2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第九章 解三角形 階段提升課 第一課 解三角形學(xué)案 新人教B版必修第四冊

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第九章 解三角形 階段提升課 第一課 解三角形學(xué)案 新人教b版必修第四冊2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第九章 解三角形 階段提升課 第一課 解三角形學(xué)案 新人教b版必修第四冊年級(jí)：姓名：階段提升課第一課解 三 角 形思維導(dǎo)圖構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)考點(diǎn)整合素養(yǎng)提升題組訓(xùn)練一利用正、余弦定理解三角形1.(2020天津高一檢測)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsina-acosb=2b-c,則a=()a.b.c.d.【解析】選c.由已知和正弦定理得sin bsin a-sin acos b=2sin b-sin c,即sin bsin a-sin aco

2、s b=2sin b-sin(a+b),即sin bsin a-sin acos b=2sin b-,所以sin bsin a=2sin b-cos asin b,因?yàn)閟in b0,所以sin a+cos a=2,即sin=1,所以a+=+2k,即a=+2k,又a(0,),所以a=.2.(2020遂寧高一檢測)在abc中,ab=5,ac=,ad為邊bc的中線,且ad=4,則bc邊的長為()a.3b.3c.2d.4【解析】選d.設(shè)bc=2x,在abc中cos b=,在abd中cos b=,所以=,解得x=2(負(fù)值舍去),則bc=4.3.(2020廣州高一檢測)如圖,點(diǎn)a在bcd的外接圓上,且si

3、n a=,a為銳角,ad=cd=5,bd=3.(1)求ab的長;(2)求四邊形abcd的面積.【解析】(1)因?yàn)閟in a=,a為銳角,所以cos a=,在abd中,由余弦定理得bd2=ad2+ab2-2adabcos a,ab2-8ab-20=0得ab=10或ab=-2(舍去),所以ab=10.(2)由(1)可知sabd=abadsin a=105=15,因?yàn)閍bcd四點(diǎn)共圓,所以a+c=,所以sin c=,cos c=-,在bcd中,由正弦定理得=,即=,得sindbc=,cosdbc=,所以sinbdc=sin-(dbc+bcd)=sin(dbc+bcd)=+=,所以sbcd=bdcds

4、inbdc=35=3,所以四邊形abcd的面積s=15+3=18.解三角形的一般方法(1)已知兩角和一邊,如已知a,b和c,由a+b+c=求c,由正弦定理求a,b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a,b和c,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角,然后利用a+b+c=,求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,如已知a,b和a,應(yīng)先用正弦定理求b,由a+b+c=求c,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a,b,c可應(yīng)用余弦定理求a,b,c.題組訓(xùn)練二判斷三角形的形狀1.(2020仁壽高一檢測)在abc中,cos2=(a,b,c分別為角a,b,c的

5、對(duì)邊),則abc的形狀是()a.直角三角形b.等腰三角形或直角三角形c.等腰直角三角形d.正三角形【解析】選a.cos2=,則=,即sin c+cos asin c=sin acos c+cos asin c+sin c,即sin acos c=0,sin a0,故cos c=0,c=.2.在abc中,若=,試判斷abc的形狀. 【解析】由已知=,得=.可有以下兩種解法.方法一:(利用正弦定理,將邊化角)由正弦定理得=,所以=,即sin ccos c=sin bcos b,即sin 2c=sin 2b.因?yàn)閎,c均為abc的內(nèi)角,所以2c=2b或2c+2b=180.即b=c或b+c=90.所以

6、abc為等腰三角形或直角三角形.方法二:(利用余弦定理,將角化邊)因?yàn)?,所以由余弦定理得=,即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2).所以a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b4=0.所以a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0.所以b2=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2.所以abc為等腰三角形或直角三角形.三角形形狀的判斷方法判斷三角形的形狀,一般有以下兩種方法:(1)將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系,用代數(shù)方法求解;(2)將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系,用三角知識(shí)求解.題組訓(xùn)練三正、余弦

