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1、第四章習(xí)題解答【4.1】如題4.1圖所示為一長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體槽,槽可視為無限長(zhǎng),其上有一塊與槽相絕緣的蓋板,槽的電位為零,上邊蓋板的電位為U 0,求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解根據(jù)題意,電位(x, y)滿足的邊界條件為(0, y) (a,y)0 :(x,0)0 ;(x,b) U0根據(jù)條件和,電位(x, y)的通解應(yīng)取為(x,y)題4.1Ansinh(n y )sin( nn 1ax)由條件,有a兩邊同乘以n xsin( ),并從o到a對(duì)x積分,a故得到槽內(nèi)的電位分布(x,y) 型得到Anasin(- asinh( n b a) 0n ysinhf )sin(ay d到y(tǒng)2U0n x)dx an 1,3,
2、5L nsinh(n b a)4.2兩平行無限大導(dǎo)體平面,距離為b,其間有一極薄的導(dǎo)體片由n X)ab(解應(yīng)用疊加原上板和薄片保持電位U。,下板保持零電位,求板間電位的解。設(shè)在薄片平面上,從y 0到y(tǒng) d,電位線性變化,(0, y) Uy.;d理,設(shè)板間的電位為存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間(電壓為U。)的電位,即1(x, y) U0y b ;2(x, y)是兩個(gè)電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)界條件為:2(x,0)2(x,b)02(x, y) 0 (x )2(0, y)(0, y)1(0, y)2(x, y)A, sin(U)en 1bu。yU0*yU 0肓y;由條件有(0 yd)可設(shè) 2(x,y
3、)的通解為(d yb)y)U0UdUbyU0石y(0(dy d)y b)n ysin( ),并從o到b對(duì)y積分,得到 b(x y) U0 2bU01 n d(x,y) -y202sin(bd n 1 n4.4如題4.4圖所示的導(dǎo)體槽,底面保持電位解根據(jù)題意,兩邊同乘以故得到n vix)sin( y)e bbbU0,其余兩面電位為零,求槽內(nèi)的電位的解。電位 (x,y)滿足的邊界條件為題4.4圖(0,y)(a,y) 0(x,y)0(y)(x,0) U0,電位 (x, y)的通解應(yīng)取為(X, y)Ane n y asi門(丄);由條件,有n 1an x兩邊同乘以sin( ),并從o到a對(duì)x積分,得到
4、 AaU0Ansi n(U)n 1aa J xsin( )dx0 a2U。型(1 cos n )n4U 0n0,n 1,3,5,n 2, 4, 6,L【4.5】一長(zhǎng)、寬、高分別為 a、y(y;故得到 (X, y)4U。n 1,3,5,L ny an Xsi n()b、c的長(zhǎng)方體表面保持零電位,體積內(nèi)填充密度為b)s in( X)s in(c的電荷。求體積內(nèi)的電位解在體積內(nèi),電位滿足泊松方程長(zhǎng)方體表面S上,電位滿足邊界條件(x, y, z)由此可得Amnp0 (m1);由式(2),得2Am1( )a()2cy0。由此設(shè)電位1y(y0的通解為m xAmnp Sin()si n(aAn1【( )2a
5、by( y b)sin(八zb)sin()si n( ) cp z)sin(),代入泊松方程c(嚴(yán)嚀)y(yn y 4 b 3Ldy b(n-) (cosn(1)(1),可得b)(2)1)8b2(ny0n T ; 故n 2,4,6 ,L(X, y, z)8b2-50 n【4.6】如題4.6圖所示的一對(duì)無限大接地平行導(dǎo)體板,板間有一與解 由于在(0, d)處有一與Z軸平行的線電荷11 1 sin( )si n(1 3 5 l 3#12#n、2#12=a1,3,5丄 n ()()( ) a b cz-)cz軸平行的線電荷ql,其位置為(0,d)。求板間的電位函數(shù)。ql,以x 0為界將場(chǎng)空間分割為
6、x 0和x 0兩個(gè)區(qū)域,則這兩個(gè)區(qū)域中的電位1(x, y)和2(x,y)都滿足拉普拉斯方程。而在x 0的分界面上,可利用函數(shù)將線電荷ql表示成電荷面密度(y) qi (y y。)。電位的邊界條件為_L111Lr由條件和,可 由條件,有工題4.6圖1(x,0) =1(x,a)0 ,2(X,0) =2(x, a) 01(x, y)0 (x)2(x, y)0(X)1(0, y)2(0, y),(-Tx 02 (y d)XX0設(shè)電位函數(shù)的通解為An sin(n 1n yBn sin()n 1由式(1),可得 ABn代 J sin(3) n 1 a aBn Jn)a ad)(2)(3);將式(2)兩邊同
7、乘以sin( -),并從0到a對(duì)y積分,有由式(3)4.7數(shù)。AnBnn和(4)解得1 (x, y)2qi(y d)sin( )dy竺 sin(口an 0 a!sin(n-d)e n xasin(U)1 n aa0 n如題4.7圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零,槽中有一與槽平行的線電荷由于在(x0, y0)處有一與z軸平行的線電荷qi,以xX)和x0x a兩個(gè)區(qū)域,則這兩個(gè)區(qū)域中的電位函數(shù)將線電荷X0(X 0)ql。求槽內(nèi)的電位函方程。而在x x0的分界面上, 電位的邊界條件為1(0, y)=0,2(a,y)可利用1(x, y)和2(x, y)都滿足拉普拉斯 qi表示成電荷面密度(y) q (y
