2016年普通高等學校招生全國統一考試(上海卷)理數

1、2016 年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）理數一、填空題（本大題共有 14 題，滿分 56 分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫 結果，每個空格填對得 4 分，否則一律得零分 .1（ 4分）（ 2016?上海）設 xR，則不等式 |x3|0，b0，若關于 x，y 的方程組無解，則 a+b的取值范圍為 11（4分）（2016?上海）無窮數列 an由k個不同的數組成， Sn為an的前 n項和，若對任 意 nN*， Sn2 ， 3 ，則 k 的最大值為12（ 4分）（2016?上海）在平面直角坐標系中， 已知 A（1，0），B（ 0， 1），P是曲線 y=上一個動點，則 ? 的取值范圍

2、是x 都有 2sin( 3x 13（4 分）（2016?上海）設 a，bR，c0，2），若對于任意實數=asin（bx+c），則滿足條件的有序實數組（ a， b， c）的組數為14（4 分）（ 2016?上海）如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，O 為正八邊形 A1A2A8的中心， A1（1，0）任取不同的兩點 Ai，Aj，點 P 滿足 + + = ，則點 P落在第一象限的概率是二、選擇題（ 54=20 分）215（5 分）（2016?上海）設 aR，則 “a1”是“a21”的（）A 充分非必要條件B 必要非充分條件C充要條件 D 既非充分也非必要條件16（5 分）（2016?上海）下列極坐標

3、方程中，對應的曲線為如圖所示的是（）A =6+5cos B =6+5sin C =6 5cos D =6 5sin 17（5 分）（ 2016?上海）已知無窮等比數列 a n的公比為 q，前 n 項和為 Sn，且=S，下列條件中，使得 2Sn0，0.6q0.7B a1 0， 0.7 q 0，0.7 q0.8 Da10， 0.8 q0）的左、右焦點分別為 F1，F2，直線 l 過 F2 且與雙曲線交于 A ，B 兩點（1）直線 l 的傾斜角為， F1AB 是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（ 2）設 b= ，若 l 的斜率存在，且（ +） ? =0 ，求 l 的斜率22（16 分）（ 2016

4、 ?上海）已知 aR，函數 f（ x）=log 2 （ +a）（1）當 a=5 時，解不等式 f（x）0；（2）若關于 x 的方程 f（x）log2（a4）x+2a5=0 的解集中恰好有一個元素，求 a 的 取值范圍（3）設 a0，若對任意 t ，1，函數 f（x）在區(qū)間 t，t+1上的最大值與最小值的差不 超過 1，求 a 的取值范圍23（18 分）（2016?上海）若無窮數列 an 滿足：只要 ap=aq（p，qN*），必有 ap+1=aq+1， 則稱 an 具有性質 P（1）若 an 具有性質 P，且 a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求 a3；（2）若無窮

5、數列 b n是等差數列，無窮數列 c n是公比為正數的等比數列， b5=c1=81，an=bn+cn，判斷 an 是否具有性質 P，并說明理由；b1=c5=1；an 都具有性質 P”（3）設b n是無窮數列， 已知 an+1=bn+sinan（nN* ），求證： “對任意 a1， 的充要條件為 “bn 是常數列 ”2016 年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）理數參考答案與試題解析1 （ 2， 4）【分析】 由含絕對值的性質得 1 x 3 1，由此能求出不等式 |x3|1 的解集【解答】 解： xR，不等式 |x 3|1， 1 x3 1，解得 2 x 4不等式 |x3|1）【分析】 由于點

6、（ 3，9）在函數 f（x）=1+ax的圖象上，可得 9=1+a3，解得 a=2可得 f（ x）=1+2 x，由 1+2x=y，解得 x=log2（y1），（y1）把 x 與 y 互換即可得出 f（x）的反函數 1 f1（x）【解答】 解：點（ 3，9）在函數 f（x）=1+ax 的圖象上， 9=1+a3，解得 a=2f （ x ） =1+2 x，由 1+2 x=y ，解得 x=log 2（ y1），（y1） 把 x 與 y 互換可得： f（x）的反函數 f1（x）=log2（x 1） 故答案為： log2（ x1），（x1）6 2 【分析】 根據正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的側棱