7、定理的實(shí)際應(yīng)用1.(2020仁壽高一檢測)如圖,測量河對(duì)岸的塔高ab時(shí)可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)c與d,測得bcd=15,bdc=30,cd=30,并在點(diǎn)c測得塔頂a的仰角為60,則塔高ab等于()a.5b.15c.5d.15【解析】選d.在bcd中,cbd=180-15-30=135.由正弦定理得=,所以bc=15.在rtabc中,ab=bctan acb=15=15.2.如圖,為了測量a、c兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上b、d兩點(diǎn),測出四邊形abcd各邊的長度(單位:km):ab=5,bc=8,cd=3,da=5,且b與d互補(bǔ),則ac的長為_km.()a.7b.8c.9d.6【解

8、析】選a.cos b=,cos d=,因?yàn)閎與d互補(bǔ),所以cos b+cos d=0,所以+=0,解得ac=7(負(fù)值舍去).3.(2020南通高一檢測)為改善居民的生活環(huán)境,政府?dāng)M將一公園進(jìn)行改造擴(kuò)建,已知原公園是直徑為200 m的半圓形,出入口在圓心o處,a為居民小區(qū),oa的距離為200 m,按照設(shè)計(jì)要求,以居民小區(qū)a和圓弧上點(diǎn)b為線段向半圓外作等腰直角三角形abc(c為直角頂點(diǎn)),使改造后的公園成四邊形oacb的形狀,如圖所示.(1)若oboa時(shí),c與出入口o的距離為多少米;(2)b設(shè)計(jì)在什么位置時(shí),公園oacb的面積最大.【解析】(1)設(shè)oab=,bac=,則在rtoab中ab2=50

9、000,ac2=25 000,sin =,cos =,在oac中,cosoac=cos=cos cos-sin sin=,oc2=oa2+ac2-2oaaccos=45 000,則oc=150 m.(2)如圖,設(shè)aob=(0),則ab2=ob2+oa2-2oboacos =50 000-40 000cos ,又sabc=ac2=ab2=12 500-10 000cos ,又saob=oaobsin =200100sin =10 000sin ,所以s四邊形oacb=sabc+saob=12 500-10 000cos +10 000sin =10 000(sin-cos)+12 500=10

10、000sin+12 500,所以當(dāng)sin=1,即=時(shí),四邊形oacb面積最大為(10 000+12 500) m2.解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題,測量高度問題,測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖,把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系),最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化,用哪個(gè)定理求解,并進(jìn)行作答,解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的要求.題組訓(xùn)練四與三角形有關(guān)的綜合問題1.(2020成都高一檢測)在abc中,已知向量m=,且m2=,記角a,b,c的對(duì)邊依次為a,b,c.若c=2,且abc是銳角三角形,則a2

11、+b2的取值范圍為_.【解析】由題意得向量m=,且m2=,則m2=cos2+1=+1=,即cos=-,因?yàn)?a+b,所以a+b=,即c=,因?yàn)閏=2,由正弦定理得=,即a=sin a,b=sin b=sin,則a2+b2=-=-=+sin,因?yàn)閍bc是銳角三角形,即0a且0b=-a,所以a,即有2a-,所以有sin1,所以c,已知=2,cos b=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(b-c)的值. 【解析】(1)由=2得cacos b=2.又cos b=,所以ac=6.由余弦定理得a2+c2=b2+2accos b.又b=3,所以a2+c2=9+26=13.解得或因?yàn)閍c,所以a=3,c=2.(2)在abc中,sin b=,由正弦定理,得sin c=sin b=.因?yàn)閍=bc,所以c為銳角,因此cos c=.于是cos(b-c)=cos bcos c+sin bsin c=+=.三角形綜合問題的求解策略正、余弦定理將三角形中的邊和角的關(guān)系進(jìn)行了量化,為