用分離變量法解常微分方程

1、用分離變量法解常微分方程1. 1形如 dy r1直接可分離變量的微分方程=f x y (1.1) dxy分別是的連續(xù)函數(shù).的方程，稱為變量分離方程，這里f x ，如果(y)工0,我們可將(1.1 )改寫成= f x d x ,(y)這樣,變量就“分離”開來了 兩邊積分，得到通解：= f (x)dx +c.(x)(1.2)其中，c表示該常數(shù),dy(X)，f(x)dx分別理解為盤，fx的原函數(shù)-常數(shù)c的取值必須保證(1.2 )有意義使 y 0的y yo是方程(1.1)的解.例1求解方程.1 x2dy1 y2 dx 0的通解.解：(1)變形且分離變量:(2)兩邊積分:dy1 y2dxc，1 x2得a

2、rcsin yarcs in x c.可以驗證y1也是原方程的解，若視x和y是平等的，則x1也是原方程的解.我們可以用這個方法來解決中學常見的一些幾何問題.例2曲線L上的點P(x,y)處的法線與x軸的交點為Q，且線段PQ被y軸平分.求曲線L的方程.分析：這是一個利用幾何條件來建立微分方程的例子.先建立法線PQ的方程，用大寫的(X,Y)表示法線上的動點，用小寫的表示曲線 L上的點，法為過點P(x, y)的法線的斜率.解：由題意得1法一.y從而法線PQ的方程為1Y y (X x).y又PQ被y軸平分，PQ與y軸交點M的坐標為0律，代入上式，得2y2 y1(0 x). y整理后，得yy 2x，分離變

3、量，解得22 yx 2c，其中c為任意正數(shù)，如2變量可替換的微分方程通過上面的介紹，我們已經(jīng)知道了什么方程是變量分i方程.下面，我們再介紹幾種可化為變量分離方程的類型：圖i2. 1齊次方程的微分方程，稱為齊次微分方程.這里(u)是u的連續(xù)函數(shù).對方程(1.3)做變量變換U -，(1.4)x即y ux，于是dy dux u .( 1.5)dx dx將(1.4),(1.5) 代入(1.3 )，則原方程變?yōu)?u),dux -dx整理后，得到dudx(u) u .( 1. 6)x方程（1.6 ）是一個變量分離方程.可按前面（1.1）的方法求解，然后代回原來的變量，便得到（1.3 ）的解例3求微分方程y

4、2 x警x呼的通解.解：原方程化為xy2 dy xdx2y y x即y包xdx丄1x于是，令u ，即yxxu，將u dx專代入該方程，得du u2u x dx u 1整理，即有du u2uxudx u 1 u 1分離變量，得u 1 dxdu uux兩邊積分，得u In u In x In &，將u 代回來，得xyyIn x c1In c1y ，xxyGy ex，y cex，其中c為任意常數(shù).y另，u 0即y 0也是原方程的解，但此解課包含于通解 c 0之中.故,方程的通解為y ce.2. 2形如dydxa1x b1 ya2xb2yCiC2(1.7)的方程，這里ai,a2,bi,b2,G,C2均

5、為常數(shù).此方程經(jīng)變量變換可化為變量分離方程我們分三種情形來討論：2. 2.1 匹纟k常數(shù)的情形.b1 b2c2這時方程化為有通解y kx c，其中c為任意的常數(shù)a12. 2. 2a1bLb2kc2的情形令ua2xb2y，這時有是變量分離方程.2. 2. 3刃P的情形.b1b2如果方程2.1中5勺不全為零，方程右端分子、分母都是 x,y的一次多項式，因此a/ b?y G 0，Ia2 x b2 y c2 0 . （ 1.8）代表Oxy平面上兩條相交直線，設交點，.若令Xx，IYy.則（2.2）化為a1Xb1Y0，a2Xb2Y0.Word文檔從而（2. 1）變?yōu)閐Y ai X biY dX a2X

6、b2Y.(1.9)因此，求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可得原方程（2.1 ）的解.如果方程（2.1 ）中ciC20可不必求解（2.2），直接取變換u -即可.x上述解題的方法也適用于比方程（2.1 ）更一般的方程類型dydxa1x b1y ca2x b2y C2例4求解方程dy 2x 2y 3(dx 6x 6y 7解：解方程組2x 2y 30,6x 6y 70,于是，令代入方程（2.4），則有再令udy 2X 2Y2 1dx 6X 6YY,即Y uX，則2.5化為XdXX1 u 22u udu兩邊積分，得ln X 2 In u2 2u 1，因此X2 u22u 1e C1，代回原變量，得

