2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試廣東卷

1、2009 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷 )數(shù)學(xué)(理科)參考答案、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知全集 U R，集合 M x 2 x 1 2和N x x 2k 1,k 1,2, 的關(guān)系的韋恩( Venn)圖如圖 1 所示，則陰影部分所示的集合的元素共有A. 3 個(gè)B. 2 個(gè)C. 1 個(gè)D. 無(wú)窮多個(gè)B.解析】由 M x 2 x 1 2得 1 x 3，則M N 1,3 ，有 2個(gè)，選2. 設(shè) z是復(fù)數(shù)， a(z)表示滿足 zn 1的最小正整數(shù) n，則對(duì)虛數(shù)單位 i ，a(i)A. 8B. 6C. 4D.

2、 2解析】 a(i) in 1 ，則最小正整數(shù) n為4，選 C.( a,a) ，則3. 若函數(shù) y f (x) 是函數(shù) y ax(a 0,且a 1)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)f(x)A.log2xB. log 1 x21C. x2xD.x21解析】 f(x) loga x，代入 ( a,a)，解得 a，所以 f(x) log1 x ，選 B.4. 已知等比數(shù)列 an 滿足 an 0,n 1,2, ， 且 a5 a2n 5 2 (n 3) ，則當(dāng) n 1 時(shí)，log2 a1 log2 a 3log2a 2n 1A. n(2n 1)B. (n 1)2C. n2D. (n 1)2解析】由 a5 a2n

3、5 22n(n 3)得an2 22n ，an0，則an 2n ， log 2 a1 log2 a3log2 a2n 1 1 3 (2n 1)n2，選 C. w.w.w.k.s.5.u.5. 給定下列四個(gè)命題： 若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行； 若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直； 垂直于同一直線的兩條直線相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c. o.m 若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂 直其中，為真命題的是 w.w.w.k.s.5.u.c. o.mA. 和 B. 和 C. 和 D. 和【解析】選 D

4、.6. 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力 F1, F2 , F3 （單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知F1 ，F(xiàn)2成600角，且 F1 ， F2的大小分別為 2和4，則 F3的大小為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7【解析】 F32 F12 F22 2F1F2 cos（1800 600） 28，所以 F3 2 7 ，選 D. 72010 年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分 別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其 余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有 w.w.w

5、.k.s.5.u. o.mA. 36 種 B. 12 種 C. 18 種 D. 48 種 【解析】分兩類：若小張或小趙入選，則有選法C21C21A33 24 ；若小張、小趙都入選，則有選法 A22 A32 12，共有選法 36 種，選 A. w.w.w.k.s.5.u. c.o.m 8已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線（假定為直線）行駛甲車、乙車的速度曲線分別為 v甲和v乙（如圖 2 所示）那么對(duì)于圖中給定的 t0和t1 ，下列判斷中一定正確 的是A. 在 t1 時(shí)刻，甲車在乙車前面B. t1 時(shí)刻后，甲車在乙車后面C. 在 t0 時(shí)刻，兩車的位置相同D. t0 時(shí)刻后，乙車在甲車

6、前面解析】由圖像可知，曲線 v甲比v乙在 0 t0 、0 t1與x軸所圍成圖形面積大，則在 t0、t1時(shí)刻，甲車均在乙車前面，選 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.二、填空題：本大題共 7 小題，考生作答一）必做題（ 9 12 題）9. 隨機(jī)抽取某產(chǎn)品 n 件，測(cè)得其長(zhǎng)度分別為的程 序 框圖 輸出的 s（注：框圖中的賦值符號(hào)“”）解析】 s a1 a2 an ；平均數(shù)10. 若面向量 a，b滿足 a b 1，a b平行于 x軸， b （2, 1），則a解 析 】 a b (1,0) 或 ( 1,0) ， 則 a (1,0) (2, 1) ( 1,1) 或a ( 1,0) (2, 1)

7、( 3,1) .11巳知橢圓 G 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為且 G 上一點(diǎn)到 G 的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為 12，則橢圓 G 的方程為解析】e，e 2 ，2a 12 ，a 6， b 3 ，則所求橢圓方程為22 x2 y2 36 912已知離散型隨機(jī)變量 X 的分布列如右表若 EX 0 ， DX 1，則 ab11 1 2 2 21解析】由題知 a b c 11 ，a c 10，12a 12c 2211，12 6 1251 解得 a ， b .12 4二）選做題（ 13 15 題，考生只能從中選做兩題）13（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若直線x s, y 1 2s.l1 : x 1 2t,

