一兀一次方程 L|_元二次麗整武方崔一不等式的定義T不等式的解集數(shù)軸表示法|中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)一知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1 會(huì)從定義上判斷方程（組）的類型，并能根據(jù)定義的雙重性解方程（組）和研究分式方程的增根情況；2 掌握解方程（組）的方法，明確解方程組的實(shí)質(zhì)是“消元降次”、“化分式方程為整式方程”、“化無理式為有理式”；3 理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式（組）的解法，在數(shù)軸上表示解集，以及求特殊解集；4 列方程（組）、列不等式（組）解決社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題；5. 解方程或不等式是中考的必考點(diǎn)，運(yùn)用方程思想與不等式（組）解決實(shí)際問題是中考的難點(diǎn)和熱點(diǎn).【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】消兀

2、解不等式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元一次方程1. 方程含有未知數(shù)的等式叫做方程.2. 方程的解能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解3. 等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式(2) 等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能是零)，所得結(jié)果仍是等式4. 一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax b二0( x為未知數(shù)，a = 0)叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng).5. 一元一次方程解法的一般步驟整理方程 一一 去分母一一 去括號(hào)一一 移項(xiàng)一一 合并同類項(xiàng)一一系數(shù)化為1 (檢

3、驗(yàn)方程的解).6. 列一元一次方程解應(yīng)用題讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題”仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的 關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程 (2)畫圖分析法：多用于“行程問題”利用圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細(xì)讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使圖 形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利 用量與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看作已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ)要點(diǎn)詮釋：列方程解應(yīng)

4、用題的常用公式:行程問題：距離=速度X時(shí)間(2)工程問題：工作量=工效X工時(shí) 比率問題：部分=全體X比率速度工效順逆流問題:距離時(shí)間工作量工時(shí)部分全體順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度時(shí)間二譽(yù)速度工時(shí)=工作量工效全體部分比率=靜水速度-水流速度;商品價(jià)格問題：售價(jià)=定價(jià)折丄，利潤(rùn)=售價(jià)-成本，禾U潤(rùn)率=售價(jià)Z成本100% ；10成本 周長(zhǎng)、面積、體積問題：C圓=2 n R, S圓=n R， C長(zhǎng)方形=2(a+b) ， S長(zhǎng)方形=ab， C正方形=4a，22 23212S正方形=a， S環(huán)形=n長(zhǎng)方體=abh， V正方體=a， V圓柱=n Rh ， V圓錐=一 n Rh.3考點(diǎn)二、一兀二次方

5、程1. 一元二次方程含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程2. 一元二次方程的一般形式ax2 bx c = 0(a = 0)，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)3. 一元二次方程的解法(1) 直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法直接開平方法適用于解形如(x a/二b的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當(dāng) b 一 0時(shí)，x a -二、b， x - -a二、b，當(dāng)b”“w”“”“工”表示不等

6、關(guān)系的式子，叫做不等式【典型例題】類型一、方程的綜合運(yùn)用y = ax b,y = kx01 .如圖所示，已知函數(shù)y = ax+b和y= kx的圖象交于點(diǎn)P,則根據(jù)圖象可得，關(guān)于【思路點(diǎn)撥】?jī)蓤D象的交點(diǎn)就是方程組的解【答案】x _ y = 2【解析】由圖象可知y= ax+b與y= kx的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,-2）,v = ax 十 bx = 4所以二元一次方程組的解為V = kxv = _2.【總結(jié)升華】 方程組與函數(shù)圖象結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這也是中考所考知識(shí)點(diǎn)的綜合與相互滲透， 平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面的練習(xí)與思考.舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程x2 ：im 1 x m 3 =

7、 0 .(1) 求證：不論 m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2) 若直線討二m -1 x 3與函數(shù)y =x2 m的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求關(guān)于x的一元2 .二次方程 x：im -1 x m - 3 = 0 的解.【答案】(1)證明：厶-L m -1 I2 一4 m -3二 m2 -2m 1-4m 12 二 m2 -6m 13二 m -3 $4不論m取何值時(shí)，m -3 2 _ 0(m 3 丫 +4 a0，即也 0不論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)將 x = 2 代入方程 x2 - m -1 x，m-3 = 0 ,得m = 3再將m = 3代入，原方程化為x2 -2