7、2 4-3X即 yYX 1 - 62X2Y 224 一 3y21 - 6 ， XG因此，方程（2.3 ）的通解為22747y x 2xy y x c,318其中，c為任意常數(shù).通過上述的求解，我們發(fā)現(xiàn)以上的方法是非常的準確的，但是對于像例5這種形式的的方程,我們發(fā)現(xiàn)還可以用另一種方法一一湊微分進行求解.湊微分當方程滿足：aib2 （ 2.2）時，方程會有更簡便的求解方法（全微分的知識的運用）即:將a2bi代入方程魚空中，dx a2x b2y c2有即展開，得a1xdx bi ydx c1dx a2xdy b2 ydy c2dy （ 2.3）有條件（2.6）可知，a2d（xy） a2xdy a2

8、ydx a2xdy b1dx （ 2.4）將（2.8）代入（2.7）中，得2 2d（2a2xy dy2c2y a1x2c1x） 0.很顯然，這是一個全微分方程，從而原方程的通解為2a?xy b2 y2 2冏 a2 2&x C，其中C為任意常數(shù).例5求解方程魚dx x y 8解法一：，令 u x y.則 du dx dy所以，原方程可化為du 3dx u 8這是一個分離變量方程.整理可得u216u 6x.將u x y代入，可得即,通解為x2 y2 2xy 10x 16y c .其中c為任意常數(shù)觀察例6可以發(fā)現(xiàn)，方程也滿足條件(2.6)，于是用湊微分的方法同樣可以求解解法二：原方程變形為(x y

9、8)dy (x y 5)dx.整理得(xdy ydy) ydy 8dy xdx 5dx 0.所以.1 2 c1 2 _ . _d (xy y 8y x 5x)0.2 2兩邊積分，得原方程的通解為xy -y2 8y - x2 5x=C，其中C為任意常數(shù).2 2以上的兩種方法都是求解微分方程的常用方法，下面再介紹幾種比較常見的課分離變量的方2.3形如矽dx yaxbyc的方程也可以經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里的a,b,c均為常數(shù).做變量變換ax by這時有dudxi dya dx即duab f ux -dx.是變量分離方程而當1時，dy f ax by c為其特殊形式.dx.3例7求解方程dy

10、 - xy -.dx yy解：因為dydx3xxxy ，(2. 5)yy可以化為魚 U y2 1. dx y于是，令2 2u x y 1 .( 2.6)則理 2x 2ydy 2x 2xu,(2. 7)dxdx將(2. 9)代入(2. 11)可以知道，這是一個分離變量方程即1 du xdx .2u 2兩邊同時積分，得In u 1 x20).( 2. 8)再將(2. 10)代入(2. 12)，得ln x y 2 x g.所以整理得，2x2 y22 Cex，其中C為任意常數(shù).2. 4其他幾種變量能分離的方程類型2. 4. 1形如yf xy dx xg xy dy 0 , (2. 9)的方程同樣可已經(jīng)

11、變量替換化為變量分離方程將(2. 13)變形為dy鴨竺(3.0)dx yf xy做變量替換u xy.這時有, xdu udx 八dy 2，(3.1)x將(2. 15)代入(2. 14)中，得du Idx. ug u uf u x是變量分離方程.2. 4. 2形如x2f xy ， (3. 2)dx的方程是變量分離方程.做變量替換u xy，則dy xdu udx2 ， ( 3. 3)dx x代入原方程，得-du u f u丄dx.x是變量分離方程.2. 4. 3形如dy xf 馬，(3.4) dx x的方程是變量分離方程做變量替換則，有2dy x du 2xudx , (3. 5)將(2. 19)代入(2. 18)中，得du2udx , x所以，原方程同樣是變量可替換方程2. 4. 4形如（其中可令dzdxdydxdydxax by (3.6)滿足）的方程.1，方程（2. 20）化為齊次方程事實上,由于dzdx，dzxdxbyx bzx bz ，所以dzax dxbz，再，設u -，可化為變量分離