8、 (t 為參數(shù))與直線1 y 2 kt.s 為參數(shù))垂直，則 kkk 1.解析】 k ( 2) 1 ，得214(不等式選講選做題)不等式x 1 1 的實(shí)數(shù)解為 x2解析】x1x2x1 x20x2(x 1) (x 2) x203x 且 x 2.215(幾何證明選講選做題)如圖 4，點(diǎn) A,B,C是圓 O上的點(diǎn)，則圓 O 的面積等于且 AB 4, ACB 450 ，解析】解法一：連結(jié) OA 、OB ，則 AOB 900， AB 4，OA OB ， OA 2 2，則 S圓(2 2) 8 ； 解 法2R 4 0 4 2 R 2 2 ， 則 sin 450S圓(2 2)2 8 .三、解答題：本大題共 6

9、 小題，滿分 80 分解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟16 (本小題滿分 12分)已知向量 a (sin , 2) 與 b (1,cos ) 互相垂直，其中 (0, ) 21)求 sin 和 cos 的值；2)若 sin( ) 1010,0 ，求 cos 的值2解：1) a與 b互相垂直，則a b sin 2cos 0 ， 即 sin 2cos，代入sin 2co s21 得 sin2 5 5,cos5又()sin 2 5 ,cos 5552)02cos( ) 1 sin2 ()3 1010c cos ( ) c c )s so o )isn(50,100，(100,150， (150,

10、200 ， (200,250 ， (250,300進(jìn)行分組，1825 365 182517（本小題滿分 12分）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù) API （為整數(shù)）的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表：對(duì)某城市一年（ 365 天）的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得的 API 數(shù)據(jù)按照區(qū)間 0,50 ，766537812538123， 365 735 )182591259125解：( 1)由圖可知50x1( 32738) 50 1 123 50 ，18253651825182591259125119解得 x 119 ；182501192(2) 365 ( 50 50) 219 ；18250365(3)該城市一年中每天空氣質(zhì)量為

11、良或輕微污染的概率為119 50 2 50 219 3 ，則空氣質(zhì)量不為良且不為輕微污染的概率為18250 365 365 5 1 3 2 ，一周至少有兩天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為55 1 C77 (52)7(53)0 C76(25)6 (35)118（本小題滿分 14 分）如圖 6，已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 2，點(diǎn) E 是正方形BCC1B1的中心，點(diǎn)F 、G分別是棱 C1D1,AA1的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn) E1,G1E1GG1yz5 5 5 5分別是點(diǎn) E ，G 在平面 DCC1D1 內(nèi)的正投影（1）求以 E為頂點(diǎn)，以四邊形 FGAE 在平面 DCC1D1內(nèi)的正投影為底面邊界

12、的棱錐 的體積；（ 2）證明：直線 FG1 平面 FEE1；（3）求異面直線 E1G1與EA 所成角的正弦值 .解：（1）依題作點(diǎn) E 、G在平面 DCC1D1內(nèi)的正投影 E1、G1，則 E1 、G1分別為 CC1 、DD1 的中點(diǎn)，連結(jié) EE1 、EG1 、ED 、DE1 ，則所求為四棱錐 E DE1FG1 的體積，其底面 DE1FG1 面積為E1FG1SRt E1FG1SRt DG1E112又 EE1面 DE1 FG1 ， EE11， VE DE1FG13 SDE1FG1 EE1333(2)以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA 、DC 、 DD1所在直線分別作 x軸， y軸，z軸，得 E1 (0,2,

13、1) 、 G1 (0,0,1) ，又 G(2,0,1) ， F (0,1,2) ， E(1,2,1) ，則 FG1 (0, 1, 1)， FE (1,1, 1) ， FE1 (0,1, 1) ， FG1 FE 0 ( 1) 1 0 ， FG1 FE1 0 ( 1) 1 0 ， 即 FG1 FE ， FG1 FE1 ，又 FE1 FE F ， FG1 平面 FEE1.3)E1G1 (0, 2,0) ， EA (1, 2, 1)，則 cos E1G1,EAE1G1 EA21 1 ，設(shè)異E1G1 EA6面直線 E1G1與 EA所成角為 ，則 sin19（本小題滿分 14 分）2已知曲線 C:y x2