8、yo),為界將場(chǎng)空間分割為題4.7圖1(x,o)=1(x,b) o ,2(x,o)= 2(x,b) o2x 由條件和,可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件,有1(xo,y)2(x0, y)(X Xo(y yo)0n yAn sin()sinh(bn XoBnsin(n y)sinh nb(a Xo)(1)n n yAnsin( )cosh(n 1bbXo)n nBn si n(一 bn)coshb (aXo)Sy0yo)(2)由式(1),可得 a sinh(匚勺)Bnsinhbb將式(2)兩邊同乘以sin(m_y),并從0到b對(duì)y積分,有b(aXo)o(3)n x0An cosh(-b由式(3)和(4
9、)解得n)Bn cosh-(ab2qi(yn yyo)sin()dyn yo二 sinP )(4)1(x, y)2qi2(x, y)0 n2q,n sinh(a nsinh(n a b) b1Xo)sin(亍)sinh(n冷晉),(0Xo)n Xo、.sinh()nsinh(n a b) b b by0和y0 y b兩個(gè)區(qū)域,則可類似地得到0 eXE0中垂直于電場(chǎng)方向放置一根無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱,圓柱的半徑為sin(n y0 nn y0)sinh(a x)sin(),b(Xox a)若以yy0為界將場(chǎng)空間分割為0 y*4.8如題4.8圖所示,在均勻電場(chǎng) E 位 和電場(chǎng)e以及導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度解
10、在外電場(chǎng)Eo作用下,導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷,圓柱外的電位是外電場(chǎng)Eo的電位 0與感應(yīng)電荷的電位柱為無限長(zhǎng),所以電位與變量z無關(guān)。在圓柱面坐標(biāo)系中,外電場(chǎng)的電位為 0( r, ) Eox CEor cos參考點(diǎn)確定),而感應(yīng)電荷的電位in(r,)應(yīng)與足的邊界條件為a。求導(dǎo)體圓柱外的電in的疊加。由于導(dǎo)體圓 C (常數(shù)C的值由 o(r,) 一樣按cos變化,而且在無限遠(yuǎn)處為 o。由于導(dǎo)體是等位體,所以(r,)滿(a,)C(r,)Eor cosC (r)由此可設(shè)(r,)Eor cosA 1Ar cosC由條件,有Eoa cosA1a1 cos CC2于是得到A a E0,故圓柱外的電位為若選擇導(dǎo)體圓柱
11、表面為電位參考點(diǎn),即導(dǎo)體圓柱外的電場(chǎng)則為(r,)(a, )0,則 C2 1a r ) E0 cos C導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為(r,)0 r*4.11如題4.11圖所示,一無限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱的半徑為 計(jì)算空間各部分的電位。解0 E0 cosa、介電常數(shù)為,在距離軸線r0(r0a)處,有一與圓柱平行的線電荷 q,p(r,在線電荷q作用下,介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化,介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位即 (r, ) i(r,)p(r.(r,)均為線電荷 q的電位l (r,)與極化電荷的電位 )InRqli (r,In、r2r2 2rr0 cos0而極化電荷的電位2(1)題4.11圖p(r,)滿足拉普拉斯方程,(r,)滿足的邊
12、界條件為分別為1(0,)為有限值; r a時(shí),1將式(1)(3)帶入條件,且是 的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位1(r,帶入式2(r,i(r,)(r由條件和可知,1(r,1(r,)2(r,可得到r0時(shí),將In R展開為級(jí)數(shù),有In(5),得n(An nan 1Bn onar2(r,l(r,)i(r,nA a cosn(An 1n 1naB,In ro)cos n由式(4)和(7),有AnanBn a n由此解得Aqi (0)A1n0) nr。Bnqi(20(討論:其中R1(r,2(r,0r)的通解為nar(0)qi2 002na0)0) nrn八 nAnr cos n1(0a)(2)BnnBnr
13、cosn1na cos n)cos n ()n 1 cos n1 r(a(3)InR(5)(6)(7)故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為芫1n2戀乩述qi(0)2 0(0)-In、r220r02 2rr0 cosqi(0)20(0) n一(一)ncos n r。2/a n()cosn rr(8)利用式(6),可將式(8)和(9)中得第二項(xiàng)分別寫成為r2 (a2 r0)2 2r(a2 r0)cos 。因此可將 1(r,)和2(r,)分別寫成為由所得結(jié)果可知,介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于(ro,o)的線電荷qi的電位相同,而介質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)2生,它們分別為:位于(r0, o)的線電荷ql