7、D1D底面 ABCD ，判斷 D1BD 為直線 BD1 與底面 ABCD 所成的角，即可求出正四棱柱的高【解答】 解：正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的側棱 D1D底面 ABCD ， D1BD 為直線 BD1 與底面 ABCD 所成的角，tanD1BD= ，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 的邊長為 3，BD=3 ，正四棱柱的高 =3 =2 ，或或故答案為： 2 7分析】 利用二倍角公式化簡方程為正弦函數的形式，然后求解即可2解答】 解：方程 3sinx=1+cos2x ，可得 3sinx=2 2sin2x，2即 2sin x+3sinx 2=0可得 sinx= 2

8、，（舍去）sinx= ，x0，2解得 x= 或 故答案為： 或 8112【分析】 根據展開式中所有二項式系數的和等于2n=256，求得 n=8 在展開式的通項公式中，令 x 的冪指數等于 0，求得 r 的值，即可求得展開式中的常數項【解答】 解：在（ ）n 的二項式中，所有的二項式系數之和為256，2n=256 ，解得 n=8，（ ）8中， Tr+1=當=0，即 r=2 時，常數項為 T3=（ 2）2 =112故答案為： 1129【分析】 可設 ABC 的三邊分別為 a=3，b=5，c=7，運用余弦定理可得 cosC，由同角的平 方關系可得 sinC，再由正弦定理可得該三角形的外接圓半徑為，代

9、入計算即可得到所求值【解答】 解：可設 ABC 的三邊分別為 a=3， b=5， c=7，由余弦定理可得， cosC= = ，可得 sinC= =，可得該三角形的外接圓半徑為 = = 故答案為：10（ 2， + ）【分析】 根據方程組無解，得到兩直線平行，建立a，b 的方程關系，利用轉化法，構造函數，求函數的導數，利用函數的單調性進行求解即可【解答】 解：關于 x，y 的方程組無解，直線 ax+y=1 與 x+by=1 平行，a0，b0，即 a1， b1，且 ab=1，則 b= ，則 a+b=a+ ，則設 f（ a） =a+ ，（a0 且 a1），則函數的導數 f （ a） =1 = ，當 0

10、 a 1時， f（a）= f（1）=2，當 a1 時， f（ a）=0，此時函數為增函數， f（a）f（1）=2，綜上 f（a） 2，即 a+b 的取值范圍是（ 2， + ）， 故答案為：（ 2，+）114【分析】 對任意 nN*，Sn2 ，3 ，列舉出 n=1，2，3，4的情況，歸納可得 n 4后都為 0 或 1 或 1，則 k 的最大個數為 4 【解答】 解：對任意 nN*，Sn2 ， 3 ，可得當 n=1 時， a1=S1=2 或 3；若 n=2，由 S22 ， 3 ，可得數列的前兩項為 2，0；或 2，1；或 3，0；或 3， 1；若 n=3，由 S32 ， 3 ，可得數列的前三項為

11、2，0，0；或 2，0，1；或 2，1，0；或 2，1，1；或 3，0，0；或 3，0，1；或 3，1，0；或 3，1， 1；若 n=4，由 S32 ， 3 ，可得數列的前四項為 2，0，0，0；或 2，0，0，1；或 2，0，1，0；或 2，0， 1， 1；或 2，1，0，0；或 2，1，0，1；或 2，1， 1，0；或 2，1，1，1；或 3，0，0，0；或 3，0，0， 1； 或3，0，1，0；或 3，0，1，1；或 3，1，0，0；或 3，1，0，1； 或 3， 1，1，0；或 3， 1，1， 1；0或1或1，則 k的最大個數為0，1，1，或 3，0，1， 14，即有 n 4 后一項都