8、x = 0 ,解得 x1 = 0, x2 = 2 .2 .已知：關(guān)于x的一元一次方程 kx=x+2的根為正實(shí)數(shù)，二次函數(shù) y=ax2- bx+kc (c豐0)的圖象 與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1.(1 )若方程的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；(2 )求代數(shù)式凹匚辿的值；akc(3) 求證：關(guān)于x的一元二次方程 ax2-bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 .【思路點(diǎn)撥】(1) 根據(jù)一元一次方程及根的條件，求k的值；(2) 把交點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求出值；(3) 根據(jù)根的判別式和一元一次方程的根為正實(shí)數(shù)得出x有兩不相等的實(shí)數(shù)根.【答案與解析】(1)解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2. 依

9、題意k-1豐0.2 x.k -1/方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù)， k-1=1 或 k-仁2.ki= 2, k2=3.(2) 解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1, 0), 0 =a-b+kc, kc = b-a . (kc)2b2+ab(b a)2b2+abb22ab+a2b2+ab _ a2 _ab2 _ 2 - 一1.akca(ba)ab _aab_a(3) 證明：方程的判別式為 _(-b) 2-4ac_ b 2-4ac.由 aM 0, c 豐 0,得 acM 0.(i ) 若ac0.故 _b2-4ac0.此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 根.(ii ) 證法一：若 ac0,

10、由知 a-b+kc _0, 故 b_a+kc.2 2 2 2 2 2 _b -4ac_ (a+kc) -4ac_a +2kac+(kc) -4ac _ a -2kac+(kc) +4kac-4ac2_(a-kc)+4ac(k-1).方程kx_x+2的根為正實(shí)數(shù)，方程(k-1) x_2的根為正實(shí)數(shù).由 x0, 20,得 k-10. 4ac(k-1)0. (a-kc) 2_0, _(a-kc) 2+4ac(k-1)0.此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根證法二:若ac0,2T 拋物線y_ax -bx+kc與x軸有交點(diǎn)，2 2 1_(-b) -4akc _b -4akc _0.2 2(b -4ac)-( b

11、 -4akc)_4ac(k-1).由證法一知k-10,2 2 b -4ac b -4akc _0.2 _ b -4ac0.此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根綜上，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【總結(jié)升華】方程與函數(shù)綜合題.中考所考知識(shí)點(diǎn)的綜合與相互滲透.舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程x2 2(m 1)x m(m 2) =0.(1 )若x_- 2是這個(gè)方程的一個(gè)根，求m的值和方程的另一個(gè)根；(2)求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【答案】(1)解：把 x_ 2代入方程，得 4 -2(m -1) (-2) -m(m 20 ,2即 m -2m=0.解得 m =0 , m2 2.當(dāng)m

12、 =0時(shí)，原方程為x2 20 ,則方程的另一個(gè)根為x = 0當(dāng)m=2時(shí)，原方程為x2-2x8=0 ,則方程的另一個(gè)根為x = 4(2)證明：L 2(m -1) 2 -4 L m(m 2)丨-8m2 4 ,對(duì)于任意實(shí)數(shù) m, m2_0 ,/. 8m2 4 0 .對(duì)于任意實(shí)數(shù) m，這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.并將解集在數(shù)軸上表示出來.類型二、解不等式(組)3(x 1) 5x 4,3 解不等式組 x _1 2xJ 蘭3【思路點(diǎn)撥】此題考查一元一次不等式組的解法，解出不等式組中的每個(gè)不等式，根據(jù)不等式組解的四種情況，看看屬于哪種情況.【答案與解析】1解不等式得：x ： -1.2解不等式得：x -1

13、 .1所以不等式組的解集為-1 0 【變式】解不等式組 5x 12X_1并把解集在數(shù)軸上表示出來.23-5 -4-3 -2 -1012345【答案】解不等式，得X 2 .解不等式，得X -1 .所以，不等式組的解集是-K x ： 2 .不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖：-5 -4 -3 -2 -1012 34 5類型二、方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用4 如果關(guān)于x的方程的解也是不等式組x -41 -xx _ 222，的一個(gè)解,2(x -3) _ x -8求m的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】解方程求出x的值（是用含有 m的式子表示的），再解不等式組求出 x的取值范圍，最后方程的解 與不等式組的解結(jié)合起