14、;位于(,0)的線電荷 ql ;位于r0的線電荷 ql。r00 0*4.13在均勻外電場(chǎng) E0ezE0中放入半徑為a的導(dǎo)體球,設(shè)(1)導(dǎo)體充電至u0 ; (2)導(dǎo)體上充有電荷 Q。試分別計(jì)算兩種情況下球外的電位分布。解 (1 )這里導(dǎo)體充電至U0應(yīng)理解為未加外電場(chǎng)E0時(shí)導(dǎo)體球相對(duì)于無限遠(yuǎn)處的電位為U0,此時(shí)導(dǎo)體球面上的電荷密度0U . a,總電荷q 4變化,但總電荷q仍保持不變,導(dǎo)體球仍為等位體。 設(shè)億) 產(chǎn)生的電位。0(r,)電位(r,時(shí),0aU 0。將導(dǎo)體球放入均勻外電場(chǎng) E0中后,在in (r,),其中 0(r, ) E0ZErcos)滿足的邊界條件為(r,)E0r cos : r a
15、時(shí), (a,(r,(r,)E0r cos 2A1r cos即1若使C0U 0,可得到(r,)E0r cos(2)導(dǎo)體上充電荷Q時(shí),令Q4 aU利用(1)的結(jié)果,得到(r,)E0r cos其中c為常數(shù),若適當(dāng)選擇0E0的作用下,產(chǎn)生感應(yīng)電荷,使球面上的電荷密度發(fā)生是均勻外電場(chǎng)E0的電位,in(r,)是導(dǎo)體球上的電荷C0,0? dSS r)的參考點(diǎn),可使C U。由條件,可設(shè)C1代入條件,可得到A1321a E0r cos aU 0ra3E0r 2 cos0aQ4 ra3E。,B1 aU 0 ,C1 C0 U 0E為外加電場(chǎng)E。與極化電荷的電場(chǎng) E p的疊加。設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為1(r,)和2(
16、r,),則邊界條件為時(shí),2(r,)Ercos :r 0時(shí),1(r,)為有限值; r a時(shí),1(a,)2(a, ),01rE0r cosArc2ros ,2(r,)E0r cos典2A?r cos帶入條件,有A1aA2 a,0E00A1E02 a3A2由此解得 A0 E0,A20 a3E02020所以1(r,)空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)為-E0r cos04.14如題4.14圖所示,無限大的介質(zhì)中外加均勻電場(chǎng)E0 eZE0,在介質(zhì)中有一個(gè)半徑為 a的球形空腔。求空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)e和空腔表面的極化電荷密度(介質(zhì)的介電常數(shù)為)。解 在電場(chǎng)E。的作用下,介質(zhì)產(chǎn)生極化,空腔表面形成極化電荷,空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)3E1
17、 1(r, ) E020E22(r)E0 嚴(yán)仔)362述e sin 空腔表面的極化電荷面密度為4.17 一個(gè)半徑為R的介質(zhì)球帶有均勻極化強(qiáng)度P(1)證明:球內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的,等于(2)證明:球外的電場(chǎng)與一個(gè)位于球心的偶極子P 產(chǎn)生的電場(chǎng)相同,4 R33解(i)當(dāng)介質(zhì)極化后,在介質(zhì)中會(huì)形成極化電荷分布,本題中所求的電場(chǎng)即為極化電 是均勻極化,介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷,僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度,球內(nèi)、外的 程,可用分離變量法求解。建立如題4.17圖所示的坐標(biāo)系,則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為 介質(zhì)球內(nèi)、外的電位1和2滿足的邊界條件為 1(0,)為有限值;2(r, )0(ri(R,)2(R,
18、) ; 0(-r2) r R Pcos因此,可設(shè)球內(nèi)、外電位的通解為1 (r, ) Arcos2(r, ) $cosr荷所產(chǎn)生的場(chǎng)。由于 電位滿足拉普拉斯方由條件,有ARBi2B1解得R2P0 (A歹)R-PR3于是得到球內(nèi)的電位Bi1(r,3 0Pr cos故球內(nèi)的電場(chǎng)為E1(2)介質(zhì)球外的電位為2“)3PR32 cos02ordPcos20COS其中4 R為介質(zhì)球的體積3。故介質(zhì)球外的電場(chǎng)為 E22(r,可見介質(zhì)球外的電場(chǎng)與一個(gè)位于球心的偶極子4.20 一個(gè)半徑為a的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán),環(huán)與 位為解以細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面 成球面r a上的電r rP產(chǎn)生的電場(chǎng)相同。 xy平面重合,中心在原點(diǎn)上,P3 (er 2cos0r環(huán)上總電荷量為ra把場(chǎng)區(qū)分為兩部分,分別寫出兩個(gè)場(chǎng)域的通解,并利用荷面密度根據(jù)條件和,可得(cos )系數(shù)。外的電位分別為1 (r,)和sin )Q,如題4.20圖所示。證明:空間任意點(diǎn)電函數(shù)將細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)上的線電荷Q表示2(r,
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