12、為 不同的四個數均為 2， 故答案為： 412 0，1+ 【分析】 設 P（ cos， sin）， 0 ， ，則 =（1，1）， =（ cos， sin+1），由此能求 出 ? 的取值范圍【解答】 解：在平面直角坐標系中， A（1，0），B（0， 1）， P 是曲線 y=上一個動點，設 P（ cos， sin）， 0 ， ， =（1， 1）， =（cos， sin+1 ），=cos+sin +1=， ? 的取值范圍是 0 ，1+ 故答案為： 0 ，1+ 134【分析】 根據三角函數恒成立，則對應的圖象完全相同【解答】 解：對于任意實數 x 都有 2sin（ 3x ）=asin（ bx+c ），

13、 必有 |a|=2，若 a=2，則方程等價為 sin（3x ）=sin（bx+c ）， 則函數的周期相同，若 b=3 ，此時 C= ，若b=3，則 C= ，若a=2，則方程等價為sin（ 3x ） = sin（ bx+c） =sin（ bx c），若b=3，則 C= ，若b=3 ，則 C= ，綜上滿足條件的有序實數組 （a，b，c）為（2，3，），（2，3， ），（ 2，3， ），（ 2，3，），），共有 4 組， 故答案為：4【分析】 利用組合數公式求出從正八邊形 A1A2A8 的八個頂點中任取兩個的事件總數，滿 足 + + = ，且點 P 落在第一象限，則需向量 + 的終點落在第三象限，列

14、 出事件數，再利用古典概型概率計算公式求得答案【解答】 解：從正八邊形 A1A2A8 的八個頂點中任取兩個，基本事件總數為滿足 + + = ，且點 P 落在第一象限，對應的 Ai， Aj，為：A 4，A 7），（A 5，A 8），（A 5， A 6），（A 6， A 7），（A 5， A 7）共 5種取法點 P 落在第一象限的概率是故答案為：15AA 充分非必要條件B 必要非充分條件C充要條件 D 既非充分也非必要條件【分析】 根據不等式的關系，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】 解：由 a21得 a1或a 1”是“a21”的充分不必要條件，故選： A 16D【分析】 由圖形可知

15、： 時， 取得最大值，即可判斷出結論【解答】 解：由圖形可知： 時， 取得最大值，只有 D 滿足上述條件 故選： D 17B【分析】 由已知推導出 ，由此利用排除法能求出結果【解答】 解：，S=， 1q1，2Sn0，則，故 A 與 C 不可能成立；若 a1 0，則 qn ，故 B 成立， D 不成立故選： B18 D分析】 不成立可舉反例： f（ x）=g（x）=，h解答】 解： 不成立 可舉反例： f（ x）=x)= 由題意可得： f（ x ） +g（ x ） =f （ x+T ） +g（ x+T ），f （x） +h（ x） =f （ x+T ） +h（ x+T ）， h（x）+g（x）=

16、h（x+T）+g（x+T ），可得： g（x）=g（x+T ），h（x）=h（x+T），f（x）=f （x+T ），即可判斷出真假h（x）= f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T ）+h（x+T），h（x）+g （x）=h（x+T）+g（x+T ）， 前兩式作差可得： g（x） h（ x ）=g（ x+T ） h（ x+T ），結合第三式可得： g（x）=g（ x+T ）， h（x）=h（x+T），同理可得： f（x）=f（x+T），因此 正確 故選： D 19分析】（ 1）連結 O1B 1，推導出 O1A1B1 為正三角形，從而= ，由此能求出 三棱