14、來求m的取值范圍.【答案與解析】解方程 1 = fm ，得 x= -m-2 .2x x -4i i 2因?yàn)?x-4 = m（m 4）,所以m -4且m 0時(shí)，有x2 -4廠0 .所以方程1-的解為x = -m-2 .2x x -4其中m -4且m 0.1 -x解不等式組 2 得xw -2 .2（x -3）乞 x -8,由題意，得-m-2 w -2，解得0.所以m的取值范圍是m0.【總結(jié)升華】方程與不等式的綜合題，是中考考查的重點(diǎn)之一.舉一反三:【高清課程名稱：方程與不等式綜合復(fù)習(xí) 關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1】高清ID號(hào)：405277x-+a 2【變式】如果不等式組2的解集是2x -b

15、：3集是0 w x 1，那么a - b的值為b +3【答案】解不等式組得：4-2 a乞xv-,2因?yàn)椴坏仁浇M 22x-b ：34-2 a = 0的解集是0 w x 1，所以 b 3解得a = 2所以lb = 1a b =1.1.2某采摘農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植 A、B兩種草莓共6畝，根據(jù)表格信息，解答下列問題:項(xiàng)目品種AB年畝產(chǎn)(單位：千克)12002000采摘價(jià)格(單位：元/千克)6040(1) 若該農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入為460000元，那么A、B兩種草莓各種多少畝？(2) 若要求種植 A種草莓的畝數(shù)不少于種植B種草莓的一半，那么種植A種草莓多少畝時(shí)，可使該農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入最多？

16、【思路點(diǎn)撥】(1) 根據(jù)等量關(guān)系：總收入 =A地的畝數(shù)X年畝產(chǎn)量x采摘價(jià)格+B地的畝數(shù)X年畝產(chǎn)量x采摘價(jià)格， 列方程求解；(2) 這是一道只有一個(gè)函數(shù)關(guān)系式的求最值問題，根據(jù)題意確定自變量的取值范圍，由函數(shù)y隨x 的變化求出最大利潤(rùn).【答案與解析】設(shè)該農(nóng)場(chǎng)種植 A種草莓x畝，B種草莓(6 - x)畝依題意，得：60 1200x 40 2000(6 -x) =460000解得：x=2.5 , 6-x=3.51(2)由 x _ (6 - x)，解得 x _ 22設(shè)農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的收入為y元，則：y =60 1200x 40 2000(6 -x) = -8000x 480000當(dāng)x =2時(shí)，

17、y有最大值為464000答：(l)A種草莓種植2.5畝,B種草莓種植3.5畝.(2) 若種植A種草莓的畝數(shù)不少于種植B種草莓的一半，那么種植A種草莓2畝時(shí)，可使農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入最多.【總結(jié)升華】本題考查的是用一次函數(shù)解決實(shí)際問題，此類題是近年中考中的熱點(diǎn)問題注意利用一次函數(shù)求 最值時(shí)，關(guān)鍵是應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)；即由函數(shù)y隨x的變化，結(jié)合自變量的取值范圍確定最值.舉一反三：【變式】某運(yùn)輸公司用10輛相同的汽車將一批蘋果運(yùn)到外地，每輛汽車能裝8噸甲種蘋果，或10噸乙種蘋果，或 11噸丙種蘋果公司規(guī)定每輛車只能裝同一種蘋果，而且必須滿載已知公司運(yùn)送了甲、乙、丙三種蘋果共100噸，且每種

18、蘋果不少于一車.(1) 設(shè)用 x輛車裝甲種蘋果，y輛車裝乙種蘋果，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2) 若運(yùn)送三種蘋果所獲利潤(rùn)的情況如下表所示：蘋果品種甲乙丙每噸蘋果所獲利潤(rùn)(萬元)0.220.210.2設(shè)此次運(yùn)輸?shù)睦麧?rùn)為W (萬元)，問：如何安排車輛分配方案才能使運(yùn)輸利潤(rùn)W最大，并求出最大利潤(rùn).【答案】(1 )T 8x 10y 11(10_x _y) =100 , y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y = _3x10./ y 1，解得 xw 3. x 1, 10_x_y 1，且 x是正整數(shù)，自變量x的取值范圍是x =1或x =2或x =3 .(2) W =8x 0.22 10y 0.21 11(10_x _y) 0.2 = _0.14x 21.因?yàn)閃隨x的增大而減小，所以 x取1時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)W =20.86 (萬元).獲得最大運(yùn)輸利潤(rùn)的方案為：