14、與直線 l:x y 2 0 交 于兩點(diǎn) A（xA,yA） 和 B（xB, yB） ，且 xA xB記曲線 C在點(diǎn) A和點(diǎn) B之間那一段 L與線段 AB所圍成的平面區(qū)域 （含邊界） 為D 設(shè)點(diǎn) P（s,t）是 L上的任一點(diǎn)，且點(diǎn) P 與點(diǎn) A和點(diǎn) B均不重合1)若點(diǎn) Q是線段 AB 的中點(diǎn)，試求線段 PQ的中點(diǎn) M 的軌跡方程；512)若曲線 G:x2 2ax y2 4y a2 2551 0與 D有公共點(diǎn)，試求 a的最小值2 1 5解：(1)聯(lián)立 y x2與y x 2得xA1,xB 2，則 AB中點(diǎn)Q( , )，設(shè)線段2215s t 1 5中點(diǎn) M 坐標(biāo)為 (x,y)，則 x 2 ,y 2 ，即

15、 s 2x 1,t 2y 5 ，又點(diǎn)2 2 2 2PQ 的P 在曲 2y 2點(diǎn) B 重合，1 2 2 11(2x) 2化簡(jiǎn)可得 y x2 x ，又點(diǎn) P是 L上的任一點(diǎn)，28115則 1 2x 2 ，即 x ，中點(diǎn) M 的軌跡方程為244且不與點(diǎn)A和11線 C 上，與點(diǎn) D 有公共點(diǎn)；當(dāng) a 0 時(shí)，要使曲線 G: x2共點(diǎn)， 只需 圓心 E 到 直線727 2 a 0 ，則 a 的最小值為5515x ) .42 2 2 51(2)曲線 G: x2 2ax y2 4y a2 0，25即圓 E：(x a)2 (y 2)2 49 ，其圓心坐標(biāo)為 E(a,2) ，半徑 r2551 由圖可知，當(dāng)0 a

16、2時(shí)，曲線 G:x2 2ax y2 4y a2252 2 512ax y2 4y a2 2515 0與點(diǎn) D有公l:x y 2 0 的距 離 d |a 2 2| |a| 7 ， 得2 2 520(本小題滿分 14 分)已知二次函數(shù) y g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線 y 2x平行，且 y g(x) 在x1處取得極小值 m 1(m 0)設(shè) f(x) g(x) x(1)若曲線 y f(x)上的點(diǎn) P到點(diǎn) Q(0, 2)的距離的最小值為2 ，求m的值；2)k(k R)如何取值時(shí)，函數(shù) y f (x) kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)解：( 1)依題可設(shè) g(x) a(x 1)2 m 1 (a 0)，則 g(x

17、) 2a(x 1) 2ax 2a ；a1又 g x 的圖像與直線 y 2x 平行2a 22 2 g x mg(x) (x 1)2 m 1 x2 2x m， f x x 2 ， xx設(shè) P xo,yo ，則 |PQ|2 x02 (y0 2)2 x02 (x0 m) x022m 2x022x022m 2 2m2 2m 2 2 |m| 2m當(dāng)且僅當(dāng) 2x022m2 時(shí)， | PQ |2 取得最小值，即 | PQ |取得最小值 2 x0當(dāng) m 0 時(shí)，(2 2 2)m 2解得 m 2 1當(dāng) m 0 時(shí)，( 2 2 2)m 2解得 m 2 12)由 y f x當(dāng) k 1 時(shí)，方程 * 有一解kx k 1

18、x mxxm2 ，函數(shù) y f x kx 有一零點(diǎn)2 0 (x 0)，得 1 kx22 2x m 0當(dāng) k 1 時(shí)，方程 * 有二解4 4m 1 k 0 ，1若 m 0，k 1 ，m有k 兩x 個(gè) 零 點(diǎn)2 4 4m(1 k)2(1 k)1 1 m(1 k)x；k1若 m 0，k 1 1 ，m有k 兩x 個(gè) 零 點(diǎn)2 4 4m(1 k)2(1 k)1 1 m(1 k)x k 1 ；當(dāng) k 1 時(shí)，方程 * 有一解4 4m 1 k 0 ,k11m1函數(shù) y f x kx 有一零點(diǎn) x m k1綜上，當(dāng) k 1時(shí), 函數(shù) y f x kx有一零點(diǎn) x m ； 211當(dāng) k 1 (m 0) ，或 k 1 ( m 0 )時(shí)， mmk1函數(shù) y f x kx 有兩個(gè)零點(diǎn) x 1 1 m(1 k)11 當(dāng)k 1 m1 時(shí)，函數(shù) y f x