17、錐 CO1A1B1 的體積（2）設點 B 1在下底面圓周的射影為 B，連結 BB1，則 BB 1AA 1， BB 1C為直線 B1C與 AA 1所成角（或補角） ，由此能求出直線 B1C與 AA 1所成角大小【解答】 解：（ 1）連結 O1B1，則 O1A 1B1=A1O1B1= ， O1A 1B 1 為正三角形，= = （2）設點 B 1在下底面圓周的射影為 B，連結 BB1，則 BB 1AA 1， BB1C 為直線 B1C 與 AA 1 所成角（或補角） ，BB 1=AA 1=1 ，連結 BC、 BO、OC，AOB= A 1O1B 1= ， ， BOC= ，BOC 為正三角形，BC=BO=

18、1 ， tanBB 1C=45 ， 直線 B1C 與 AA 1 所成角大小為 4520【分析】（1）設分界線上任意一點為（ x， y），根據條件建立方程關系進行求解即可（2）設 M （x0，y0），則 y0=1，分別求出對應矩形面積，五邊形FOMGH 的面積，進行比較即可【解答】 解：（ 1）設分界線上任意一點為（ x， y），由題意得 |x+1|= ，得 y=2 ，（ 0x1），（2）設 M （x0，y0），則 y0=1，xx 0= ，0，設所表述的矩形面積為 S3，則 S3=2（ +1） =2 = ，設五邊形 EMOGH 的面積為 S4，則 S4=S3 S OMP+SMGN= 1+= ，S

19、1 S3= ，S4S1= ，0）的左、右焦點分別為 F1， F2，a=1， 12c2=1+b2，直線 l 過 F2 且與雙曲線交于 A，B 兩點， 的傾斜角為 ，F1AB 是等邊三角形，直線 l可得：A （ c， b ），可得：，43b =4（即 3b4 4b24=0，2 b 0，解得 b =2 a2+b2），2所求雙曲線方程為：其漸近線方程為 y= x 2）b= ，雙曲線 x2 =1，可得 F1（ 2， 0），F2（2，0）設Ax1，y1），B（ x2，y2），直線的斜率為： k= ，直線l 的方程為： y=k （ x 2），2 2 2 2由題意可得：，消去 y 可得：（ 3k2）x2+4k

20、2x4k23=0，2=36（1+k ） 0，可得 x1+x2=，則 y1+y2=k（x1+x2 4）=k （4）=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（ +）? =0 可得：（ x1+x2+4，y1+y2）?（x1x2，y1y2）=0，可得 x1+x2+4+（ y1+y2）k=0，得+4+?k=0得+4+?k=0可得： k2= ，解得 k= l 的斜率為： 22【分析】（1）當 a=5 時，解導數不等式即可（2）根據對數的運算法則進行化簡，轉化為一元二次方程，討論a 的取值范圍進行求解即可（3）根據條件得到 f（ t） f（ t+1）1，恒成立，利用換元法進行轉化，結合對勾函數的單 調性

21、進行求解即可【解答】 解：（1）當 a=5 時， f（x） =log 2（ +5），由 f（x）0；得 log2（ +5） 0，即 +5 1，則 4，則 +4= 0，即 x 0 或 x 0 或 x0，2則（ a 4）x +（a5）x1=0，即（ x+1）（a4）x1=0， ，當 a=4 時，方程 的解為 x= 1，代入 ，成立當 a=3 時，方程 的解為 x= 1，代入 ，成立當 a4 且 a3 時，方程 的解為 x= 1 或 x=，若 x=1 是方程 的解，則 +a=a 10，即 a1，若 x= 是方程 的解，則 +a=2a 4 0，即 a 2，則要使方程 有且僅有一個解，則 1 a2綜上，若方程 f（x）log2（a4）x+2a5=0 的解集中恰好有一個元素，則 a的取值范 圍是 1 a2，或 a=3 或 a=4（3）函數 f（x）在區(qū)間 t ，t+1上單調遞減，由題意得 f（t） f（t+1）1，即 log2（ +a） log2（+a） 1，即 +a2 （+a），即 a =設 1 t=r ，則 0 r ，=當 r=0 時，=0，=， y=r+ 在（ 0， ）上遞減，當 0 0，利用條