2020-2021學年高中數(shù)學 第三章 不等式 3.2 第2課時 一元二次不等式及其解法學案新人教A版必修5

1、2020-2021學年高中數(shù)學 第三章 不等式 3.2 第2課時 一元二次不等式及其解法學案新人教a版必修52020-2021學年高中數(shù)學 第三章 不等式 3.2 第2課時 一元二次不等式及其解法學案新人教a版必修5年級：姓名：第2課時一元二次不等式及其解法內容標準學科素養(yǎng)1.會解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式2.會對含參數(shù)的一元二次不等式分類討論3.掌握與一元二次不等式有關的恒成立問題的解法.提升數(shù)學運算發(fā)展邏輯思維應用直觀想象授課提示：對應學生用書第57頁基礎認識知識點一分式不等式的解法(1)若a，br，0與ab0，0與ab0是否等價？0與ab0，0與ab0呢？提示：0ab0，

2、0ab0.0與ab0不等價，0與ab0不等價(2)0與(x3)(x2)0等價嗎？將0變形為(x3)(x2)0，有什么好處？提示：0(x3)(x2)0x3或x2. 知識梳理解分式不等式的同解變形法則(1)0f(x)g(x)0；(2)0；(3)a0.知識點二不等式恒成立知識梳理不等式x2x10的解集為r，即x2x10在r上恒成立(1)一元二次不等式恒成立的情況：ax2bxc0(a0)恒成立；ax2bxc0(a0)恒成立.(2)一般地，若函數(shù)yf(x)，xd既存在最大值，也存在最小值，則：af(x)，xd恒成立af(x)max；af(x)，xd恒成立af(x)min.自我檢測1不等式0的解集為_答案

3、：(，0)(1，)2不等式x2ax40對任意xr恒成立，則a的取值范圍為_答案：(4,4)授課提示：對應學生用書第58頁探究一簡單的分式不等式例1(1)不等式2的解集為()ax|x2brc dx|x2或x2解析因為x2x120，所以原不等式可化為x22x22(x2x1)，化簡得x24x40，即(x2)20，所以原不等式的解集為x|x2答案a(2)求下列不等式的解集0；1.解析原不等式可化為解得所以3x，所以原不等式的解集為.原不等式可化為或解得或所以3x，所以原不等式的解集為.方法技巧(1)對于0，若已知g(x)的正、負可直接去分母g(x)如本例(1)若不知正負，可轉化為f(x)g(x)0.(

4、2)對于a，可轉化a0求解跟蹤探究1.已知關于x的不等式0的解集是(，1)，則a_.解析：0等價于(ax1)(x1)0，由題意得a0，且1和是方程的兩個根，所以0，所以a2.答案：22解不等式2，解析：法一：移項，得20，左邊通分并化簡，得0，即0，它的同解不等式為x2或x5.原不等式的解集為x|x2或x5法二：原不等式可化為0.此不等式等價于或解，得x5.解，得x2.原不等式的解集為x|x2或x5探究二解含參數(shù)的一元二次不等式例2解關于x的不等式ax2(a1)x10.解析(1)當a0時，不等式化為x10，x1.當a0時，不等式化為(x1)(ax1)0(2)若a0，不等式化為(x1)(x)0當

5、a1時，1得x1當a1時，不等式無解當0a1時，1得1x(3)若a0，不等式化為(x1)(x)01得x1或x.綜上，當a0時，解集為；當a0時，解集為x|x1；當0a1時，解集為；當a1時，解集為；當a1時，解集為.延伸探究1.將本例的不等式變?yōu)椋航怅P于x的不等式(ar)：x2(aa2)xa30.解析：將不等式x2(aa2)xa30變形為(xa)(xa2)0.當a0時，有aa2，所以不等式的解集為x|xa或xa2；當a0時，aa20，所以不等式的解集為x|xr，且x0；當0a1時， 有aa2，所以不等式的解集為x|xa2或xa；當a1時，aa21，所以不等式的解集為x|xr，且x1；當a1時，

6、有aa2，所以不等式的解集為x|xa或xa2方法技巧解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟探究三不等式恒成立問題教材p103 a組第3題當k取什么值時，一元二次不等式2kx2kx0對一切實數(shù)x都成立？探究：由題意得由得3k0，3k0.例3設函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對于一切實數(shù)x，f(x)0恒成立，求m的取值范圍(2)對于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解析(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，顯然10，滿足題意；若m0，4m0.所以4m0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使m2m60在x1,3上恒成立令g(x)m2m6，x1,3當m0時，g(x)在1,3上是增函數(shù)，

7、所以g(x)maxg(3)7m60，所以0m；當m0時，60恒成立；當m0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)；所以g(x)maxg(1)m60，得m6，所以m0.綜上m.方法技巧處理不等式恒成立問題的常用方法(1)一元二次不等式恒成立的情況：ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立(2)若函數(shù)yf(x)，xd既存在最大值，也存在最小值，則：af(x)，xd恒成立af(x)max；af(x)，xd恒成立af(x)min.(3)a0時，f(x)0在區(qū)間，上恒成立(4)a0時，f(x)0在區(qū)間，上恒成立延伸探究2.例3(1)中改為“對于一切實數(shù)x，f(x)mx2mx10恒成立”，則m的取

8、值范圍是_解析：當m0時，10恒成立當m0時，得0m4綜上0m43例3(1)中“函數(shù)f(x)mx2mx1”改為“f(x)mx2mx1，x2，)”，結論又是什么？解析：要使m2m60在2，)上恒成立當m0時，60恒成立；當m0時，g(x)m(x)2m60恒成立；當m0時，g(x)在2，)時為增函數(shù)，無最大值綜上m0.授課提示：對應學生用書第59頁課后小結1解分式不等式時，一定要等價變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組)求解當不等式含有等號時，分母不為零2對于某些恒成立問題，分離參數(shù)是一種行之有效的方法這是因為將參數(shù)分離后，問題往往會轉化為函數(shù)問題，從而得以迅速解決當然，這必須以參數(shù)容

9、易分離作為前提分離參數(shù)時，經常要用到以下簡單結論：(1)若f(x)有最大值f(x)max，則af(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，則af(x)恒成立af(x)min.3含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個方面進行考慮(1)關于不等式類型的討論：二次項系數(shù)a0，a0，a0.(2)關于不等式對應的方程根的討論：兩個不等實數(shù)根(0)，兩個相等實數(shù)根(0)，無根(0)(3)關于不等式對應的方程根的大小的討論：x1x2，x1x2，x1x2.素養(yǎng)培優(yōu)1忽視二次項系數(shù)為零的情況致誤關于x的不等式(1m)x2mxmx21對xr恒成立，求實數(shù)m的取值范圍易錯分析錯解中，忽視了對二次項次系數(shù)m0是否符合題意的討論，導致錯誤自我糾正原不等式可化為mx2mx(m1)0，若m0，則不等式化為10，符合題意；若m0，則應有m0.綜上，m的取值范圍為m0.2忽視對參數(shù)的分類討論致誤解關于x的不等式x22ax30(ar)易錯分析錯解中，沒有考慮到方程沒有實數(shù)根和只有一個實數(shù)根的情況，導致錯誤自我糾正當4a2120，即a或a時，方程x22ax30有兩個不相等的實